立足教材 挖掘本質
——《比的意義》教學

文|吳金國

【教學內容】

青島版（五·四制）五年級上冊第七單元信息窗一。

【教學過程】

一、創設情境，引出“比”

師：同學們，你們一定知道大名鼎鼎的福爾摩斯吧，他可是個非常聰明、善于思考的大偵探。有一次，罪犯在案發現場只留下了一個腳印，但福爾摩斯就是根據這個腳印，推算出了罪犯的大體身高。你知道他是怎么推算的嗎？讓我們走進今天的數學課堂，一起來探究人體的奧秘。

（出示信息窗中趙凡的信息，情境圖）

師：這是趙凡同學身體的一些信息，仔細觀察，從圖中你知道了哪些數學信息？根據這些信息，你能用算式表示趙凡同學頭部長與身長的關系嗎？

生：160÷25 表示身長是頭部長的幾倍。

生：25÷160 表示頭部長是身長的幾分之幾。

師：除了用算式表示頭部長和身長之間的倍數關系，還有一種方式也可以表示它們之間的關系，今天我們就來認識表示兩個數量之間關系的新方法———比。（板書：比）

【設計意圖：用警探破案的情境引入，深深吸引學生的注意力，學生產生了迫切想知道人體奧秘的需要，教師順勢拋出“趙凡的人體比例圖”，學生找信息并解決數學問題，引出本節課需要研究的主要問題，學生產生了“我要學”的強烈愿望。】

二、分析素材，理解“比”

1．探究同類量的比。（第1 個紅點問題）

師：剛才，我們用160÷25 來表示身長是頭部長的幾倍，還可以把它們之間的關系說成：身長和頭部長的比是160∶25。（教師板書兩種寫法、讀法、表示的意思）

師：“∶”叫比號，讀作比，那比號是怎么來的呢？一起看大屏幕。

師：我們再來看，比號前面的數叫作比的前項，比號后面的數叫作比的后項。比還可以寫成分數的形式。（板書，注意寫的時候從上往下的順序）仍然讀作160比25，現在你還能找到比的前項和后項嗎？那么160 比25 表示什么呢？

師：請同學們想一想，25÷160表示頭部長是身長的幾分之幾，用比又可以怎么說呢？

生：可以說頭部長和身長的比是25 比160。

（指名一學生板書：寫法、讀法、表示的意思，追問哪個數是比的前項，哪個數是比的后項）

師：160∶25 和25∶160，這兩個比一樣嗎？能隨便調換兩個數的順序嗎？

師：兩個數量進行比較一定要弄清誰和誰比。比是有順序的，不能顛倒位置，否則比表示的具體意義就變了。

師：現在，你能不能試著寫出一個比，表示趙凡身體其他部位之間的關系？

（學生在練習本寫出比）

師：通過剛才的學習，我們知道了人身體上各部分之間的長度關系可以用比表示，透過這些比，我們感受到了人體的數學秘密。

師：仔細觀察，我們可以發現剛才這些比都是人身上的數據，都是長度間的比，相比的兩個量是同類的量。（板書）你還能舉出生活中這樣的例子嗎？

生：課桌長60 厘米、寬40 厘米，長和寬的比是60∶40。

生：我的體重是42 千克，同桌的體重是50 千克，我和同桌體重的比是42∶50。

【設計意圖：這一環節是同類量的比較。學生對于比是不了解的，因此，第一個比“160∶25”教師直接講解，學生初步認識后，獨立思考怎樣用比表示其他兩個長度之間的關系，這樣讓學生在思考、相互交流的過程中逐漸建立起“比”的表象，感悟比所表示的具體意義，引導學生順利地從已知的“除法”過渡到未知的“比”。對兩個比的比較及教師小結，為學生理解比的具體意義做了鋪墊。】

2．探究非同類量的比。（第2個紅點問題）

師：（課件出示）趙凡3 分鐘走了330 米，她的行走速度是多少？怎么解決？

師：這個算式能不能寫成比？

（學生寫出比）

師：這個比怎么讀？它表示的是什么意思？

生：路程和時間的比。

師：下面信息中的兩個數量也能用比表示嗎？

課件出示練習題：

趙凡每天堅持跳繩240 個，用時2 分鐘。

趙凡買了6 個本子共花了18 元。

趙凡今年12 歲了，她從家到超市用了4 分鐘。

生：前兩題可以用比表示。后一題不行。

師：后一題為什么不行？

生：12 歲和4 分鐘是沒有關系的兩個量，不能寫成比。

小結：我們發現像剛才這些題目中兩個不同類量相除，可以

得到一個新的有實際意義的量，這樣的兩個不同類量只要相除有意義，就可以用比表示。

【設計意圖：借助學生已有的知識經驗——路程、時間、速度之間的數量關系，學生自然遷移出“用比表示路程與時間的關系”，再次建立除法與比之間的聯系，加深對比的意義的具體理解。】

3．總結比的意義。

師：同學們，根據前面的研究，現在你能說說什么叫作比嗎？先獨立思考，再和同桌說一說。

生：我認為只要兩個數量之間有相除關系，就可以用比表示，

師：你們的理解都很到位。在數學上，把“兩個數相除又叫作兩個數的比”。比的前項除以后項所得的商叫作比值。（板書比值的定義）

【設計意圖：學生在充分經歷用“比”表示兩個量之間的關系后，在心中已建立起比與除法的聯系，所以此環節中，學生對“比”的概念的抽象概括“呼之欲出”。在這一過程中，提升學生的抽象概括能力，提高學生的應用意識和建模意識。】

4．求比值。

師：請同學們在練習本上求出32∶5、12∶36 和420∶3 的比值。

（學生獨立完成，集體訂正）

師：觀察這些比值，你有什么發現？

生：比值可以用分數表示，也可以用小數或整數表示。

師：其實，比值就是一個具體數，我們在計算比值的時候可以根據實際情況來選擇用什么數表示。注意比值是分數時要化成最簡分數。

【設計意圖：除了比的意義，比各部分的名稱、求比值的方法也是本課的知識重點，內容雖簡單，卻較為繁雜，通過三個練習及對比值的觀察比較，在整個理解比值的過程中，學生自然而然地借助了除法，真正建立起了新舊知識間的聯系。】

5．探究比、除法、分數之間的關系。

師：剛才我們認識了比以及比各部分的名稱，學會了求比值，觀察黑板上的式子，想一想，比、除法、分數三者之間有什么關系呢？先獨立思考，然后小組交流，完成表格。

生：通過討論我們發現，比的前項相當于分數的分子、除法中的被除數；比號相當于分數線、除法中的除號；后項相當于分母、除法中的除數；比值相當于分數值、除法中的商。

師：大家還有沒有要補充的？

生：我認為比的后項不能是0。

師：為什么比的后項不能是0？

生：除法中的除數不能為0，所以比的后項不能是0。

師：大家都這么認為嗎？有這樣一條新聞：兩支球隊比賽結果是2∶0。你又怎么解釋？

生：這里的2∶0 不是今天研究的比，我們研究的比是兩個數相除的關系，比分不是相除的關系。

師：其實，體育比賽中使用的“∶”號，只表示哪一隊同哪一隊比賽，各得多少分，不表示兩隊所得分數的倍比關系，它只是一種計分形式，大家知道了嗎？

【設計意圖：表格形式可以幫助學生對知識進行有序整理，培養學生觀察、類比、分析和概括的能力。采用小組合作學習的方式，給學生更大的自主探究空間，讓學生借助板書、多媒體課件的有機結合，總結出三者之間的聯系，感悟它們之間的區別，有利于培養學生間的合作精神，實現了自主學習。】

三、嘗試練習，鞏固“比”

師：我們通過趙凡身體上的奧秘，學習了比，會求比值，還知道了比、分數、除法的關系。

師：下面再來看看我們身體中的其他比：

人體血液中，紅細胞的平均壽命是120 天，血小板的平均壽命是10 天。紅細胞與血小板的壽命比是（ ）。

師：說說下面的比表示的含義。

身高與雙臂平伸的比大約是1∶1；腳長和身高的比是1∶7。

師：（出示腳印圖片，長25 厘米，學生計算）現在你知道警探是怎樣推測出罪犯的身高了嗎？

師：你知道嗎，利用比的知識，從一張照片就能獲取大量的信息，比如建國初期比較有名的照片泄密案（幻燈片出示），所以我們要叮囑家人在朋友圈曬照片時，背景一定不要涉及軍事基地、限制區域等，做一個維護國家安全的小衛士。

【設計意圖：練習題的設計，鞏固本節課的新知，學生了解了更多的人體奧秘，根據腳長算身高與開課的導入相呼應，體現了數學學科的價值與意義。】

四、學習回顧，總結“比”

師：這節課，你有什么收獲？

幻燈片介紹黃金比。其實早在幾百年前，人們就知道了比，開始研究比，并且發現了一個神奇的比。把一個物體分成兩部分，當較長部分與整體的比是0.618∶1 時，會給人一種美的視覺感受，這個神奇的比被稱為黃金比。

師：同學們，哪里有數學哪里就有美，只要我們有一雙善于發現的眼睛，就能夠發現更多數學的美。

【設計意圖：通過課堂總結，可以提高學生的概括能力；讓學生分享這節課的收獲，可以讓學生體驗成功的喜悅，并和大家一起分享；引導學生發現生活中的比，使學生再一次體會到了數學與生活的聯系，培養學生學數學、用數學的意識。】