非線性光學中耦合的高階Schr?dinger方程的有理周期解

王 媛

(山西能源學院 強基學院,山西 晉中 030600)

引言

近年來,電磁波在非線性介質中的傳播引起了非線性物理學家和數學家的關注,尤其是以局部脈沖即孤子形式通過光纖介質的傳播。例如,非線性介質中緩慢變化的電磁波可由標準的非線性Schr?dinger(NLS)方程描述,該方程也出現在各種物理系統中,例如水波、等離子體物理、固態物理等[1-3]。

關于光纖中光孤子性質的另一個有趣的事實是觀察到了高階效應,而這種效應不能用標準的NLS方程來描述,這種高階效應的一個例子是存在于孤子光譜中的拉曼過程。因此,Kodama 和Hasegawa提出了一個帶有高階效應的廣義高階非線性方程(HNLS)[4],隨后，許多科研人員從不同的方向分析研究了高階光纖孤子方程。比如：田晉平，Amarendra，Sarma，Azzouzi等用數值模擬方法分別求解了不同的高階光纖孤子方程(組)；田播、高以天團隊用雙線性、Bell多項式、AKNS系統、Darboux變換、Lax對、漸近分析及線性穩定性分析等方法，對一些光纖孤子方程的孤子解、畸形波解及其傳播和相互作用進行了分析和研究[5-11]。

但是，由于問題的復雜性,高階耦合的非線性Schr?dinger方程研究的還比較少。因此,本文考慮如下廣義耦合的高階非線性Schr?dinger方程[12]:

(1)

其中α1,α2,α3分別表示線性色散系數,Kerr系數,拉曼散射系數。

Porsezian K等人研究了此方程的潘勒韋可積性，但是對此方程的求解還沒有研究過，因此，本文主要利用改進的輔助方程展開方法[13]研究方程(1)的有理形式的周期解。

1 廣義耦合高階非線性Schronger方程(1)的有理周期解

為了尋找方程(1)形式豐富的周期解,假定方程(1)有如下形式的精確解

q1(x,t)=φ1(ξ)eiη,q2(x,t)=φ2(ξ)eiη

ξ=kx+ωt,η=λx+μt,

(2)

其中φ1(ξ),φ2(ξ)是待定的實函數,k,ω,λ,μ是待定實參數,將(2)代入(1)并分離實虛部可得

(3)

由齊次平衡法,假定方程(3)有如下形式的解

φ1(ξ)=a0+a1F(ξ),φ2(ξ)=c0+c1F(ξ),

(4)

其中F(ξ)滿足

F′2(ξ)=h0+h1F(ξ)+h2F2(ξ)+h3F3(ξ)+h4F4(ξ)。

(5)

將(4)及(5)代入(3),提取F(ξ)的系數并令其為0,得到22個代數方程,解此方程組并利用方程(5)的解,得到了方程(1)13種類型的有理形式的周期解。

定理依據方程(1)所滿足的條件,13種類型有理形式的周期解如下,其中參數m(0

1)

a1,α1,ε,k為任意常數。

2)

3)

4)

a1,α1,ε,k為任意常數。

5)

a1,α1,ε,k為任意常數。

6)

a1,α1,ε,k為任意常數。

7)

a1,α1,ε,k為任意常數。

8)

9)

10)

11)

12)

13)

當雅克比橢圓函數的模m→1,定理中解2)、3)、6)可退化成如下形式的精確解：

2 結論

本文主要應用改進的輔助方程展開方法，并利用計算機軟件Maple，對一類廣義耦合的高階非線性Schr?dinger方程進行了研究，在一定的參數條件約束下，得到了廣義耦合的高階非線性Schr?dinger方程13種類型有理形式的周期解以及其對應的3種形式的孤子解。據我們所知，這些解在已有的文獻中沒有出現過。