受激并車弧齒錐齒輪系統兩參量平面上解域界結構

林何 洪靈 江俊 胥光申

摘要： 為掌握齒輪系統激振參數對系統動態特性的影響規律，建立了考慮多種激勵的并車弧齒錐齒輪系統非線性動力學模型。應用胞映射（CMM）與區域離散分解技術（DDM）構建并數值求解了多組兩參量平面上的解域界結構，算法基于吸引子在Poincaré截面上的點映射準則。通過分岔圖和最大Lyapunov指數等分析了系統穩態特性，結果表明，嚙合頻率分岔路徑上外加誤差激勵可使分岔中的部分周期分支收縮和轉變。求解了阻尼比和綜合傳動誤差分別與其他參數配置下的解域界演變，解析出周期域、混沌帶與邊界胞等分布特征，確定了目標參數域中周期分岔全局覆蓋性態，通過最大Lyapunov指數和Poincaré映射驗證了解域界算法中各態子域胞集的有效性。

關鍵詞： 非線性振動; 并車弧齒錐齒輪; 胞映射; 區域離散分解; 解域界

中圖分類號： O322; TH113.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-1020-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.016

引 言

齒輪裝置在運轉中常伴隨著多樣化的內、外部激勵，這些激勵的強度與系統振動響應特性息息相關，因而對齒輪系統振動規律與參數配置間作用機制研究具有實際指導意義[1]。相比常規齒輪傳動，并車弧齒錐齒輪具有多嚙合副同時工作，構型緊湊的特點，可實現高速大功率與重載高傳動比應用，因而在航空、艦船與風電等動力分配要求高的場合受到青睞，如黑鷹UH?60A型直升機主減中即采用了并車弧齒錐齒輪構型[2?3]。在對其動力學研究中，相空間解的問題受到了學者們的較多重視，同樣，掌握激振參數下豐富的解域構造與解域趨勢對系統穩定控制與全局優化、預測同樣意義顯著，亦逐漸受到關注[4?6]。

通常分岔圖和最大Lyapunov指數可對多源激勵從獨立維度離散解析，而多參量層面揭示則略顯不足與低效。解域界研究基于胞映射思想對參數空間胞化求解，將同狀態胞參數歸入同一域內，域與域間分界為域邊界，胞映射（Cell Mapping Method， CMM）是由Hsu提出的[7]，經后期改進發展出諸多版本，較典型的如插值胞映射（ICM）和廣義胞映射圖論法（GCMD）等。劉曉君等[8]在GCMD基礎上還提出拓展廣義胞映射法（EGCM），并成功應用在分數階Duffing系統全局域邊界激變和內部激變研究中。為規避齒輪系統的混沌問題，文獻[9?10]借助Melnikov原理在不同參數空間追蹤了時變直齒輪模型下全局同宿分岔臨界值和混沌遷移，從數值仿真上驗證了參數域分析的優勢。Gou等[11]采用簡單胞映射與逃逸時間算法針對扭振齒輪副模型進一步在參數域平面上得到周期吸引子域分形結構，并揭示了同宿或異宿軌道是由不同周期軌跡交匯引起的。文獻[12?14]還從全局解域角度研究了多類非自治系統中內嵌的Wada域、瞬胞集與混沌散射（chaotic scattering）等深層物理現象。Liu等[15]較早地嘗試以參數胞區域分解方式對弾性輻板齒輪系統進行解域界研究，基于域界區指導了系統混沌響應激振控制。此外，齒輪系統動力學參數解域界構造，兼顧宏觀與微觀層面對系統振動演化廣泛研判，從二維或多維視角靈活統籌，詳盡解析相胞穩態域在解域界內的Poincaré映射集，在多參數下持續遍歷受激胞元信息，反饋出分岔集、窗口帶、臨界值及敏感域等;反之，特定需求下亦可快速尋找定位其主導激勵振源，甚至關鍵誘導值域，進而避開混沌或噪聲復雜區間，特別對系統初期動載設計及參數全局優化意義顯著。

本文建立了并車弧齒錐齒輪傳動系統的動力學模型，在一維參數域中對比分析了兩種參數協同作用下嚙合振動中分岔分支的斷裂收縮行為及分岔節點的轉移。面對嚙合傳動誤差和阻尼比等主要動力學參數構建了多組解域界，從不同維度數值模擬激勵參數的全局性態和相互耦合狀況，同時為多源激勵優化明確目標周期態下的參數值域交集提供了一種思路，最后提取相關參數胞值利用最大Lyapunov指數驗證了解域界的準確性。

1 動力學建模與振動方程

圖1中設系統為正交嚙合副，為90°，兩處齒輪副呈幾何對稱，不考慮齒面摩擦;各齒輪單元，和視為剛體;動力學建模時考慮各齒輪橫向和軸向振動，對嚙合副處計入齒側間隙與綜合傳動誤差的影響。首先進行受力分析，分別建立主動輪，坐標系和，從動齒輪坐標系，將嚙合力分解于各坐標軸，和（）上，分別記為，和，各分力由節錐角、法向壓力角和齒寬中點螺旋角可計算出。定義，間嚙合副為;，間的嚙合副為。各齒輪在，和（）支撐上的剛度和阻尼分別記為和（; ）。，和分別為各齒輪轉動慣量，，和分別為扭轉方向的振動角位移，（）為輸入轉矩，為輸出轉矩。

圖1中主動輪齒數均為23，從動輪齒數為78;和均為左旋，為右旋;螺旋角均為35°，各齒輪法向模數mn均為4.25 mm，法向壓力角均為20°，其他參數如表1所示。

根據牛頓力學定律建立各齒輪單元振動微分方程，主動弧齒錐齒輪和的振動方程為

式中 表示中各坐標軸上的振動向中相對位移上的投影;表示中各坐標軸上的振動向的相對位移上的投影;和分別表示坐標系各坐標軸上的振動位移分別向和的相對位移上的投影。

式（9），（10）經變量代換，剛體位移消除后系統總自由度數目減為11個，相應生成新的廣義坐標矢量為

并車弧齒錐齒輪傳動系統無量綱動力學微分方程矩陣形式為

最后，采用變步長Runge?Kutta法求解式（11）。

2 解域界求解基礎

對存在多個控制參數的非自治微分方程系統，其模型可描述為

當控制參數變化時，系統響應隨之改變，為分析激勵與響應間的關聯機制，將一維分岔思想擴展為空間平面上的離散。二維域則由兩個參數在x和方向構造的平面域，參數胞為（; ）。其中和分別代表起點與終點，和分別為離散胞在x，方向的尺度。鑒于矩形胞單元尺寸均勻性好，將參數域劃分為個矩形規則胞元，胞與胞間彼此毗鄰。同一域內劃分的胞數目越多則胞的尺寸越小、精度越高，當某一維度上的胞數目為個時，那么在該維度上的胞尺度為

某一維度上胞序列為，將各胞下相軌跡在Poincaré截面上映射截斷，由吸引子狀態判定參數胞解域界歸屬，判定準則為

式中 表示映射法則，為周期值，若時映射關系仍不滿足，則表明胞為混沌參數胞。

式（18）中，如果小于給定的正數（1.010-2），那么可認為點集和歸屬相同狀態吸引子，落在相同解域內。

3 分岔通道與解域界

3.1 分岔通道

圖2為一維參數和E下位移的分岔行為與分岔點位置變化。由圖2（a）可知，E=28時，出現了分別位于0.917，0.935和0.951處的三個分岔點。在[0.9， 0.954]范圍內系統完全處于周期態運行，同時此段過程在2周期分支上發生跳躍式斷裂，破裂造成原分支后半部無征兆性收縮，在進入P1（1周期）前一直維持兩條分支，因位移隨之突變，表明在0.935點誘發激變導致嚙合副產生碰撞不穩定。此后當1周期發展到時系統步入一段持續混沌期。由圖2（b），（c），（d）可見，隨著E的增大，在[0.935， 0.951]期間，P2因受抑制而衰弱，同時在時振動越來越無規則，E為29時2周期退化愈加明顯，直至E=30時右側P2分支已完全消失，取而代之的是振動短暫恢復單周期。整體上分岔點在軸上隨P2上下分支收縮而移動，在綜合誤差和嚙合頻率共同作用下系統混沌屬性持續增強，二者共同作用時在一定范圍可抑制多周期振動，但達到某一臨界值后又將加劇系統混沌響應。

3.2 綜合傳動誤差-剛度波動系數解域界

圖3中取有限域，各維度上胞數目細分為401，解域界內規則矩形胞總數為4012，可知胞在誤差和間隙域上尺度分別為2.24×10-4和4.0×10-3。參數平面域內含3個動力學解子域，即P1解域，P4解域和混沌（Chaotic）解域。整體上P1域內嵌于混沌域中形成數個周期窗口，邊界清晰，E變化時系統狀態轉換頻繁。部分主要為P4解域，從維度上對比E和知在該解域界內誤差參數的改變引起系統狀態的變化更顯著。同時，圖4揭示了各解域邊界形態，邊界胞代表狀態響應切換點處激勵參數的臨界值，即分岔節點，具有實際參考意義，因為相鄰解域狀態在此處遷移或突變，在全局域上勾畫出分岔集演化規律。

3.3 嚙合頻率-綜合傳動誤差解域界

圖5揭示存在復雜區解域交錯現象，參數域內同時存在P1，P2，P3和混沌胞元類型，主要是分散P3胞誘發不穩定吸引子在混沌域邊界附近造成該區域動態性質復雜，暗示齒輪振動此時對誤差和嚙合頻率組合的解域較敏感，激勵間相互耦合影響，參數設計時應主動避開該不規則域。P1，P2胞占據整個平面中大部分區域，混沌域形成二者隔離區。P1胞域左右兩側均存在，在E從2.5減小為1.2過程中，P1過渡到P2期間出現周期加倍行為。隨著誤差的持續減小，P2過渡中出現P3胞和混沌胞雜亂交錯帶，聚集在[0.76， 0.8]附近，可視該局部為不穩定區，進入P1域干涉現象減弱，敏感參數區通常預示著動態特性的振蕩。部分邊界胞還揭示了系統可從P1態直接跨入混沌未經歷周期倍化。圖6中由圖5結果分別取為三組不同參數歷經了誤差變化下的最大Lyapunov指數，三組演化趨勢驗證了解域界參數胞區的有效性。

3.4 阻尼比-綜合傳動誤差解域界

圖7對指導或尋找最佳分岔路徑意義顯著，隨著減小，混沌解域占據主導因素，倍周期分岔依次經歷P2，P4，P8和P16等窗口。特別指出僅少量P16胞散落于混沌前邊界處（如圖8所示），對高周期胞數量與位置分析可知，倍周期分岔時高周期窗口呈快速收縮態勢，且對激擾參數極其敏感，精密揭示需對目標區做更細密地離散，那么計算資源消耗將劇增。值越小系統不穩定振動風險越大，同時，目標域內參數胞集聚分布特性構成映射子域更有助于指導系統狀態的優化與控制。圖9從中取3個獨立胞元（0.1， 0.35），（0.3， 0.35）和（0.4， 0.35），由Runge?Kutta法求解進一步驗證了Poincaré截面信息分別為Chaotic，P4和P2狀態。

為揭示多源激勵下對系統性態影響的分布和關聯傾向，構建了圖10所示誤差和間隙分別與阻尼比的P4解域界，整體各維度胞數目均為401，以整個區域內特定胞數量占比衡量對響應狀態的敏感度S，即S=ni/N，ni表示狀態為i的胞數量，N為總的胞數目。其中[0.05， 0.45]，中P4占比16.67%，下P4占比20.21%，故此時系統對域內P4狀態敏感傾向強于域。該思路為多源激勵不同參數下的全局動態設計和優化提供了借鑒。

4 結 論

將胞映射與區域分解思想引入齒輪系統多源激勵全局研究中，通過胞域離散賦值求解了目標參數區解域界結構，相較單維分岔而言，從更廣泛角度對引起并車弧齒錐齒輪響應性態的激振因素進行了解析。

（1）構建了二維參數胞區域離散與解域界求解判定準則，在嚙合頻率分岔路徑上綜合傳動誤差可迫使分岔通道中部分周期分支斷裂、收縮及軌道遷移。

（2）在綜合傳動誤差分別與嚙合頻率和剛度波動系數的解域界中，得到分岔集、混沌帶、邊界胞和敏感激變參數區，應用最大Lyapunov指數追蹤驗證了解域界中分岔區間的演化路徑。

（3）阻尼比下解域界中存在倍周期分岔集區，隨著阻尼比減小，高周期窗口快速收窄，P8和P16域界異常狹窄或離散分布且參數敏感性增強，Poincaré映射點集證實了參數胞值的準確性，最后從參數胞域性態全局占比角度為多源激勵動態設計與優化提供了思路。

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作者簡介： 林 何（1985-），男，副教授。電話：15891736934;E-mail： linhe@xpu.edu.cn

通訊作者： 胥光申（1964-），男，教授。電話：（029）62779109;E-mail： xugs988@126.com