二元雙n次多項式插值問題研究

崔利宏， 聶碧宏， 李 雪

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

多元函數插值與逼近是計算數學的一個重要研究方向.近年來，隨著電子計算機運算以及處理能力的不斷提升，多元函數插值在相關學科領域的應用也愈加廣泛和深入，這使得對多元函數插值問題的研究也就顯得愈加重要.目前，對多元分次插值的研究更是許多科研、實際生產等領域所涉獵的重要內容.例如：在解決彈性力學問題時采用的有限元法，在飛行器(飛機、載人飛船)、艦船、高鐵、汽車等產品外形設計過程中的曲面拼接技術等.這些問題都與多元函數插值密切相關，而二元雙n次多項式插值則是多元函數插值的一種特殊情形，目前，在計算力學研究領域有著廣泛的應用.本文在以往學者對二元插值研究的基礎上[1-5]，結合多元函數插值與逼近的相關理論知識[6-8]，進一步研究了二元雙n次插值正則結點組的基本拓撲結構和幾何特征，得到了構造二元雙n次插值多項式空間及沿二元雙n次代數曲線插值正則結點組的構造方法.最后給出兩個實驗算例檢驗本文研究結果.通過應用Matlab軟件編程，得到了被插值函數和插值函數在同一坐標系下的圖像，進而明顯地看出了插值與逼近的效果，同時給出了誤差估計.

1 基本概念及主要定理

p(Qi)=fi,i=1,2,…d.

(1)

下面給出二元雙n次插值空間的基本概念和二元雙n次多項式插值的基本定義.

(2)

(3)

(4)

本文主要結果如下：

2 定理的證明

為了證明上述定理，需要如下基本引理.

g(Qi)=0,?Qi∈A

(5)

g(X)=q(X)·r(X).

(6)

證引理的充分性是顯然的，只需證引理的必要性即可.

又因為g(Qi)=0,?Qi∈A,由定義4知，沿曲線q(X)=0恒有g(X)=0.則V(I1)?V(I2),I(V(I1))?I(V(I2)).

定理1的證明插值結點組C中所包含的點數為

(n+1)2+[(n+k+1)2-(n+k+1-k)2]=(n+k+1)2,

dn+k(X)=q(X)·r(X).

(7)

因為dn+k(Qi)=0,?Qi∈A,所以0=dn+k(Qi)=q(Qi)·r(Qi),?Qi∈A.但是q(Qi)≠0,?Qi∈A.所以只有r(Qi)=0,?Qi∈A.

故有r(X)≡0,進而dn+k(X)≡0,這與假設矛盾.定理1證畢.

定理2的證明插值結點組A∪B中所含的點數為

2mk+[(n+1)2-(n+1-k)2]=(n+m+1)2-(n+m+1-k)2,

g(X)=α(X)p(X)+β(X)q(X).

(8)

又因為

g(Qi)=0,?Qi∈A,

(9)

將式(9)代入式(8)中有α(Qi)p(Qi)=0,?Qi∈A.而p(Qi)≠0,?Qi∈A.故只有α(Qi)=0,?Qi∈A.

(10)

將式(10)代入式(8)中有g(X)=q(X)·r(X).證畢.

3 實驗算例

設被插值函數為f(x,y)=2x+y，取點Q1(0,0)∈2，則不經過Q1(0,0)在直線y=x-1上任取3個點Q2(0,-1),Q3(1,0),Q4(2,1)，根據定理1，這4個點構成二元雙一次空間的正則結點組，且所確定的唯一一條插值函數為

d1(x,y)=1+x+0.5y+2.25xy.

由Matlab做出被插值函數f(x,y)和插值函數d1(x,y)的圖像如圖1所示.

圖1 二元雙一次插值效果圖Fig.1 Binary double linear function interpolation rendering

由Matlab做出被插值函數f(x,y)和插值函數d2(x,y)的圖像如圖2所示.

圖2 二元雙二次插值效果圖Fig.2 Binary double quadratic interpolation rendering

下面對二元雙一次插值多項式和二元雙二次插值多項式的插值逼近效果進行分析.

因此求得兩個算例的絕對誤差和相對誤差分別為

r1=|2-2.312 5|=0.312 5，r2=|2-1.937 5|=0.062 5，

通過以上數據，發現插值函數的次數越高，插值函數越逼近被插值函數，即插值的效果越好.