關于重期望公式的教學探討

陳麗

【摘要】重期望公式是概率論中一個重要的公式和教學難點.本文對重期望公式的一般形式、特殊形式及其在保險模型中公司面臨損失的期望值的計算和標的股票價格帶跳的歐式看漲期權定價問題中的應用進行探討，以加深學生對重期望公式的理解.

【關鍵詞】條件期望;重期望公式;期權定價

【基金項目】本文系中國礦業大學（北京）研究生課程教學改革項目（YJG20200801，YJG20200802）.

一、引言

數學期望刻畫了隨機變量的平均取值水平，是一類重要的數字特征.一般情況下，若已知某隨機變量的分布，如分布律或概率密度函數，即可根據數學期望的定義計算出其數學期望.

但是在某些情形下，得到一個隨機變量的概率分布比較困難，而只有其條件分布，此時隨機變量的數學期望可由重期望公式得到.因此，重期望公式在實際問題中，如管理科學、工程學和金融學等領域有著廣泛的應用.

二、重期望公式

關于重期望公式的形式有不同的表達形式，本文給出一般形式和特殊形式，便于比較及理解.

（1）重期望公式的一般形式.

重期望公式表明對條件數學期望再取數學期望即為無條件數學期望.上述條件數學期望和重期望公式是對一般的可積隨機變量及σ代數的形式定義的，學生理解起來較為晦澀、難懂，教師在講授過程中可以從一般定義的特殊形式加以分析，便于學生理解和接受.

（2）重期望公式的特殊形式.

當考慮離散型或者連續型二維隨機變量（X，Y）時，條件數學期望和重期望公式將變得淺顯且簡單.

在給定X取值條件下，Y的條件分布可進行類似定義.在條件分布下求得的數學期望，即為條件數學期望.

（2）重期望公式為求隨機變量的數學期望提供了新途徑.在求解E（X）困難時，可尋找一個與X有關的量Y，用Y的取值將原問題進行劃分，對給定Y的取值，計算X的條件期望，再對條件期望進行加權平均，即得E（X）.

三、重期望公式的應用

重期望公式常用來求解隨機個隨機變量的和或隨機個隨機變量的乘積的數學期望.文末[參考文獻][3]中探討了重期望公式在隨機過程中的應用，本文主要考慮其在金融問題中的應用.

在上述帶跳的期權定價問題中兩次用到重期望公式，最終將帶跳情形下期權的價格借助經典的Black-Scholes期權定價公式進行表示，可見重期望公式在該金融問題中的重要性.

四、總結

本文從重期望的一般形式出發，結合重期望公式在常見分布中的特殊形式進行討論，并考慮重期望公式在實際問題中的應用.在教學過程中，教師應從一般理論到特殊形式，再將理論與金融實際問題相結合，便于學生對抽象理論知識的理解，激發學生的學習興趣和積極性，提高學生運用理論結果解決實際問題的能力和創新能力.

【參考文獻】

[1]嚴加安.測度論講義（第二版）[M].北京：科學出版社，2004.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2019.

[3]周茂俊，葛莉，張圣梅.基于條件期望的全概率公式在《隨機過程》中的應用[J].高等數學研究，2020，23（1）：104-107.

[4]Sheldon M.Ross.數理金融初步[M].冉啟康，譯.北京：機械工業出版社，2016.