基于數學經驗課堂背景下深度學習的評價
——兼評《釘子板上的多邊形》一課教學

文|楊國華（特級教師）

數學經驗課堂的“學法五動”特質，我曾在本刊2020年第9 期中翔實介紹過，它旨在引導教師關注學生在數學學習中的動手操作、動眼觀察、動腦思考、動口說理與動耳傾聽。這樣的引領要求，無疑使一線教師能真正讓學生經歷知識的發生、發展過程，引發學生深度學習。就數學學科深度學習而言，總體來說，其過程能夠讓學生掌握數學學習的內容，培養批判性思維，以及解決復雜問題、合作和有效溝通的能力，真正發展學生的自主學習與探究的能力，即學會如何去學習。故此，我們在江蘇省第十三期（2019年度）教研課題“基于‘數學經驗課堂’背景下深度學習的教學實踐研究”的研究引領下，對深度學習的評價進行了專項研討，現結合課例談談我們的實踐思考。

一、立德樹人是應有要義

數學課堂如何做到立德樹人呢？事實上，在我們研究的視域內，立德樹人一直是關注重點。通過數學課的學習，要讓學生樹立一種實事求是的科學探究精神、不畏艱難的品質，并適時進行愛國主義教育。在課例（二）中，王老師結合《釘子板上的多邊形》這一學習內容，巧妙將建黨一百周年的相關內容鑲嵌在引課環節中，不僅增添了學生對數學探究的濃厚興趣，在視覺上讓學生享受到了數學的圖形美，學生更是在教師語言的描述中油然而生愛國之情。我們知道，沒有大膽的猜測就沒有偉大的發現，但我們也應該明白僅有猜測而沒有堅忍不拔的探究精神可能也就是一種空想。孫老師的課堂中，當學生猜想釘子板上的多邊形面積可能與邊上的釘子數、形內的釘子數都有關系時，學生的思維閘門完全被打開，他們想到復雜的問題一般要從簡單問題想起，即從形內有1 枚釘子研究起……就在這樣的一種互動研究過程中，學生學會了合作、學會了多角度思考問題解決的方法，更養成了問題不解決絕對不罷休的可貴品質。

兩節課中，教師與學生、學生與學生之間均是在平等對話中不斷將思維推向深入的，而這樣的一種民主氛圍正是培養學生具有大胸懷、大視野、大格局的最佳舉措。沒有課堂的民主，就沒有社會的民主；沒有家國情懷的培育之意識，我們的下一代何以擔當中華民族的脊梁，我想這確確實實應當成為全體數學教師將之作為立德樹人的共識。

二、參與程度是重要指征

教材安排《釘子板上的多邊形》這一探究實踐活動，價值遠不是得出規律，更重在規律探索過程與方法的經歷和習得，激活探究活動經驗，積累問題解決經驗，提升思維活動經驗。引導學生完整經歷“觀察分析—提出猜想—舉例驗證—得出結論”的過程，讓出合作分享的平臺，讓出質疑問難的空間，讓出獨立思考的機會，讓出探索學習的過程，讓出相互評價的權利。數學經驗課堂背景下的深度學習，教師更應關注學生在學習過程中的參與程度，我們要評價學生有沒有真正參與到數學學習的過程中。

首先，學生應有參與小組合作學習、自主探究的機會。教師要給予學生足夠的時間與空間，讓學生經歷知識發生、發展的過程。課例（一）中，當孫老師與學生共同討論出一般的研究方向后，教師以作業探究紙的引導方式，讓學生在小組內嘗試探究，形成結構、運用結構、巧用推理并逐步得出一般性的結論。王老師的課堂亦是運用《學習單》的形式，讓學生在組內合作、比較歸納，讓思維不斷從無序到有序、從模糊到清晰。尤其是“分組合作，拓展規律”時，學生進行自我分工，自主提供探究的思路……這些過程，無疑都是讓學生真正經歷自主探究的過程，盡管學生的探究過程并不是十分順暢，但我們認為這就是一種真實的思維發展經歷、可看得見的學生成長過程。

其次，深度學習的課堂，我們要求有90%以上的學生能在課堂中有表達自己想法和見解的機會。在兩位教師的課堂教學實踐中，我們能清晰感受到師生、生生之間的一種“談話式”交流入腦入心，學生的思維在交流中不斷被打開，似一股清泉靜靜流淌在教學時空的每一個節點。如孫老師在引導學生發現規律時，通過啟發性談話，學生的思路逐步厘清：邊上的釘子數相等，面積不一定相等；形內的釘子數相等，面積也不一定相等，進而激發了學生進一步的探究欲。我們知道，學生能將自己的內部思維用語言清晰表達時，其實他的思維層次已經在提升。

最后，深度學習的課堂還應該將“講臺”讓給學生，即要讓學生有到臺前表達自己思路（思考）的機會。教育的最終目的是將自然人培養成社會人，這其中能夠在眾人面前自信而大方表達自己的思想與見解，是教育過程中評價“經驗課堂·深度學習”的重要指標。在數學課堂中，教師已樹立了強烈的意識并付諸行動：每一節課，教師都會將“講臺”讓給學生，請他們到臺前來講解自己的思路、見解或困惑等。可能有人會說，學生站在座位上回答問題與到臺前來講述自己的思路有區別嗎？這一點，各位應當形成共識：學生到講臺前來表述自己的思考過程，不僅是回答問題，更多的還有膽識、氣度的培養，即育人的思考。就提供的兩節課例而言，我們在施教過程中反復看到有學生到臺前落落大方表達自己思維。簡而言之，讓學生在他人尤其是在眾人面前能夠大膽且有邏輯的表達，亦應成為數學教育所追求的目標。

三、批判性思維是必然追求

所謂批判性思維就是在數學學習的過程中讓學生學會批判性、分析性和創造性地思考。學生知道如何尋找、評估和綜合信息來構建數學觀點（或論點），為復雜問題設計自己的解決方案。通俗地說，在數學教學過程中要逐漸提高學生的元認知水平，讓學生的創新意識與創新思維不斷得到提升。數學學習過程中，我們要不斷讓學生養成“能反思知識獲得與問題解決路徑的優劣”“能反思支撐問題解決的數學知識、思想與模型是什么？”“能對自己在數學學習中的優勢和需要改進的地方進行反思”等。

探究釘子板上多邊形的面積的過程其實是一個較為復雜的過程，在兩節課例中，學生在教師的引導下都不約而同想到“難的問題不能解決”時，可以從“簡單的問題”想起，即化繁為簡的思想。從這個角度進行評價，學生已經學會結構化思考相關問題，從形內沒有釘子與形內有釘子，進而從形內釘子數較少的開始探究起。這樣的一種結構化思考方式對于學生來說并非一次之功，而是經驗不斷積累提升并繼而成為學生的一種內在思維方式。前面我們已經說過，學生探究釘子板上多邊形的面積的過程并不是一帆風順的，而是在探究的過程中不斷修正自己的思考并逐步優化。兩節課例中，當學生在探究形內多枚釘子時，均采用了讓學生進行類比推理的方式教學，這其實在某種程度上也是讓學生學會優化自己的思維，在數學學習過程中很多時候并不能窮其盡，它需要經歷類比推理、不完全歸納的過程。為了發展學生的批判性思維，讓學生在多種學習資源的比較中學會辨析，逐漸優化思維是又一種教學方式。在課例（二）的“推動內驅，完善規律”環節，王老師將學生研究的所有資源一起展現在媒體上，學生在形內釘子數不同情況資源的比較后，于不同規律的背后發現了規律的共性，當釘子板內部有a 枚釘子時，可以用S=n÷2+a-1 這樣的字母通式來表達規律。事實上，我們在平時的教學中特別關注學生學習資源的收集，如將學生探究資源進行適當分類，將同質與異質資源結構化呈現，學生就更能在資源的展示、比較中自主完善思維。

學會反思是批判性思維的重要表征方式之一。在課例（一）中，孫老師在教學行將結束時，特地設置了一個自我反思、自主評價的教學流程。學生就在這樣的元認知過程中思維得到不斷完善，更認識到該如何有效地參與數學學習的過程。

總之，兩節課例從深度學習的視角進行評價，學生均已理解并掌握了求釘子板上多邊形面積的一般方法。在探究的過程中，遇到的問題對于學生來說盡管是復雜的，但在教師的有效引導下，學生通過合作、交流，彼此之間的思維碰撞是深刻的，學生自主探究與學習的能力明顯提升。