基于阻抗法的徑向均壓槽氣浮支承承載力研究*

夏巨興 于普良 胡 回 姜 慶 鮮小東

(1.武漢科技大學冶金裝備及控制教育部重點實驗室 湖北武漢 430081;2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室 湖北武漢 430081;3.武漢科技大學精密制造研究院 湖北武漢 430081)

氣浮支承具有工作精度高、無磨損等特點，已經被廣泛應用于精密測量設備、精密機床及光刻機等制造裝備中[1-3]。目前，研究氣浮支承的方法主要包括解析計算和數值模擬。解析計算[4-7]使用方便，但求解精度不足，數值模擬[8-10]求解精度高但計算規模大，求解時間長。如何快速獲取氣浮支承力學性能并應用于工程設計已成為氣浮支承的重點研究方向。

LI和DING[11]提出一種多孔氣浮支承簡化計算方法，從理論上解釋了氣浮支承各參數之間的相互關系。HUANG等[12]提出一種迭代算法來分析真空預加載多孔氣浮支承靜態特性，該算法可減小有限差分法的迭代步數。于普良等[13]利用CFD研究了橢圓截面均壓槽對氣浮支承靜態特性影響，楊濤等人[14]通過建立氣膜壓力分布等效電路模型來計算陣列節流器氣膜承載力。李加福、CHENG等[15-16]利用阻抗法分析多微通道氣浮支承的承載特性，利用實驗來驗證其方法的可靠性。CHEN等[17-18]利用網絡阻抗法和牛頓迭代法分析了矩形氣浮支承的靜、動態特性。

綜上，目前國內外對于表面布置均壓槽結構氣浮支承承載力的計算方法較為復雜、計算效率低。為此，本文作者提出了阻抗法來簡化氣浮支承承載力的計算，通過建立徑向均壓槽氣浮支承阻抗模型來求解其承載力，研究均壓槽結構參數對氣浮支承阻抗模型的影響，為簡化氣浮支承計算并應用于工程設計提供參考。

1 阻抗模型

1.1 氣浮支承物理模型

氣體軸承采用小孔節流，并增加均壓腔節流，同時在氣膜表面布有均壓槽節流，徑向方向截面為扇形，周向方向截面為矩形，其結構如圖1所示。

圖1 氣浮支承結構示意Fig 1 Schematic of aerostatic bearing

供氣壓力ps通過半徑為Rt，長為ht的小孔節流器后,在節流孔末端產生壓降pd。氣體沿均壓腔徑向擴散，均壓腔中形成壓力pd1，均壓腔半徑為Rp，深為hp。pd1沿著徑向槽和支承面徑向方向擴散，在均壓槽末端處形成壓力pd2，均壓槽的槽半徑為Rg，均壓槽高度為hg，均壓槽的數量為n,pd2沿著均壓槽以外區域的氣膜的徑向方向逐漸降低，直至氣浮支承出口壓力變為環境壓力pa,其中氣膜厚度為hf，軸承外徑為Rf。

1.2 阻抗模型的提出

流體流過節流器時，節流器對流體會產生阻抗。因此，在設計節流器時要確定各節流器阻抗大小，使之與靜壓系統阻抗相匹配。在電路中存在歐姆定律，在氣路中也存在類似規律，其關系式如下：

(1)

式中：Rex為氣體阻抗；Δp為氣體流過節流器兩端壓力差;q為體積流量。

根據矩形均壓槽氣體軸承結構，可將氣體軸承分為小孔、均壓腔、等效均壓槽及氣膜等四部分，每一部分建立其阻抗模型。在不考慮節流器中氣體的周向運動的前提下，徑向均壓槽氣浮支承的阻抗分布如圖2所示。

圖2 氣浮支承阻抗分布Fig 2 Impedance distribution of aerostatic bearing

圖2中R1為節流孔阻抗，R21～R2n相等，R31～R3n相等，R41～R4n相等。

1.3 氣浮支承阻抗模型的建立1.3.1 節流孔阻抗的建立

根據氣體理論力學,氣體流過小孔可認為是等熵流動，氣體流過節流器間隙視為等溫流動。根據小孔流動假設，流過小孔的質量流量可簡化[4]為

(2)

式中:φ為流量函數;k為等熵指數，對于空氣而言，k=1.4;Cd為小孔的流量系數;A為節流孔截面積;p為氣體壓力；ρ為氣體密度。

對于不可壓縮流體，質量流量計算公式[4]為

(3)

體積流量計算公式為

(4)

式中：α為膨脹系數；Δp為節流孔前后壓力差。

對于不可壓縮流體ρ為常數，α值為1。

對于理想氣體狀態方程如下：

p=ρRT

(5)

式中：R為氣體常數；T為溫度。

將氣體視為等溫、絕熱流動狀態，流過節流孔的體積流量可簡化為

(6)

故節流孔阻抗為

(7)

1.3.2 均壓腔阻抗的建立

對于圓形氣浮支承，其壓力p與θ和z無關,故壓力與半徑關系[1]為

(8)

對式(8)進行積分，由邊界速度條件便可得氣體流動速度表達式：

(9)

由式(9)可得均壓腔向外流動的體積流量：

(10)

(11)

故均壓腔的阻抗為

(12)

1.3.3 等效均壓槽區域阻抗的建立

均壓槽布置在氣膜表面改變了氣膜表面壓力分布，同時也給求解氣膜表面壓力分布帶來困難。在求解帶有均壓槽的氣膜壓力分布，文中采用將氣膜分塊的方法。以均壓槽末端為劃分邊界，將氣膜劃分為兩部分，有均壓槽區域氣膜和無均壓槽區域氣膜。將均壓槽和有均壓槽區域氣膜進行等效處理，求解等效均壓槽的阻抗。等效均壓槽的質量流量為m，流過有均壓槽下方氣膜區域的質量流量為m1，流過均壓槽的質量流量為m2。由氣體流入流出質量守恒知：

m=m1+m2

(13)

利用邊界條件：r=Rp處p=pd1和r=Rg處p=pd2,可求得m1的質量流量：

(14)

同理可推導出流過均壓槽的質量流量m2的表達式。根據式(13)可推導出：

(15)

由式(15)得等效氣膜he的表達式：

(16)

等效均壓槽體積流量表達式如下：

(Rp≤r≤Rg)

(17)

故均壓槽等效阻抗為

(18)

1.3.4 氣膜阻抗的建立

由邊界速度條件可求得均壓槽以外區域的氣膜的體積流量：

(Rg≤r≤Rf)

(19)

均壓槽以外區域氣膜阻抗的表達式：

(20)

1.4 氣浮支承阻抗模型承載力的計算

氣體經過各節流器后在氣浮支承間隙間流動，節流器間各節點的壓力和阻抗關系可用圖3表示。

根據流體靜壓原理及電學歐姆定律知：

(21)

由式(21)可得節流孔的出口壓力:

(22)

則均壓腔和等效均壓槽出口壓力：

(23)

(24)

利用阻抗模型求解承載力，需要求出氣體流過各節流器的壓力分布，利用壓力在承載面積上積分求解氣浮支承承載力，氣體流過各個節流器其壓力分布如圖4所示。

圖4 氣浮支承壓力分布Fig 4 Aerostatic bearing pressure distribution

圖4中p2、p3表達式為

(25)

根據徑向均壓槽氣浮支承壓力分布及邊界條件可推導出承載力表達式為

(26)

對式(26)化簡得：

(27)

(28)

式中：s1，s2分別為等效均壓槽和氣膜的有效節流面積;Rza和Rzb為系統的阻抗比。

2 阻抗模型理論驗證及結果分析

2.1 阻抗模型承載力驗證2.1.1 矩形截面均壓槽模型的驗證

利用阻抗模型求解了氣浮支承承載力，為驗證阻抗法所求的承載力的準確性，同時利用CFD求解了相同結構參數下的氣浮支承承載力，比較2種方法所得結果。氣浮支承的主體結構參數如下：Rt=0.1 mm，ht=0.3 mm，Rp=2.5 mm，hp=0.1 mm ,Rf=50 mm。均壓槽結構參數如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=4°,n=4。ps分別為0.3和0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf為10～40 μm。由于文中對流量函數進行了簡化處理，當hf低于10 μm及hf為10～40 μm時，流量函數中分別加入0.41和0.62的修正系數。利用阻抗模型所計算的結果與CFD數值仿真的結果對比如圖5所示。

由圖5可知，利用阻抗法求解出的承載力與CFD數值仿真方法求解出的承載力具有較好的一致性，承載力隨氣膜厚度增大而逐漸減小，最后趨于平穩，且誤差逐漸減小。當ps為0.3 MPa時阻抗法所得結果與CFD數值仿真結果最大誤差為7.43%。當ps為0.5 MPa時其最大誤差為4.23%，總體誤差均在允許范圍內，說明利用阻抗模型計算氣浮支承承載力是具有可行性的。

圖5 不同供氣壓力下的有均壓槽氣浮支承承載力對比Fig 5 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with pressure groove under different air supply pressure (a) ps=0.3 MPa;(b) ps=0.5 MPa

2.1.2 三角形截面均壓槽模型驗證

為驗證文中所建立的阻抗模型對其他截面形式均壓槽具有通用性，以三角形截面均壓槽為例，利用公式(13)—(15)的方法推導三角形截面均壓槽的等效氣膜厚度：

(29)

三角形截面均壓槽等效阻抗：

(30)

利用上述同樣方法可求出三角形截面均壓槽氣浮支承的承載力。選擇驗證的氣浮支承主體結構參數與上述相同，均壓槽的結構參數如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=6°,n=4。ps為0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf為10～40 μm。流量函數的取值與上述相同，利用阻抗模型所計算的結果與CFD數值仿真的結果對比如圖6所示。

圖6 三角形截面均壓槽氣浮支承承載力對比Fig 6 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with triangle section pressure groove

由圖6可知，利用阻抗模型計算三角形截面均壓槽與CFD數值仿真的結果具有較好的一致性，說明文中所建立阻抗模型對其他截面形式均壓槽仍然具有適用性。

2.2 阻抗模型的適用性驗證

為驗證阻抗模型對無均壓槽具有普適性，文中采用文獻[10]中氣浮支承模型，將阻抗模型和CFD數值仿真得出數據與之進行對比分析。文獻[10]所研究的氣浮支承模型如圖7(a)所示，節流孔直徑dt為0.2 mm，節流孔長度L為1 mm，均壓腔的直徑dp為2 mm，均壓腔高度hp為0.1 mm，軸承外徑為Rf為90 mm，氣膜厚度hf為4～22 μm。進氣壓力ps為0.6 MPa，外部環境壓力pa為0.1 MPa。圖7(b)為分別采用阻抗法和CFD數值仿真得到氣浮支承承載力對比圖，可以發現利用阻抗法和CFD數值仿真方法計算出承載力與文獻實驗中得出的數據具有一致性，CFD數值仿真方法結果與文獻[10]的仿真結果和實驗數據最大誤差分別為4.24%和3.36%，阻抗法的結果與文獻[10]的仿真結果和實驗數據最大誤差分別為9.81%和7.41%。由此可說明，文中所提出的阻抗模型對無均壓槽模型也適用。

圖7 氣浮支承結構示意和承載力對比Fig 7 Schematic of aerostatic bearing structure (a) and bearing capacity comparison (b)

2.3 阻抗模型的計算效率

分別利用阻抗法和CFD數值仿真計算以上3種氣浮支承模型，其計算時間對比如表1所示。

由表1可知，利用阻抗法計算3種不同氣浮支承模型的時間遠遠小于CFD計算時間，故利用阻抗法來求解氣浮支承的承載力可大大縮減其計算周期。

2.4 阻抗模型結果分析

為探究均壓槽結構參數變化對氣浮支承阻抗模型的影響，以矩形截面均壓槽為例，分析不同均壓槽深度、角度及半徑等參數對阻抗模型的影響。

2.4.1 均壓槽深度對阻抗模型的影響分析

取Rg=35 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他結構參數不變，hg分別為0.02、0.04、0.06、0.08、0.1 μm時，探究均壓槽深度對阻抗系數的影響，結果如圖8所示。可知，當均壓槽深度一定時，阻抗系數隨氣膜厚度增大而逐漸減小；當氣膜厚度在10～18 μm時，均壓槽深度增大，阻抗系數增大；當氣膜厚度高于18 μm時，均壓槽深度增大，阻抗系數逐漸減小。由公式(18)可知，均壓槽深度增大，阻抗R3減小，阻抗比Rza增大，Rzb減小；由公式 (28)可知，阻抗系數取決于Rza、Rzb及有效節流面積的大小，而承載力取決于阻抗系數的大小。故當氣膜厚度較小時，減小阻抗R3可提高系統阻抗系數，進而提高承載力。

圖8 均壓槽深度對阻抗系數的影響Fig 8 The influence of the depth of pressure groove on impedance factor

2.4.2 均壓槽半徑對阻抗模型的影響分析

取hg=0.1 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他結構參數不變，Rg分別為5、15、25、35 mm時，探究均壓槽半徑對阻抗系數的影響，結果如圖9所示。可知，當均壓槽的半徑一定時，阻抗系數隨氣膜厚度增大而逐漸減小;當氣膜厚度在10～25 μm時，均壓槽的半徑增大，阻抗系數先增大后減小；在氣膜厚度為10 μm，均壓槽半徑為25 mm時，阻抗系數能取到最大值。由公式 (18)、 (20)及 (28)可知，均壓槽半徑增大，Rza、Rzb及對應的節流面積發生變化，所對應的阻抗系數存在最佳值使得氣浮支承獲得最大承載力。

圖9 均壓槽半徑對阻抗系數的影響Fig 9 The influence of the radius of pressure groove on impedance factor

2.4.3 均壓槽角度對阻抗模型的影響分析

取hg=0.1 mm，n=4，ps=0.5 MPa，Rg=35 μm,其他結構參數不變，θg分別為2°、4°、6°、8°、10°時，探究不同均壓槽角度對阻抗系數的影響，結果如圖10所示。可知，當均壓槽角度一定時，阻抗系數隨氣膜厚度增大而逐漸減小；當氣膜厚度一定時，不同均壓槽角度對阻抗系數影響較小。由公式 (18)、(28)知，均壓槽角度增大，阻抗R3增大，但對阻抗比Rza、Rzb影響較小，故對阻抗系數影響較小，進而對其承載力影響較小。

圖10 均壓槽角度對阻抗系數的影響Fig 10 The influence of the angle of pressure groove on impedance factor

3 結論

(1)提出一種計算氣浮表面布置徑向均壓槽的氣浮支承承載力的阻抗模型，與CFD數值仿真相比，簡化了氣浮支承承載力的計算過程，提高了計算效率。

(2)提出一種阻抗模型適用表面布置徑向槽結構模型，同時也適用于無均壓槽模型。

(3)在氣膜厚度較小時,氣浮支承表面布置均壓槽結構可減小等效均壓槽的阻抗，能提高節流系統的阻抗系數，進而可有效提高氣浮支承的承載力。此外，均壓槽深度、半徑對系統的阻抗系數影響較大，均壓槽角度對其影響不明顯。