對稱性結論在多元函數積分中的應用

袁玉強 杜 仲

（1.中國礦業大學（北京）理學院 北京 100083；2.華北電力大學數理系 河北·保定 071003）

利用對稱性化簡積分求解問題是高等數學中最常見的一種應用。教材中鮮少提及應用對稱性解決積分問題的結論，但在教學中，能否應用對稱性卻是解題最開始要做的判斷。已報道的相關結論，特別是重積分的情況，需要同時考慮積分區域的對稱性和積函數關于哪個變量的奇偶性，學生們普遍反饋難以記憶這種結論?；谶@種考慮，本文提出對稱性求解積分問題的一種統一形式，便于對結論的記憶和理解，提高解題效率，也為習題的編撰和試題庫的建設提供思路。此外，我們發現第一型的曲線和曲面積分本質上與定積分、重積分一致。因此，該結論也可以推廣到第一型的曲線和曲面積分。

1 定積分和重積分的對稱性結論

以上定理在很多文獻中都有報道及相應的證明，如參考文獻[1，2，3]，因此本文將不再贅述有關的證明。從以上定理我們看到對稱性的確可以簡化很多積分計算，但是對于多元函數，考慮的是關于軸（或平面）的對稱，而被積函數則要求是關于剩余那個變量的奇偶性，這與一元函數定積分應用對稱性的結果不一致。

那么為了統一這幾種對稱性的形式，我們不妨換一個角度來看：（1）對一元函數的定積分，原點在數軸上可以表示為x=0，因此積分區域關于原點的對稱性可以看作積分區域關于x=0的對稱性，此時考慮被積函數f( x)關于變量x的奇偶性；（2）對二元函數的二重積分，y軸在平面區域中可以表示為x=0，因此積分區域D關于y軸的對稱性可以看作是D關于x=0的對稱性，此時只需考慮被積函數f (x,y)關于變量x的奇偶性；（3）同樣地，對于三元函數的三重積分，平面yoz在空間中可以表示為x=0，因此積分區域關于yoz平面的對稱性可以看作是關于x=0的對稱性，此時只需考慮被積函數f( x,y,z)關于變量x的奇偶性?？偨Y對稱性在定積分和重積分計算中的結論即可簡化為——考慮積分區域關于某個變量等于0的對稱性，再看被積函數關于這個變量的奇偶性：若函數關于該變量是奇函數，則積分結果為0；若函數關于該變量是偶函數，則積分結果為函數在一半區域積分的兩倍。

2 第一型曲線和曲面積分的對稱性結論

我們看到第一型的曲線和曲面積分仍然是由黎曼和定義的[4]，因此這兩種積分的性質與定積分、重積分是一致的，從而以上對稱性在定積分和重積分中的結論對第一型的曲線和曲面積分也成立。以下我們將以結論的形式給出相關敘述。

定理4.對于第一型曲線積分（不妨假設為平面曲線），當積分曲線L關于x=0對稱，設f (x,y)在L上連續，則