量感背景下讓認知從模糊走向清晰
——以《體積與容積》教學為例

文|李 玲

【案例背景】

什么是量感？在數學上，視覺或觸覺對于物體的大小、多少、長短、粗細、方圓、厚薄、輕重、快慢、松緊等量態的感性認識，稱之為量感。

“量感”是對量的感覺，也是一種數學能力，是培養學生核心素養的重要組成部分。如何培養學生的“量感”呢？史寧中教授告訴我們：“數學素養的培養，特別是創新人才的培養，是“悟”出來的，而不是‘教’出來的。”可以想象，會“悟”會“看”的底蘊，是把握數學思想的基礎，會“悟”會“看”的教育，是一種經驗的積累（包括思維的經驗和實踐的經驗）。量感的形成不是一蹴而就的，需要受教育者本人的思考與實踐，需要通過在日常生活中感知事物慢慢形成。為了實現這一轉變，教師可以帶領學生去有計劃、有目的地對事物進行定量刻畫，通過不同的教學方式，激發學生的潛能，修正學生的感知偏差，幫助學生培養準確的量感，讓學生言之有物、思之成理，為之后的學習奠定基礎。

下面筆者就以《體積與容積》教學為例，談談在課堂教學中如何培養學生的“量感”。

【案例描述】

在認真研讀量感資料及教科書進行設計時，筆者著重思考以下三個問題：一是學生學習體積和容積的生活經驗和活動經驗是什么？二是如何讓抽象的概念教學可視化、表象化?三是如何在實驗活動中將物與量對應起來發展量感？依據自己的思考，確定了本節課的教學目標：在實驗探索的活動中經歷觀察、比較、分析、歸納、概括的過程，理解體積與容積的意義，進一步發展空間觀念，體會和感悟量感；在活動中，進一步理解體積與容積的區別和聯系，發展數學應用意識，發展量感。教學重點是理解體積和容積的概念。教學難點是理解體積與容積的聯系和區別。

片斷一：理解體積的含義

師：你認為什么是體積呢？

生：重量、表面積、大小等。

（教師演示實驗，一個杯中放入水，然后將土豆放入水中）

師：觀察現象，有什么發現？

生：我發現水面上升了。

師：水面為什么會上升呢？

生：土豆占了杯子的空間，把水擠上來了。

師：土豆擠占了杯子中水的空間，這個發現很有價值，如果老師把土豆拿出來他還會占空間嗎？

生：土豆從水中拿出后它占空氣的空間。

師：你能想辦法證明小組中的土豆和西紅柿，誰占的空間大嗎？

（實驗后全班交流）

生1：在實驗中西紅柿是漂在水面上的，我們商量之后用手將西紅柿摁到水面下。

生2：我們組是用筆尖摁下去的，因為手指占水的空間比筆尖要大，會影響到正確比較土豆和西紅柿所占空間的大小。

【分析：很多《體積與容積》的教學課例中，教師大都喜歡用“烏鴉喝水”的故事導入來感受到物體占有的空間，可以激發學生興趣，但引發他們的數學思考方面有所欠缺。如何激發學生數學思維的火花？筆者在設計本課教學過程時，從喚醒學生的生活經驗入手，在大膽猜測“什么是體積”中讓學生產生認知沖突，在演示實驗過程中快速幫助學生感悟到“空間”與“重量、大小、表面積”幾種不同量的區別，在操作的過程中引導學生感受到物與量的對應關系，繼而在“占空間大小”的實驗中，學生通過觀察、比較、辨析和概括逐步理解了體積的含義，從而圓滿完成了“體積”這一重點內容的概念教學。當比較西紅柿和土豆誰占空間大時，同學們發現西紅柿是漂在水面上的，無法正確比較誰占的空間大。學生進行了認真思考和討論，提出了解決方法：用筆尖將西紅柿摁到水面下，讓西紅柿完全浸沒在水中，忽略筆尖占水的體積，這樣就可以觀察到哪種情況水面上升更高，那個物體所占的水的空間就越大。體積概念從模糊中逐漸清晰起來，這是本節課學生操作的亮點。】

片斷二：區分體積與容積

師：（出示兩個杯子）猜一猜，哪個杯子的容積大？說出你的理由。

生1：體積大的容積就大。

生2：容器壁厚，容積一定小。

師：觀點不一致，怎么辦？

生1：把一個杯子裝滿水，然后倒入另一個杯子，如果第二個杯子裝不下，就說明第一個杯子的容積大；如果第二個杯子還有剩余空間，就說明第一個杯子的容積小；如果正好裝滿，就說明兩個杯子容積相同。

生2：我發現體積大，容積卻不一定大。

師：這個發現很有價值，為什么物體體積大，容積不一定大呢？

生：因為體積看的是外面，指物體所占空間的大小，而容積看的是內部空間的大小，所以容器壁厚的容器，雖然體積大，容積卻不一定大。

師：如果老師在里面加厚這個容器壁，它的體積和容積分別有什么變化？如果在外面加厚這個容器壁呢？

生：在里面加厚體積不變，容積變小；在外面加厚體積變大，容積不變。

【分析：小學生以形象思維為主，讓學生在課堂上動手操作是一個手腦并用的過程，是解決數學知識抽象性與小學生思維形象性之間矛盾的一種有效手段。本節課通過設計比較兩個杯子體積和容積大小的實驗，引導學生有意識地利用實驗來測量杯子容積的大小，既培養了量感，又引領學生學會用數學的思維方式解決問題。】

【教學思考】

數學核心素養具體表現為：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。量感是核心素養的表現之一，本節課注重讓學生在實驗操作中感悟到體積、容積，有利于對量感意識的培養。

1.重“辨”，讓學生在區別中建立量感。

建立量感的前提條件，就是要讓學生掌握不同量之間的區別，對不同的量建立起清晰的概念。例如片斷一，在演示實驗中快速地幫助學生建立起了“空間”與“重量、大小、表面積”幾種不同量的區別。

2.重“感”，讓學生在體驗中豐富量感。

讓學生運用多種感官共同參與，通過借助外界信息對其感官的刺激獲得對體積和容積的直接感覺，這是發展學生量感的必經途徑。例如片斷一中，通過小組實驗讓學生發現所有的物體不但占有空間，而且占的空間有大有小。

3.重“思”，讓學生在內化中提升量感。

量感的建立，必須在多種感官實踐體驗的基礎上，通過思維的參與形成表象，總結提升經驗，從而建立起量感。在本課教學中，筆者通過形式多樣的思考環節，發展了學生的量感。

方法一：“猜一猜”。從猜測到驗證，是一種有效的數學學習方法，也是學生發展量感行之有效的方法。“體積與什么有關系”在猜測（重量、表面積、大小）后引導學生通過演示實驗進行驗證（空間）。

方法二：“想一想”。學生自主操作后，教師引導學生在自我的思考與反思中建立起相應的量感表象。如“杯子的體積和它的容積相等嗎”通過多形式、多途徑的思考，引領學生感悟和內化對于體積和容積概念的理解，更好地發展學生的量感。