等腰三角形中的分類討論思想

蔡春儒

等腰三角形是生活中最為常見的三角形之一，它的應用非常廣泛，因此也將它作為學習和考試的一個重點，但它具有其獨特的特點，它在邊和角上都有一定的特殊性，比如：等腰三角形看上去舒適感非常強，原因是它有兩條邊一樣長，并且兩個角的度數是一樣大的。我們在做題的過程中遇到的有關等腰三角形的題目大多分為三方面：邊長、角度與圖形面積。雖然等腰三角形的特征非常簡單易懂，但是所涉及到題目的卻是非常多、非常廣的，而且難度也是不一樣的。在日常學習中可以發現，雖然等腰三角形的知識不難，但是我們在解決有關等腰三角形方面的問題時，卻很難拿到滿分，很多時候我們在做題時都存在打不開思維，局限于一個特征，沒有進行關聯。其實縱觀數學科目上的問題可以發現，不僅僅是等腰三角形，其他類型的題目也是具有非常多的解題方法，而且只要打開思維，都會豁然開朗，眼前一亮。

一、分類討論思想的重要性

首先，分類討論思想在數學解題過程中是非常重要的，數學題目的變換是多樣的，但是解題的思想是不變的，通過分類討論思想來進行解題，有很大的便捷性。利用分類討論思想，可以促使我們的解題思維具有非常大的提升，數學知識難易不一，而且很多知識都是比較抽象的，我們在做數學題時只有對題目做出有效的把握，才可以提高解答數學題目的準確性和正確率。

其次，我們通過分類討論思想還可以提高數學知識與生活實際的聯系。平時的學習過程中我們對數學知識點的學習僅僅停留在表面，而不是更加深入的聯系，一旦生活中出現了相類似的情況是無法進行解決的。所以在學習數學過程中使用的分類討論思想進一步將我們學習到的數學知識進行了運用，把我們學到的數學知識正確的運用到生活中去，提升了我們的思維運用能力，同時還讓我們的思維更加嚴謹。

最后，在等腰三角形的解題中廣泛應用有關分類討論的思想，數學知識廣闊無邊，知識點有很多，比如在解決函數問題時可以運用分類討論思想，在概率題中可以使用分類討論思想，同樣在將來進入高中后學到的數列也可以使用分類討論思想。分類討論思想的運用是非常廣泛的，而且在進行數學解題的過程中，逐步提升我們對生活中真實問題的解決能力，通過做題讓我們更加善于對分類思想的應用，并將這種思想遷移到其它知識點的學習中去，逐步將這種思考問題的方式運用到其它問題的解決中去。

二、等腰三角形中對分類討論思想的應用

在涉及等腰三角形的具體問題時，由于等腰三角形需要確定一個頂角，才能將這個三角形的邊和角確定，所涉及到的題目也是多種多樣的，而且時常會與函數和方程等多個知識點進行關聯，題型多樣。所以在涉及等腰三角形的題目時，首先需要我們牢牢掌握住等腰三角形的特征和等腰三角形的相關基礎概念，并進行思維發散，打開思維，不要局限。另外還要重視分類討論思想在等腰三角形中的滲透和運用，將知識進行融合和創新。

（一）等腰三角形中“邊”的分類討論

在日常的等腰三角形的練習中我們可以發現很多看起來非常簡單，而且題目也非常容易理解的題，但是卻很容易失分。明明題目很清晰明了，沒有拐彎抹角的題干，但是在做題中卻很難得道滿分。但是當我們仔細分析題型就可以發現，很多題目中都會有分類思想的出現，我們常常只是站在一個角度去思考問題，從而忽略了換個角度后的答案。比如題目一：拿到一個等腰的三角形模型，通過測量，其中一條邊長為8cm，一條邊長為5cm，問這個三角形模型的周長是多少厘米？

這個題極其簡短，而且很容易讀懂，但是這也是我們在日常練習中比較容易丟分的題，這個題需要我們考慮到，題中并沒有明確的指出這兩條邊是哪的邊，所以有可能是底邊，也有可能是腰，因此本題的解題思路就要分為兩種：當8cm作為腰時，當5cm作為底邊的情況，第二種情況是8cm作為底邊，5cm作為腰的情況，所以本題的答案是21cm和18cm。

但是，并不是所有的涉及到邊的題型都是需要考慮兩種情況，還要考慮本題是否符合三角形的三邊關系。比如例題二：拿到一個等腰的三角形模型，有一條邊是長3cm有一條邊是6cm，問這個三角形模型的周長是多少厘米？

三角形的三邊關系是“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，通過這個特征我們便可以知曉，只有底邊長為3cm才能構成三角形。如果底邊為6cm時，不符和三角形的三邊關系定理。因此，本題的答案是15cm，只有一個答案。由此可以看出，在有關等腰三角形的題型中對分類討論的思想的使用非常重要，可以幫助我們分析題型。

（二）等腰三角形中“角”的分類討論

在等腰三角形的“角”的相關題型中也會用到分類討論的思想，比如題目一：拿到一個等腰的三角形模型其外角為130°，那么這個等腰的三角形模型的底角為多少度？

題目中已知的信息是外角是130°，則可以計算出其相鄰的內角就是50°，通過分類討論，我們并不知道這個50°是哪個角，所以分類一，當50°是底角時，分類二，當50°是頂角時，由此得出答案也是有兩個。

比如題目二：在等腰三角形中，∠ A的度數為X，∠ B的度數是X+60°，那么X是多少度？

上題的條件中已知三角形是等腰三角形，但是可以發現題中并沒有明確指出相等的邊是哪兩條，因此要進行分類討論，當∠ A是頂角時，此時的方程可以列為 X+2（X+60°）=180°，而后解得X=20°;當∠ B 為頂角時，此時的方程為X+X+X+60°=180°，解得X=40°，因此，本題的答案是20°或40°.

比如題目三：一個等腰的三角形模型的內角是另一個內角的2倍，那么這個等腰的三角形模型的內角分別為多少度？

通過對上題的條件分析得出，本題中并沒有對角做出具體的說明，所以本題依舊需要用分類討論的思想來解決。首先，如果底角是頂角的2倍，此時需要設頂角為X，那么底角就是2X.所列方程為：2X+2X+X=180°，X=36°，2X=72°.那么此時等腰三角形的內角度數分別為：36°，72°，72°.第二，如果頂角是底角的2倍，此時設底角為X，頂角為2X.所列方程為：X+X+2X=180°，X=45°，2X=90°。所以頂角是底角的2倍這種分類時，此時，等腰三角形的三個內角度數分別為：45°，45°，90°.

（三）等腰三角形中“形”的分類討論

在等腰三角形的角和邊的題型中都運用到了分類討論的思想，另外，還有更多的題型使用到了分類討論思想。比如題目：拿到一個等腰的三角形模型中的一個腰上的高與另一個腰上的夾角是48°，那么這個等腰的三角形模型的底角為多少度？

這個題目的也是需要通過分類來完成，第一，當等腰三角形的模型是銳角的時候，一條高就是90°，頂角∠ A就是90°-48°=42°，那么此時的底角就是69°.如果三角形時是鈍角三角形時，高在三角形的外部，此時頂角就是138°，底角為21°。所以可以看出，在等腰三角形的形中也會用到分類思想。

（四）等腰三角形中“線”的分類討論

在等腰三角形中，由于腰上線的位置不同，所以也要運用分類討論的思想進行解答。比如在題目：一個等腰的三角形模型任意一個腰上的中線把模型的周長分成了15厘米和18厘米，那么這個等腰的三角形模型的底長和腰長為多少度？

這個題中，需要對中線的情況進行分類，由上圖可以看出邊AB與邊AC相等，BD是AC邊上的中線，由此可以得出AD=CD，AB=2AD，題中的周長分別是15和18厘米，可以列式為：AB+AD=15，BC+CD=18，又因為AB=2AD，所以得出，AD=5，那么AB=10，BC=13;另一種情況是AB+AD=18，BC+CD=15，可求得AB=12，BC=9。

（五）等腰三角形在“坐標軸”中的分類討論

除了上述一些題型外，有時可以將一個等腰三角形放到坐標軸中去討論。比如題目：下圖中的坐標軸中，A的坐標是（1，0），B的坐標是（0，-1），在X軸上任意找一個點，讓三角形ABC是一個等腰三角形，那么點C可以在哪里？

此時，就運用到了分類討論思想，就是讓點A，點B，點C分別都作為等腰三角形的三個頂點來進行分類，那么就會出現三種情況：第一，此時把A看做是三角形的頂點，則點C的坐標可以是（ 2 ?+1，0）、 （1- ?2 ?，0）.第二種情況，此時如果把點B看成是頂點的話，則點C的坐標是（-1，0）。第三種情況，此時如果點C是等腰三角形的頂點，則點C的坐標是（0，0）。

總之，分類討論思想在解答的過程中的應用可以發現，它們在與“邊”“角”“形”“線”“坐標系”的相關題目中，通過運用分類討論思想讓這類數學題更加清晰明了，等腰三角形中所運用的分類討論思想讓我們在解題過程中，思考的更加全面而謹慎。不單單是等腰三角形中可以使用到分類討論思想，在其他類型的題目中同樣適用，分類討論可以幫助我們做題，讓復雜的題目變得更加簡單清晰，同時還能讓我們做題的思路更加廣闊，將題干中所涉及到的情況都考慮周全，不易丟分。數學中的題型多種多樣，而且題目的數量又有很多，所以我們永遠都有做不完的題，但是不管題目發生什么樣的變化，其思想內涵和解題的思路是不變的，可以采用多種多樣的方法，而分類討論的方法將數學方法和數學問題進行了很好的融合，不管題目有多難，融合了幾個知識點，依舊可以通過分類討論來解決。

【本文系黑龍江省教育科學“十四五”規劃2021年度教研專項重點課題《中小學生自主學習能力培養策略研究》（課題編號：JYB1421649）研究成果】

指導教師：張春明

（作者學校：齊齊哈爾市拜泉縣國富鎮中心學校九年二班，黑龍江 ?拜泉 ?164700）