淺談等腰三角形中的分類討論思想

唐國慶

摘要：初中數學階段分類討論思想滲透較廣，等腰三角形中這一思想的運用也較多。本文中我首先介紹了分類討論思想的一些基本情況，然后針對等腰三角形進行逐步展開。包括等腰三角形中分類討論的幾種基本題型;學生中存在的主要問題;解決問題的一些措施與方案。

關鍵字：等腰三角形? ? 分類討論

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

一、數學中分類討論思想的基本介紹：

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況一一進行分類討論，分類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。解決分類討論題的一般步驟是：（1）確定討論的對象;（2）對討論對象進行合理分類;（3）逐類討論;（4）歸納結論。分類討論思想是數學中的重要思想方法，加強分類討論思想的訓練，有助于培養學生思想全面周密的良好習慣，有助于培養同學們思維的嚴密性和合理性，提高解題能力。初中教學中我發現分類討論思想在很多方面有所涉及，包括絕對值，二次根式，方程求解的討論，函數的圖像與性質，不等式不等號的方向，三角形的相似討論，等腰三角形的討論，直角三角形的討論，不確定圖形的討論，直線與圓的位置關系討論，兩圓的位置關系討論等。在這里我主要對等腰三角形中分類討論思想的運用進行簡要的介紹和分析。

二、學生中主要存在的問題：

分類討論問題對學生來說是一個難點，特別是一些帶有隱蔽性的等腰三角形分類討論題。對于一些簡單的邊角分類討論題，比如已知一個內角為幾度，一條邊為多少的題目，絕大部分學生碰到這種題目都能知道要對邊角進行分類討論，原因主要是學生基本知道等腰三角形的邊包括腰和底邊，內角包括頂角和底角。但是當等腰三角形中添加了一條腰上的中線、高、中垂線等線段或直線時，很多學生容易忘記分類討論，主要原因在于學生的思維靈活度較差，以及對等腰三角形的分類標準不明確，畫圖能力也比較差。

三、針對以上問題我主要采取了以下一些措施 ：

1、在平時的教學中不斷加強分類討論思想的訓練。

作為數學教師，在平時的教學活動中，要針對學生邏輯思維能力比較差的實際情況，不失時機的對學生進行專項訓練，讓學生會用分類討論思想解決相關問題。其實每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、地域的分類，氣候的分類等，我們應該把生活中的分類遷移到數學中來，挖掘教學提供的機會，把學生的分類意識滲透進等腰三角形中。如一個內角為70°的等腰三角形其余兩角是幾度？此題需分兩類討論：（1）當頂角為70°時，其余兩角為55°、55°;（2）當一個底角為70°時其余兩角為70°、40°在這個過程中要讓學生知道分類討論的要求一是要準確，二是要全面，搞清楚分類標準，要盡可能地對問題作出全面的解答，使解答沒有紕漏。

2、以學生為主體，讓他們從自己的錯誤中吸取教訓。

很多學生在解答數學問題時很容易出現該討論而不討論的情況，這主要是學生沒有形成分類討論的意識，要培養學生的分類討論意識，事實上很難找到行之有效的獨特方法，我通過幾年的教學實踐認為，在具體的教學過程中，解答等腰三角形中的分類討論問題時，誘導學生產生疑問，激發探索的欲望，喚起學生的能動性，有利于打破思維定勢，提高學生的全面分析問題的能力，比如等腰三角形由腰上的中線分成兩部分，已知周長差和腰長（或底邊長），求底邊長（或腰長）對于已知兩部分的周長差，但在不明確誰大誰小的情況下也必須分類討論。如已知等腰三角形中，腰為10，一腰上的中線把此等腰三角形分成的兩部分的周長差為5，求底邊長是多少？當腰比底邊長時，底為5;當腰比底邊短時，底為15。故底邊長為5或15。當然這里求出來的解應滿足三角形三邊關系定理和實際意義。

3、對學生中易錯的題型，進行強化鞏固訓練和變式訓練。

我們都知道，人都是健忘的。對于學生來說今天這個題目經過老師的分析講解已經掌握了，但是過了幾天再給他們作一個同樣類型的題目的時候，相當一部分的學生又會犯以前相同的錯誤。對于等腰三角形的相關分類題很多學生知道要分類討論，但又覺得無從下手，因此在平時的訓練中，我盡量要求學生自己分析問題并解決問題，同時盡量全面的給出各種題型給學生提供足夠的材料和時間，啟發訓練學生積極思維，相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。如已知等腰三角形中一腰上的垂直平分線與另一腰的夾角，求頂角（或底角）的度數。此類題型主要就是沒有給出圖形需要自己畫圖的等腰三角形分類討論題，要通過畫圖分為銳角三角形和鈍角三角形兩類討論。如在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數。這個題目需要先畫圖。然后分情況討論（1）當交點在腰AC上時，ΔABC是銳角三角形，此時可求得∠A=50°，所以∠B=65°。（2）當交點在腰CA的延長線上時，ΔABC為鈍角三有形，此時可求得∠BAC=130°，所以∠B=25°

在學生掌握等腰三角形的分類討論問題后，當然也會對題目進行一些小變形，我認為這樣除了使得學生加深記憶外，同時培養思維的廣闊性和縝密性，提高學生獨立解題的能力。通過這樣的操作，不僅對一階段的知識進行了復習，也對學生的薄弱點進行了強化鞏固，同時又進行了適當的延伸與拓展，反映下來整體效果不錯。

在初中階段數學的教學中分類討論思想方法的應用極為廣泛，以上僅就等腰三角形中一些典型的分類討論問題談了一些自己的經歷與想法。運用和掌握分類討論的思想方法，能有效地克服我們的思維片面性，對于創新精神和創新能力的培養以及日后的學習、生活、工作都是大有裨益的。

參考文章

（1）運用分類討論思想解等腰三角形問題? 中學課程輔導 2006年10期陳德前（2）分類討論思想在等腰三角形中的運用? ?數學中國

（3）三角形中的分類討論思想? ?中學生數理化（初中版中考版）鄧樹斌

（4）談初中數學的分類討論? ?教育周刊? ?2008年01月09日? ?張彥峰

（5） 等腰三角形常見漏解剖析? ? 初中生? 2006年02期? ? 曹洪