注重“結構化”，讓學習在整體關聯與結構發展中走向深刻

文|管小冬

結構化是指“將逐漸積累起來的知識加以歸納和整理，使之條理化、綱領化，做到綱舉目張。”在小學數學教學中，結構化教學一直被倡導。一方面，這源于數學知識本身的結構化與系統化，即人類文明發展到今天，數學研究的成果呈現出高度結構化的狀態，這既是數學本身的特征，也代表著人類對世界、對數學認識的不斷深入。另一方面，這源于我們的教育對象是兒童，基于他們的心理及認知特征，要想讓他們在較短的時間內掌握這些集聚人類幾百甚至幾千年智慧結晶的數學成果，以結構化的方式進行教學是我們的必備方式之一。因此，各版本教材的編寫，在內容的呈現順序、方式上都十分注重結構化。近幾年，以吳玉國為代表的數學研究團隊，更是旗幟鮮明地提出了“結構化教學”的教學主張，倡導“教師建立在數學知識系統和學生已有認知基礎上”的，“著眼整體，著重聯系，著力思維”的教學。即“始終把每堂課教學的知識置于整體的知識體系中，讓學生在一定的知識體系中更好地理解各部分知識。”（史寧中）

需要特別指出的是，本文所談的“結構化”，特指在單元或板塊學習結束時，學生在教師的引導下對單元或板塊學習的具體內容、學習方法、思維過程等進行梳理、關聯，形成整體性認識與全局性理解；將這部分內容與以前所學內容有效關聯，更深刻地理解數學知識發生發展過程，領悟其間蘊含的數學思想方法，更好地實現“同化”與“順應”；立足當前內容，展望后續學習與研究，尋找新方向，發現新問題，誘發新思考，讓數學學習在整體關聯與結構發展中走向深刻。

我們特別強調在單元或板塊學習結束時引導學生形成結構化的認知，源于以下三個方面的認識與實踐。

首先，在指向具體內容的數學學習中，在教師有意識地設計與引導下，結構化學習得以發生（事實上，我們也應倡導、追尋這樣的教與學的方式）。但我們仍應看到，即使有著教師基于對數學內容整體、高位認識下的結構化設計，學生學習時仍然很難，甚至幾乎不可能在具體內容的學習時“居高臨下”地看待學習內容、方法與過程。“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，他們往往沉浸在教師所創設的“真情境”中展開學習與探究活動。其間雖然也有對“學什么”“為何學”“怎樣學”等方面的認識與思考，但正因為置身其中，往往并不能清晰且深刻地認識到知識間的整體關聯與結構發展。王國維在《人間詞話》中有一段關于詩人的評語：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外。”學生的學習也不外乎此，“入乎其內”可以讓學生于“真情境”中獲得“真體驗”，以主體身份親歷知識發生發展的關鍵歷程，形成對具體內容所蘊含的數學本質及相應數學思想、方法的深刻理解；而“出乎其外”卻可以讓他們以第三人稱的視角，立足全局、立足高遠，回顧、審視、剖析，進而將相應內容連點成線、連線成面、連面成體。

比如，三角形的底和高是度量、刻畫三角形的兩個重要數據，蘇教版教材將“底和高的認識”編排在四年級下冊第七單元第一課時“認識三角形”中。實際教學中，我們會發現，即使教師能夠“高觀點”地設計并展開教學（具體案例可參考本刊2021年第1~2 期《立足“高觀點”，讓學習在數學與兒童的和諧統一中走向深刻———以〈認識三角形〉教學為例》一文），學生仍很難形成對底和高的數學本質及緊密關系的深刻認識。究其原因，一方面是因為學生在對周圍世界的觀察中所形成的對“高”的生活性描述與理解，對其領悟三角形高的數學本質形成了干擾；另一方面則是因為學生初次涉及“圖形的高”這一內容，在單一學習內容的學習與體驗中，很難形成對這一概念數學內容的深刻認識。因此，在“三角形”板塊的內容學習結束時，我借助“什么是三角形的底和高？”“對三角形來說，底和高的作用是什么？”“三角形的底和高與長方形的長和寬有什么聯系與區別？”“在這部分內容的學習過程中，你對三角形底和高的認識有哪些發展和變化？”等問題，引導學生從全局的角度進行回顧與梳理。在這樣的過程中，他們發現“與長方形的長和寬一樣，三角形的底和高也是用來刻畫圖形大小的重要數據。長方形的長和寬確定后，它的形狀、大小都可以確定；三角形的底和高只能確定它的面積，不能確定它的形狀。”“我們之所以要研究三角形的高，是因為高是從頂點到它對邊的垂直線段，有了它，我們就可以把三角形與長方形、與單位面積等內容聯系起來，進而解決問題。”在這種“出乎其外”的回顧、審視、剖析與交流中，學生逐漸積累起來的對三角形、對三角形高的認識就不再是堆積的，而是初步走向了結構化。

其次，我們倡導具體實施中的“童籌劃”，引領學生在真情境中發現問題、提出問題，“自主提出解決問題的方法，確定解決問題的步驟與注意事項，構建問題解決的研究路徑”。從“結構化”的視角看，“童籌劃”歸屬于“低結構學習”，即“學習主要由兒童發起，學習的動機主要是兒童的需要，由兒童與教師共同確定學習的目標，更強調學習活動的過程”。這樣的學習，側重于讓學生完整經歷真實的問題解決過程，在掌握基礎知識與基本技能的同時，積累解決問題的基本經驗，促進創新能力、協作能力和批判性思維等方面的發展。但我們仍應看到，“結構化”或者說學生學習結果的“高結構”仍應是教學活動的重要目標之一。北京教育學院的劉加霞教授認為：“形成結構并從結構的角度把握事物本質的過程即為結構化。……從無序、雜亂到有序、有結構既是人的心理需要、學生學習數學的需要也是數學發展的需要。”她強調：“任何一個數學內容都從屬于某一結構，從‘結構’的角度來把握所學習的數學內容非常重要，這樣能把握內容的實質，建立內容之間的聯系。”而在單元或板塊學習結束時，引領學生對基于“童籌劃”而展開的學習過程進行回溯、梳理與反思，是“從無序、雜亂到有序、有結構”的最佳契機之一。這樣的結構化不僅有助于學生對數學知識的記憶、存儲和檢索，更能去蕪存精，提高認知的結構品質，進而使學生獲得知識遷移與應用能力等方面的提升。

比如，在“三角形”部分的教學中，“童籌劃”的學習方式可以讓學生根據自己的認識選擇感興趣的主題展開研究，研究中可以結合遇到的具體問題與困難及時優化研究方法與過程，甚至是調整研究方向。在這樣的學習與研究中，因為學生的行動與思考多源于自身對相應問題認識的不斷深入，所以對板塊內各部分知識間的聯系會有著較為深入的認識。例如，選擇“三角形的面積計算”作為首個研究主題的那些學生，會在研究中發現計算三角形的面積始終都離不開頂點到對邊的這條垂直線段，進而主動去認識“三角形的高”。在這樣的過程中，他們對三角形高的數學本質，三角形的底和高與面積間的關系有著超出其他學生的、更為深刻的理解。（具體案例可參考本刊2021年第3 期《倡導“童籌劃”，讓學習在師生協同建構中走向深刻——以“三角形”部分的教學為例》一文）但我們也發現，在這種學習方式下學生所形成的認知結構層次還不夠清晰與系統。因此，在這一板塊的內容學習結束時，教師應引導學生回顧這一板塊的學習歷程，重點思考：本部分內容的基礎知識、基本概念是什么？各部分內容是如何在這些基礎知識、基本概念的基礎上生長出來的？相互間有著怎樣的聯系？如果請你指導同伴進行這個板塊的學習，你會建議他沿怎樣的路徑展開？隨后，再引導學生就自己思考、梳理形成的本板塊內容思維導圖進行交流。在這樣的過程中，學生會逐步理清知識發生發展的過程，明晰各部分內容間的相互關聯，將“童籌劃”過程中形成的認知結構不斷調整、優化為更契合數學自身的結構。

最后，從學習是為了“學會學習”這一目的出發，學生“結構化”狀態下的數學知識方具有“自我生長的活力”，對學習過程與結果的“結構化”追尋可以推動他們不斷在新情境中生成新問題，形成新懸念，進而在“結構”的不斷打破與重塑中獲得新知識、新方法與新思想。從這一角度看，單元或板塊內容學習結束時的“結構化”有兩個方向。一是內部的結構化，即在理解各具體內容數學本質的基礎上，明晰相互間的聯系，建立知識網絡，形成整體性認識、全局性理解，提升應用能力。二是外部的結構化，即在內部結構化的基礎上，向前追溯，理清知識發生發展的脈絡，主動將當前的“結構化”認知與原有認知進行銜接，促進“結構化”在更高層面、更廣范圍的形成與發展；向后追問，嘗試發現新的研究方向，提出新問題，作出新猜想，實現數學學習的主動發生與“結構”的“主動生長”。

比如，在三角形板塊的內容學習結束后，我們可以引導學生思考這樣的幾個問題：1.教材為什么要安排我們先認識長方形、正方形，再認識三角形？2.長方形、正方形板塊的學習過程與這部分內容的學習有哪些相似之處？又有什么不同？3.后續你想繼續研究什么內容？可以怎么進行研究？

以上是我在“三角形”板塊的教學中，就促進學生數學認知“結構化”，走向簡約，走向深刻方面的實踐與思考。需要特別指出的是，結構化的教與學可以大大提升學生對知識的記憶、理解、檢索與應用，但我們仍應明白，結構化教學，不能僅止于結構化，還應引導學生在這一過程中學會“結構化”，自主“結構化”，由此獲得學習習慣、思維方式、數學素養等方面的發展與提升。