從知識學習到素養發展：數學本原性問題的教育意蘊

李加樹

“問題是數學的心臟。”《牛頓大詞典》把“問題”定義為，一個不能馬上解決或者困難的問題，一個需要探索、思考和討論的問題。瑞士教育學家裴斯泰洛齊認為：“教育的主要任務不是積累知識，而是發展思維。”可見，“問題”在數學教學和思維訓練中的重要性，數學教學應以培養學生的數學思維為核心。怎樣的問題才能給學生的思維方向提供引領？怎樣的問題才能讓學生在碰撞與交流中建構新的理解？數學課堂中問題設計的路徑又有哪些？需要我們一線教師在教學中進行思考和實踐。

一、本原性問題的內涵特征

數學本原性問題是針對具體教學內容（數學概念、思想方法）提煉出的核心問題，它指向數學思維和數學本質。數學本原性問題包括內容性問題和思維性問題。找準了一節課的本原性問題，教學就有了抓手，學生思考就有了方向和動力，學生學習就有了“靶心”。數學本原性問題具有以下特點：一是開放性。本原性問題設置的情境中包含豐富的信息，可供學生從多方面、多角度思考，給學生創造了獨立思考和主動探究的空間。二是指向性。本原性問題有明確的學科核心素養指向，對學生的思維有引領作用，實現對知識的深層理解和本質把握。三是挑戰性。本原性問題能夠引發學生的認知沖突，激勵學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，既有一定的難度，又能通過探究獲得結果。四是發展性。本原性問題不僅指向新知識的轉化，新問題的產生，還延長了思維的“長度”，讓思維“觸角”不斷拓展延伸。深化對數學知識的再認識、再理解和再建構，引領學生在不斷向上生長。

二、本原性問題的教學意義

1.改變課堂教學組織方式

從教的角度看，便于教師圍繞本原性問題構建大的空間。通過創設大問題、提煉大環節、構建大空間培養學生的自主學習意識，有利于學生以開放、多維的方式探索未知，改變教師過度牽引、學生被動接受的課堂教學現狀。從學的角度看，本原性問題給學生的獨立思考與主動探究留下了空間，為思維發展提供了更大的張力。因此，以本原性問題為導向的教學，既是教師從學科教學走向學科教育、從主題教學走向核心素養培育的關鍵，也是學生從淺層學習走向深度學習、從“被動認知”走向“主動建構”的重要路徑。

2.促進數學學習走向深刻

深度學習是學習者主動探索、辨別、加工和建構知識的學習過程，其核心要義包含關聯性（知識間的內在聯系）、過程性（學生參與的時間和空間）和開放性（學生的真實表現），突出深度思辨的思維指向。數學學習不應停留于日常經驗、直觀感知的“淺層活動”，而應深入研究知識內涵，實現深度思考。在本原性問題引領下，學生沉浸于相應的數學學習活動，深入知識意義內核進行深度學習。學生拾階而上，思考得更清晰、更全面、更合理、更深刻，從而真正讓學生學會、學活、學深。

3.促進核心素養落地生根

從知識維度看，本原性問題重視學生對數學概念的理解，數學思想方法的把握，數學思維的感悟等，是學生知識學習和能力發展的助推器。從思維維度看，本原性問題構建了一個問題思維“場”，把學習的內容融入思維空間更廣、強度更高的活動中，確保學生思維發展的“力度”。從情感維度看，本原性問題設置讓學生直面問題的復雜、多元、真實性和挑戰性，不僅滿足了學生的探究欲望，而且增強了學生學習的信心和動力，還幫助學生產生了積極的數學情感和態度。從問題解決維度看，以本原性問題為引領的教學，立足于真實情境的問題解決，通過觀察、比較、分析、推理、抽象、概括等方式去作深入的思考，直到問題解決，這一過程是發展學生核心素養的重要路徑。本原性問題引領的教學，為核心素養的落地生根提供了最為通暢的路徑，促使數學核心素養的培育從理念走向行動。

三、本原性問題的設計策略

本原性問題的設置、提煉既是一門科學，也是一門藝術，涉及教學內容、學生、教師自身的數學理解以及對教學實踐的認識等諸多要素，是教師專業素養和實踐智慧的集中反映。筆者認為，教師提煉本原性問題時，需要提升站位，基于學生，整體把握。

1.整體把握，在知識關聯處生長本原性問題

數學學習內容本就是一個整體。雖然教材編寫和教學的分課時推進讓這個整體變得“斷裂且隱蔽”，但稍有經驗的教師都會關注教材的前后聯系，注意按照知識內在的順序展開教學。教學中，教師要用全方位、立體化的視角去研究教材，從整體上把握每一節課的完整思路和理念框架，了解它在板塊中的地位、意義、作用，準確把握知識體系尤其是其內部邏輯聯系。只有把教材的縱橫聯系摸清讀透，才能從靜態的教材中領悟出能讓學生參與其中的動態的教學活動，設計出凸顯知識前后聯系的板塊式教學過程，提煉出針對性強、引領全課的本原性問題。

如，教學“真分數和假分數”時，假分數的意義一直是學生認的知盲區。如果只從表面解讀教材，就很難引發學生深層思考，也就無法引領學生理解“真分數和假分數”的本質。基于此，教師可以以分數單位為新知生長點，將“真分數和假分數之間的聯系”作為這節課的本原性問題，圍繞本原性問題設計“每個分數里各有幾個？5個是幾分之幾？”“、、里各有幾個？需要幾個同樣的圓才能表示？”“可以把這些分數分成幾類？你的分類標準是什么？”等問題串，促使學生去思考真分數和假分數的內涵，進而很自然地抽象出“數”，生成合情合理的解釋：其實是整數1，是1和合成的數，所以它們不是真分數。

筆者認為，設計出有利于學生整體認知、整體建構的本原性問題時，不僅能夠還原數學本來的面目，學生從“知其然”走向“知其所以然”，更重要的是能夠帶給學生“全局”眼光和系統思維，這顯然有利于發展學生的數學核心素養。

2.基于經驗，在經驗斷層處設置本原性問題

美國教育家杜威認為：“教育是一個在經驗中不斷發展的過程。”小學生的學習過程是一個激活、利用、調整和促進經驗提升的過程，是“自己對生活現象的解釋”和“基于經驗的積極建構過程”。本原性問題的設置，不但要理解教材，更要研究學生，更應基于學生經驗的視角設計教學。教師只有對“學什么”“學生的真實起點在哪里”“認知困惑是什么”“怎么學”等問題有了清晰、準確、深刻把握的基礎上，所設置的本原性問題才能具有挑戰性（即形成認知沖突）、啟發性（即引發數學思考）和可接受性（即處于學生認知的“最近發展區”），才能真正彌合認知目標與學生學習需要之間的差距，激發學生積極參與數學活動，推動學生從現有的認知水平向更高的認知水平邁進。

如教學“時、分的認識”時，學生從小就非常熟悉鐘表，有較為豐富的認鐘表、看時間的經驗，對時、分的認識不是一片空白。但是，學生讀出鐘表上的時間，需要看出“分針所指的刻度對應的數據”，這有一定的困難。站在本原性問題設計的角度，可以這樣處理：“今天我們學習鐘面的有關知識，你對鐘面有哪些了解？”當學生答出鐘面上有12個數，我能認識幾時，鐘面上有兩根長短不同的針，便可提出本原性問題：“如何認出鐘面上的幾時幾分呢？”這一問題的設計既基于學生已有的認知經驗，又很好地設置了認知沖突。學生在“如何認識幾時幾分”這一本原性問題的引領下，觀察鐘面就有了思維的方向。教學認識幾時、幾分以及時、分的關系時，圍繞以下幾個問題動態演示時針和分針走的過程展開：（1）時針從12走到1是幾小時？從12走到2呢？從3走到8呢？你發現了什么？（2）分針從12走到1，經過了多少小格，是多少分？從12走到3呢？從12走到6呢？你發現了什么？（3）當分針從12走了一圈回到12，經過了多少小格，是多少分呢？分針走1圈，時針走了幾小時？你有什么想說的？

通過幾何畫板動態演示時針和分針走的過程，能夠讓學生直觀地看到鐘面上經過幾時、幾分，以及時、分之間的關系，從而在整體上把握時、分之間的內在聯系。美國教育心理學家奧蘇伯爾認為，影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。“已經知道了什么”即兒童的已有經驗和已有知識。可見，“經驗”是學生數學學習的重要資源。本原性問題正是基于學生的已有“經驗”，引導學生從經歷和體驗中學習，從而有效促進學生的深度理解性學習;幫助教師改變自己的教學方式，從而讓教學更有方向、更有條理、更加順暢、更具活力。

3.讓學引思，在思維創生中整合本原性問題

《禮記·中庸》記載：“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。”可見，“學、問、思、辨、行”是學習的重要方式與路徑。“問起于疑，疑起于思。”數學學習就是“從無疑到疑，再由疑到無疑”的矛盾運動過程，是一個不斷明辨、慎思的過程。本原性問題設計以“是什么、怎么樣、為什么、還有什么”為主線，整體把握學習路徑，引領學生從整體的角度對事物進行分析、推理和判斷，辨析事物的情境、范疇和原理，努力形成系統性思維。

如，教學“正比例的意義”時，“相關聯的量”和“比值一定”是本課兩個本原性問題，是學生思維的引爆點，是課堂推進的原動力。教學應始終圍繞這兩個本原問題展開。教學中，為引導學生發現行程問題中變量與不變量之間的關系，教師可以圍繞以下問題展開教學：

一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

問題1：觀察表中的數據，你有什么發現？路程和時間是相關聯的量嗎？它們的變化有什么共同點？表格中兩個省略號可以表示什么？

問題2：你能寫幾組相對應的路程和時間的比，并求出比值嗎？比值80表示什么？

問題3：像這樣的式子寫得完嗎？如果用一個式子來概括這些算式，該怎樣寫？

本原問題是統整全課的大問題，它需要一系列的關鍵性問題來支撐。教師借助幾個關鍵性的問題，讓學生充分經歷數據的變化過程，體會變化中的不變，為正比例的意義求解。首先是指向關聯的問題，促使學生發現時間和路程之間的變化規律，即時間擴大幾倍，路程也隨之擴大幾倍;其次是指向比值的問題，讓學生發現變化中的不變，即速度始終是一定的，并歸納出數量關系式;再次是指向數形關系的問題，幫助學生建立成正比例的兩種量的表象;最后是指向判斷的問題，讓學生自學課本，弄清路程和時間成正比例的兩個必要條件。本原性問題教學就是循著“是什么、怎么樣、為什么、還有什么”的思辨之路，引導學生在有序觀察中探尋特征，在例證比較中洞察關系，在動態轉化中把握本質，在發散聯想中尋求創生，在解決問題中增長智慧。

4.探本溯源，在知識內核處提煉本原性問題

數學知識內核是指數學核心概念，表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，以及隱藏在數學知識背后的思想和方法。因此，數學教學應把握好數學邏輯、內容本質、認知方式三個基本要素，透過知識表層設計本原性問題，引導學生思維深度卷入，將“冰冷的美麗”變成“火熱的思考”，實現學生數學思維的發展在順其自然中由表及里，逐步向縱深發展。幫助學生理解數學概念，把握數學思想，感悟數學思維，鑒賞數學之美，追求數學精神。

如，教學“用數對確定位置”時，本質是一個數對與平面上的點一一對應，是學生學習平面直角坐標系的基礎。教學時，教師可以將“如何用數對確定位置”確定為本原性問題，引導學生經歷從“物體位置”到“點的位置”、從“確定位置”到“刻畫特征”、從“數學表達”到“生活應用”的過程。

1.教學用數對表示平面圖上的位置（例1）

（1）我們該怎樣來描述小軍的位置呢？

（2）你能用“列”和“行”描述一下小軍的位置嗎？

（3）如果用簡潔的方式表示“第幾列第幾行”，小軍的位置可以怎么描述？

（4）小軍的位置用數對如何描述？

（5）（2，4）、（4，2）這兩個數對一樣嗎？同樣都用到了2和4，為什么卻表示兩個不同的位置？那么，數對中兩個數字的順序能隨便調換嗎？

2.教學用數對的方法在方格圖上確定位置（例2）

（1）這是一張公園的平面圖，你能用數對表示出各個景點的位置嗎？

（2）（給它加上一個網格）現在你還能用數對確定各個景點的位置嗎？

（3）兒童樂園的位置是由哪兩條線決定的？假山呢？

（4）在方格圖上，你還能根據數對找到對應的點嗎？這兒有三個數對，請找到對應的點并標上數對。出示數對：（1，5）、（3，3）、（4，2）。

（5）把這三個點用線連起來，你發現了什么？

（6）觀察這些數對，你有什么發現？（2，4）和（2，3）這兩個數對表示的點，哪個點會在這條直線上？

……

不論是用數對表示平面圖上的位置，還是在方格圖上確定位置，“如何用數對確定位置”本原性問題像燈塔一樣指引著學生思考的方向，引導學生通過思維的交流與碰撞，把握學科本質，體會思維之美、理性之趣。學生由“第幾排第幾個”到“第幾列第幾行”，再到用數對的方法確定“點子圖上”點的位置，在圖例不斷抽象、方法不斷簡化的過程中初步感受坐標思想的本質。通過在方格圖上用數對確定位置的辨析、比較，感受平面直角坐標系的本質思想。這正好與笛卡爾思考的“如何實現點與數的對應”這個問題一致。把建立坐標系替換成制定規則，從規則中分解出坐標系的要素讓學生體會，在最重要、最本質的問題上做文章，讓學生經歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學生自主發現并建構的數學知識。

教學中，教師應該把握問題的內核，提煉高質量的本原性問題，引導學生找到適切的學習路徑，促進學生核心素養的提升。追求以本原性問題為導向的數學教學，就是期許數學課堂從關注教師的教轉向關注學生的學，期許課堂提問從“小步子”走向“大問題”，期許課堂教學從“知識導向”走向“素養導向”。善于運用本原性問題引領教學，教學內容才會“精”，教學環節才會“簡”，教學方式才會“活”，學習效果才會“實”！