一類3線纏繞的染色數

王樹新， 王 一， 葛 悅， 杜 怡

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

20世紀紐結和鏈環理論作為低維拓撲學的一個重要組成部分快速地發展起來，尋找紐結和鏈環強有力的合痕不變量，一直都是紐結和鏈環理論研究的一個重要課題. 1970年，J. H. Conway給出了有理纏繞連分數的定義并實現對有理纏繞的分類[1]；2004年，L. H. Kauffman和S. Lambropoulou不僅給出了纏繞的染色規則，而且證明了在此規則下的染色分數是一個同痕不變量[2]；2019年,盧碩在有理纏繞染色的基礎上，討論了兩類代數纏繞染色的性質[3]；2020年,王冬雪等討論了有理纏繞染色矩陣的性質，將2線纏繞的染色問題推廣到n線纏繞的染色問題，并研究了一類n線纏繞的染色性質[4-5].

本文從上述研究結果出發，對纏繞染色進行進一步的研究，將2線纏繞的染色與3線纏繞的染色緊密地結合起來，對一類3線纏繞染色進行細致的研究和分析，給出了上述3線纏繞的一種特定染色，在此基礎上，確定了相應3線纏繞的染色數. 本文得到的一類3線纏繞染色數及其染色性質，為進一步的研究廣義纏繞以及更一般的多線纏繞的染色性質和分類提供了一種新的研究思路，同時也對紐結和鏈環的分類起到了積極的促進作用.

1 預備知識

定義1設(B,t)是一個偶對，若B是一個三維實心球體，t是真嵌入B中的有限條、非定向的互不相交的弧段，則稱(B,t)為一個纏繞，若t=t1∪t2，則稱(B,t)為一個2線纏繞.

注1本文不特加說明，一般用大寫字母T或Ti(i∈+)表示纏繞.

定義4設T1，T2是兩個纏繞，如圖1所示，將T1的NE端與T2的NW端相連接，T1的SE端和T2的SW端相連接，稱上述操作為纏繞T1和T2的加法，記所得纏繞為T1+T2，如圖1(a)所示.把T1的SW端和T2的NW端相連接，把T1的SE端和T2的NE端相連接，稱上述操作為纏繞T1和T2的乘法，記所得纏繞為T1*T2，如圖1(b)所示.

圖1 纏繞T1和T2加法和纏繞T1和T2乘法Fig.1 The addition and multiplication of tangles T1and T2

定義5設T為一個纏繞，在T中任選一個交叉點，上弧段標記整數β，兩條下弧段分別標記整數α和γ，使得α，β，γ滿足2β=α+γ，其中，α≠γ，若T的每個交叉點對應的弧段均保持上述染色規則，且相連的弧段不出現矛盾，則稱T為一個染色纏繞.

圖2給出了某一纏繞特定交叉點的局部染色規則.

圖2 纏繞交叉點的局部染色規則Fig.2 The coloring rule of local crossing of tangle

定義7設T1，T2，T3，…，Tn(n∈+)均為整數纏繞，若纏繞T是由T1，T2，T3，…，Tn按照如圖3所示的完全非代數連接方式構造得到，則稱T是一個完全非代數連接3線纏繞.

注3若橫向觀察圖3中3線纏繞，易知此3線纏繞是由兩行整數纏繞按照完全非代數連接方式得到的.本文僅研究定義7中給出纏繞的染色數.

圖3 一類3線纏繞T的構造方式Fig.3 Constructions of a class of 3-tangle T

定義8設T為一個纏繞，DT是纏繞T的任意一個投影圖，對DT進行染色，記C*(DT)是相應染色所需不同染色整數的個數，稱C**(T)=min{C*(DT)|DT為纏繞T的任意一個投影圖}為纏繞T的染色數.

命題1設T是一個如圖4所示的3線纏繞，則C**(T)=5.

圖4 3線纏繞TFig.4 3-tangle T

注4利用纏繞染色規則，命題1的證明參見文獻[6]中的命題2.1.1和命題2.1.2，并且圖4中給出了相應弧段對應的染色整數，其中,a,b,2a-b,3a-2b,4a-3b是互不相同的整數.

2 主要結果

定理1設Ti是一個[2]-纏繞(i=1,2,…,n)，若纏繞T由Ti(i=1,2,…,n)按圖5所示連接得到，則C**(T)=5.

圖5 3線纏繞TFig.5 3-tangle T

證如圖5所示，纏繞T的子纏繞Ti(i=1,2,…,n)可分為兩行，將纏繞T的左端看作始端，右端看作末端，則纏繞T的始端子纏繞T1所在位置有兩種情況，下面分情況討論.

(1)子纏繞T1在第一行

子纏繞T1在第一行時，按圖4(a)中染色數為5的染色方式為纏繞T染色，并從纏繞T的始端出發，按圖4(a)所示的纏繞染色形式對纏繞T進行分組直至末端，其分組情況與子纏繞個數有關，下面分情況討論.

(a)n=4m

如圖6所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m，則纏繞分為若干組后，不存在剩余[2]-纏繞.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，故C**(T)=5.

圖6 纏繞T的分組和染色Fig.6 Grouping and coloring of tangle T

(b)n=4m+1

如圖7所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+1，則纏繞分為若干組后，有一個剩余[2]-纏繞Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，再由纏繞染色規則，子纏繞Tn中不出現新的染色整數，故C**(T)=5.

圖7 纏繞T的分組和染色Fig.7 Grouping and coloring of tangle T

(c)n=4m+2

如圖8所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+2，則纏繞分為若干組后，有兩個剩余[2]-纏繞Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，再由纏繞染色規則，子纏繞Tn-1，Tn中不出現新的染色整數，故C**(T)=5.

圖8 纏繞T的分組和染色Fig.8 Grouping and coloring of tangle T

(d)n=4m+3

如圖9所示沿虛線將纏繞T按圖4(a)的纏繞形式進行分組，若n=4m+3，則纏繞分為若干組后，有3個剩余[2]-纏繞Tn-2，Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，再由纏繞染色規則，子纏繞Tn-2，Tn-1，Tn中不出現新的染色整數，故C**(T)=5.

圖9 纏繞T的分組和染色Fig.9 Grouping and coloring of tangle T

(2)子纏繞T1在第二行

子纏繞T1在第二行時，按圖4(b)中染色數為5的染色方式為纏繞T染色，并從纏繞T的始端出發，按圖4(b)所示的纏繞形式對纏繞T進行分組直至末端，其分組情況與子纏繞個數有關，下面分情況討論.

(a)n=4m

如圖10所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m，則纏繞分為若干組后，不存在剩余[2]-纏繞.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，故C**(T)=5.

圖10 纏繞T的分組和染色Fig.10 Grouping and coloring of tangle T

(b)n=4m+1

如圖11所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+1，則纏繞分為若干組后，剩余一個[2]-纏繞Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，再由纏繞染色規則，子纏繞Tn中不出現新的染色整數，故C**(T)=5.

圖11 纏繞T的分組和染色Fig.11 Grouping and coloring of tangle T

(c)n=4m+2

如圖12所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+2，則纏繞分為若干組后，剩余兩個[2]-纏繞Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，再由纏繞染色規則，子纏繞Tn-1，Tn中不出現新的染色整數，故C**(T)=5.

圖12 纏繞T的分組和染色Fig.12 Grouping and coloring of tangle T

(d)n=4m+3

如圖13所示沿虛線將纏繞T按圖4(b)的纏繞形式進行分組，若n=4m+3，則纏繞分為若干組后，剩余3個[2]-纏繞Tn-2，Tn-1，Tn.由命題1可知，每組纏繞染色數為5且每組相應的染色數相同，故C**(T)=5.

圖13 纏繞T的分組和染色Fig.13 Grouping and coloring of tangle T

綜上所述，C**(T)=5.