翼型顫振壓電俘能器的輸出特性研究1)

田海港 單小彪 張居彬 隋廣東 謝 濤

(哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，哈爾濱 150001)

引言

振動能量俘能器是被認為一種有潛力、能替代的能量源，能夠有效持續為低功率微機電系統供能[1-3].振動-能量轉換機理通常包括壓電式[4-5]、電磁式[6]、靜電式[7]和摩擦電式[8-9].由于壓電式在易制作、高能量密度和無電磁干擾等方面具有巨大優勢，已經成為國內外學者研究的熱點.

流激振動廣泛存在于自然環境中，蘊涵巨大的能量，包括渦激振動[10-11]、尾流激振[12-13]、顫振[14-15]和馳振[16-17].其中顫振是一種自激勵、大幅值的氣動彈性振動.當來流風速超過臨界顫振速度時，壓電俘能器發生顫振，并出現極限環振蕩(limit cycle oscillations，LCO).學者利用翼型顫振俘獲能量已經進行了理論和實驗研究.Wang 和Inman[18]提出了一個同時能量俘獲和振動抑制的壓電多功能翼型梁，并獲得了較好的結果.Abdelkefi 等[19-20]研究了含有間隙非線性翼型壓電俘能器，表明間隙能降低顫振速度.Benjamin 和Bryant[21]實驗研究了兩個串行機翼的振動特性，獲得了LCO 和渦旋特性.Wu 等[22]提出了雙沉浮的翼型顫振壓電俘能器，利用動態失速模型研究了動力學響應特性.Li 等[23]在翼型壓電俘能器上采用非線性磁力，用于降低臨界速度和拓寬頻帶，從而提升了俘獲性能.

在二自由度沉浮-俯仰振動壓電俘能器系統中，采用的氣動力模型通常包括準靜態[24]、非定常[25-26]和動態失速模型[27-28].De Marqui 和Erturk[29]采用非定常模型推導了翼型壓電俘能器的壓電-氣動彈性振動無量綱方程，研究了結構參數對顫振速度和輸出功率的影響.Li 和Xiang[30]采用非定常氣動力模型研究了具有立方剛度非線性的氣動彈性振動響應，獲得了LCO 特性.為了研究機翼附近的流場和渦脫特性，國內外學者采用計算流體動力學(computational fluid dynamics，CFD)進行了仿真分析.Lu等[31]研究了非對稱正弦俯仰運動對NACA 0012 翼型氣動特性的影響，獲得了機翼前緣的渦脫特性.Chen 等[32]分析了尾流對半主動拍振翼型壓電俘能器的影響，表明尾流能增加提升力和降低力矩.

雖然國內外學者對二自由度翼型顫振壓電俘能器進行了研究，但機翼附近的流場特性和渦旋脫落還不清楚.基于非定常氣動力模型的理論分析不能獲得機翼附近的流場特性.準確的流場特性能為提高振動響應和輸出性能提供一定的指導.

因此，為了有效俘獲氣動彈性振動能量，在提出翼型顫振壓電俘能器[33]的基礎上，進一步研究壓電俘能器的結構參數對其流場特性、氣動彈性振動響應和俘獲性能的影響.基于非定常氣動力模型，推導壓電俘能器流-固-電耦合場的數學模型.采用CFD 建立有限元模型，獲得機翼附近的渦旋脫落和流場特性.搭建風洞實驗系統，制作樣機，驗證理論分析和仿真模擬的正確性.仿真分析偏心距對氣動彈性振動響應和俘獲性能的影響.

1 翼型顫振壓電俘能器的建模

1.1 壓電俘能器的設計

以翼型作為擾流體截面形狀，提出的二自由度翼型顫振壓電俘能器模型如圖1 所示.為了有效俘獲氣動彈性振動能量，壓電俘能器豎直放置在空氣流中.兩個板簧由支架和機翼軸連接機翼，能發生垂直于來流方向的彎曲振動，用以模擬機翼的沉浮運動.彈簧絲一端插入機翼軸中，另一端與支架連接，限制機翼軸大角度的旋轉，用以模擬俯仰運動.當空氣來流作用于機翼表面時，隨著來流風速的增加，氣動力負阻尼系數逐漸超過壓電俘能器的結構阻尼，系統的整體阻尼由正變為負，使其變為不穩定.壓電俘能器發生顫振，表現為垂直于來流方向的沉浮運動和繞機翼軸的俯仰運動，并表現LCO.為了有效俘獲氣動彈性振動能量，將壓電片PZT 粘貼在板簧根部，制作壓電俘能器.壓電俘能器的沉浮運動驅動板簧產生彎曲變形，俯仰運動經支架轉換為板簧的彎曲變形.由于正壓電效應，壓電片在外接電阻兩端產生交變的電流.設計的壓電俘能器期望能實現較好的氣動彈性振動響應和俘獲性能.

圖1 二自由度翼型顫振壓電俘能器模型Fig.1 Model of two degrees of freedom airfoil-based flutter piezoelectric energy harvester

1.2 壓電俘能器的數學模型

根據經典的二元機翼理論，將機翼等效為剛體.機翼在來流中發生的氣動彈性振動能被視為二自由度沉浮-俯仰運動.圖2 表示壓電俘能器系統的原理示意圖.

圖2 壓電俘能器系統的原理圖Fig.2 Schematic diagram of piezoelectric harvester system

當來流作用于機翼表面時，產生垂直于來流方向的氣動升力和繞機翼軸的氣動力矩.在1/4 弦長處氣動升力和繞機翼軸的力矩分別定義為F和Mα.壓電俘能器系統二自由度沉浮-俯仰運動的控制方程可寫為[33-34]

式中，h和α分別表示沉浮和俯仰位移，xα表示機翼軸與重心的無量綱偏心距，b表示半弦長，mT是壓電俘能器系統總質量，mf僅表示機翼質量，ch和cα分別表示在沉浮和俯仰自由度上的阻尼系數，kh1和kα1分別是在沉浮和俯仰自由度上的線性剛度系數，kh3和kα3分別表示立方剛度系數，θ1和θ2分別表示機電耦合系數，R是外接電阻，V表示外接電阻兩端的輸出電壓，Cp是壓電俘能器的電容.

相對于準靜態和動態失速氣動力模型，非定常氣動力模型采用Wagner 函數和Sears 近似描述不穩定的振蕩效應，并考慮氣動彈性系統的瞬時運動.為了準確地表示機翼的氣動性能，本文采用非定常氣動力模型，可寫為[33，35]

式中，表示增廣變量，d表示機翼軸到半弦長的無量綱距離，d=-0.5，c0=1，c1=0.165，c2=0.045 5，c3=0.335，c4=0.3.

將式(4)～ 式(6)代入式(1)～ 式(3)中，引入空間狀態變量x=(h，α，，V)T，壓電俘能器系統流-固-電耦合場的數學模型可寫為

式(7)可利用龍格-庫塔方法進行離散數值求解.

1.3 壓電俘能器的有限元模型

流-固-電耦合是一種復雜的多物理耦合場，涉及到流體、結構和電學之間的交互作用.實驗和理論分析不能揭示其耦合作用.為了分析機翼附近的渦旋脫落和流場特性，本文也采用CFD 方法，揭示機翼附近的流場特性和實時提取氣動力和力矩，能夠實時獲得流場特性、振動響應和俘獲性能.圖3表示建立的壓電俘能器有限元模型.

圖3 壓電俘能器的有限元模型Fig.3 Finite element model of piezoelectric harvester

為了展示機翼附近的流場特性和渦旋脫落，流場域設置為20b× 12b.邊界條件包括入口(inlet)、出口(outlet)、對稱(symmetry)和壁面(airfoil).有限元模型的網格數量為46 887.式(1)～ 式(3)利用龍格-庫塔方法進行離散，編寫為UDF (用戶自定義函數)文件，在仿真分析中進行編譯和加載.其中，氣動力F和力矩Mα可以在仿真分析中實時求得.時間步長設置為0.001，總步數為15 000.采用基于k-ω的剪切應力傳輸(SST)模型能夠準確的預測流場.求解過程為:(1)流場求解在時間Δt1和位置(h1和α1)下的F和Mα;(2)獲得的F和Mα代入式(1)～式(3)中進行求解氣動彈性振動響應和俘獲性能，并在Δt2運動到新位置(h2和α2);(3)一個計算周期完成，直至達到所設定的求解時間.

2 實驗驗證和分析

2.1 風洞實驗系統

圖4 表示風洞實驗系統.設計的風洞在測試段能保持穩定均勻的風流.風速調節范圍為0～ 22.73 m/s.壓電俘能器由設計的夾具豎直放置在測試段.數據采集系統包含NI 采集卡、風速儀和電腦，能夠實時采集、顯示和記錄壓輸出電壓.

圖4 風洞實驗系統Fig.4 Wind tunnel experimental system

采用NACA 0012 作為翼型形狀，半弦長為0.126 m.機翼采用3D 打印制作.壓電俘能器的結構參數如表1 所示.其中，剛度系數通過力-位移曲線獲得;阻尼系數由自由振動衰減曲線求得.壓電俘能器的長，寬和高分別為0.3 m，0.03 m 和0.21 m.

表1 壓電俘能器的結構參數Table 1 Structural parameters of piezoelectric harvester

2.2 實驗驗證

本節采用實驗方法，對數學模型求得的理論值和仿真分析獲得的仿真值進行驗證分析.圖5 表示實驗、理論和仿真獲得的輸出電壓隨風速的變化曲線.其中，輸出電壓指的是均方根值.

由圖5 可知，壓電俘能器的輸出電壓隨著風速的增加首先幾乎為零，接著迅速增加，最后逐漸平緩.這主要是因為當風速超過壓電俘能器的顫振起始速度(11.3 m/s)時，發生顫振，并表現為LCO.理論和仿真分析獲得的輸出電壓與實驗值有較好的一致性，特別是風速在12.2～ 14 m/s.但在較高風速下，存在一定的誤差，主要是較大的變形導致壓電俘能器系統的非線性特性.總之，理論和仿真分析能較準確地預測顫振速度和評價俘獲性能.

3 振動響應和俘獲性能的仿真分析

上節利用實驗和理論分析驗證了仿真模型的正確性.本節采用仿真方法分析壓電俘能器的流場特性、氣動彈性振動響應和俘獲性能.

3.1 流場特性

為了獲得機翼附近的流場特性和渦旋脫落，圖6表示機翼附近的壓力場變化云圖.其中，虛線表示機翼沉浮運動的初始中間位置;壓力變化范圍為-50～80 Pa.

圖6 機翼附近壓力場變化云圖Fig.6 Variation of pressure field around the airfoil

圖6 表明機翼首先以較大沉浮速度離開中間位置向下運動，此時高壓區域出現在機翼前緣下表面，低壓區域出現在機翼上表面.由于高壓區域出現在機翼前緣下表面，機翼接著發生順時針的旋轉運動.此外，由于負壓的吸力作用，阻止機翼繼續向下運動.在機翼上下表面的壓力差驅動機翼向上運動，并伴隨著順時針的旋轉運動.機翼繼續運動接近中間位置，高壓區域出現在機翼前緣上表面.因此，交替的壓力差驅動機翼發生在豎直方向上的沉浮運動和繞機翼軸的俯仰運動.由于較大的機翼弦長和較小的俯仰幅值，渦旋始終附屬在機翼表面，并沒有在機翼尾緣發生脫落.

3.2 氣動彈性振動響應

壓電俘能器的氣動彈性振動響應決定著俘獲性能.圖7 表示壓電俘能器在15.2 m/s 時沉浮和俯仰運動的時間變化曲線、功率譜密度和相位圖.

圖7 在15.2 m/s 時沉浮和俯仰運動的時間變化曲線、功率譜密度和相位圖Fig.7 Time history，power spectrum density and phase portraits in plunge and pitch at 15.2 m/s

由圖7(a1)和圖7(a2)可知，沉浮和俯仰位移需要大約3 s 實現周期性和穩定的振動.通過快速傅里葉變換(FFT)，俯仰運動的一階基頻為4.456 Hz，是等于俯仰運動的.表明壓電俘能器系統發生顫振，在沉浮和俯仰運動中存在耦合作用，產生等幅值自激勵的氣動彈性振動.同時，俯仰運動也出現二階和三階頻率，表明壓電俘能器系統具有俯仰平方和立方剛度非線性.立方頻率的幅值大于平方的，因此，俯仰立方非線性剛度系數對系統的振動特性具有重要影響.圖7(c1)和圖7(c2)表明沉浮和俯仰位移的相位圖表現單圓環.這意味著壓電俘能器在15.2 m/s時發生LCO，是適合于俘獲能量.

3.3 俘獲性能

為了充分的研究壓電俘能器結構參數對其氣動彈性振動響應和俘獲性能的影響，采用重心與機翼軸之間無量綱偏心距進行研究.圖8 表示壓電俘能器的沉浮幅值，俯仰幅值，輸出電壓和輸出功率隨偏心距和風速的變化曲線.其中，壓電俘能器外接負載電阻為250 kΩ.

圖8 沉浮幅值，俯仰幅值，輸出電壓和輸出功率隨偏心距和風速的變化曲線Fig.8 Variation of plunge amplitude，pitch amplitude，output voltage and output power with eccentricity and airflow velocity

由圖8(a)可知，偏心距和風速對沉浮幅值具有重要影響.隨著偏心距的增加，沉浮幅值首先迅速增大，直到達到最大值，然后緩慢減小.這主要是因為偏心距決定顫振速度，從而影響氣動彈性振動響應和俘獲性能.而風速的增加也導致了沉浮幅值的單調增加.輸出電壓和輸出功率與沉浮幅值的變化趨勢相似.當偏心距為0.3 和風速為16 m/s 時，可獲得最大沉浮幅值為0.045 m，輸出電壓為17.88 V，輸出功率為1.278 mW.此外，偏心距和風速對俯仰幅值產生不同的影響.當偏心距增大時，質量慣性矩也相應增大，導致俯仰幅值一直增大，如圖8(b)所示.而較大的沉浮幅值和較小的俯仰幅值有利于俘獲氣動彈性振動能量.這解釋當偏心距為0.3 時，能得到最大的俘獲性能.該結構參數下壓電俘能器的功率密度達到7.99 mW/cm3，相比較于已經報道的翼型顫振壓電俘能器[36]，其輸出功率為2.2 mW，壓電材料體積為0.481 cm3，功率密度為4.57 mW/cm3，可實現較好的俘獲性能.因此，選擇恰當的壓電俘能器結構參數，能夠促進氣動彈性振動響應和提升俘獲性能.本文能為設計高效的翼型顫振壓電俘能器提供重要的指導.

4 結論

本文提出了一種翼型顫振壓電俘能器，模擬機翼的二自由度沉浮-俯仰運動和俘獲氣動彈性振動能量.基于非定常氣動力模型，推導了壓電俘能器的流-固-電耦合場的數學模型.采用CFD，建立了壓電俘能器的有限元仿真模型.搭建實驗平臺，制作了壓電俘能器實驗樣機，進行了實驗驗證與分析.實驗結果表明:仿真分析獲得的輸出電壓與理論和實驗值具有較好的一致性，驗證了仿真模型的正確性.機翼附近交替的壓力差驅動壓電俘能器發生二自由度沉浮-俯仰運動.當風速超過顫振速度時，壓電俘能器發生顫振，并表現為LCO.當偏心距為0.3 和風速為16 m/s 時，可獲得最大沉浮幅值為0.045 m，輸出電壓為17.88 V 和輸出功率為1.278 mW.輸出功率密度達到7.99 mW/cm3，相比較于其他壓電俘能器，能實現較好的俘獲性能.本文能為進一步設計高效的翼型顫振壓電俘能器提供重要的研究基礎.