關于高斯對代數基本定理第三次證明的一種簡化證明

倪 佳

（西北大學 陜西西安 710100）

代數基本定理是近代數學中非常重要的定理之一，而高斯對該定理的證明涵蓋其50年的時間跨度：1797年10月首次得出該定理的證明，并于1799年作為博士論文發表于赫爾姆施泰特（Helmstedt）大學，高斯在證明中運用了代數曲線的拓撲性質，為數學中證明存在性問題提供了創新思想。高斯在1812年2月29的日記中寫道：“在1811年11月，方程理論中的基本定理是純粹的分析方法；但是，當文檔中沒有任何內容時，必不可少的部分記憶就完全消失了，這意味著相當長的一段時間都是徒勞的……”。

這說明基本定理的第二次證明早在1811年11月就已完成，由于沒有記錄在紙上，直到1815年12月才提交到哥廷根科學院發表；緊接著1816年1月提出第三次證明；1849年的證明是為紀念其博士學位50周年而作，將第一次證明擴展到復數域。

代數基本定理的數學證明及歷史發展，歷來受到數學家的重視，同時構成這段歷史的核心人物高斯成為研究中心，國內外，關于代數基本定理的歷史研究和數學教材多會涉及高斯的證明[1-5]，多數研究文獻只是敘述高斯的四次證明過程，或者用現代的數學語言和不同于高斯的方法證明基本定理。事實上，運用吳文俊先生數學史研究范式中的“古證復原”原則，還原高斯第三次證明的思想線索，是件極其困難的事。本文在深入解讀原始文獻和研究文獻的基礎上，分析相關數學家針對高斯第三次證明提出的新見解，并在遵循高斯原始證明思想的基礎上，提出一種簡化證明。

一、一些數學家的相關工作

此外，如果F（x）沒有根，U將是處處連續可微的。因此，可以對其應用位勢論，即任意圓周上U的平均值等于中心U的值。然而，U在原點的值是零，U在以原點為中心的足夠大的圓周上的平均值為正。所以我們在假設F（x）沒有根時，得出結論矛盾。

“我認為這是所有三個中最短和最簡單的?！绻覒摪炎约合拗圃谝粋€，我更愿意自己偏愛這個。[6]但發展這兩個基本思想可能是最有啟發性的，事實上，考慮兩者的幾何意義對大腦來說是相當令人愉快的。我在1816年第338頁集中介紹了我的第三個證明，但這是絕對必要的”。

荷蘭數學家范德瓦爾登（Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996）在《代數史》[7]一書中的復原思路是將F（x）=F（r，φ）=t+iu定義為x平面到F平面的映射。

二、關于高斯對代數基本定理第三次證明的一個簡化證明

系數為實數的多項式f（x）=xn+Ax（n-1）+Bx（n-2）+Cx（n-3）+…Lx+M至少有一個（實數或復數）解，使得f（x）=0。

利用復函數的解析性重新構造一個可微函數y，如果f（x）處處不為零，函數y應是處處連續和可微的，接下來同高斯一樣把證明代數基本定理的證明轉換成考察二重積分次序的問題，積分的值與積分次序無關，最后所得結果應該一致，如果能找到一個可微函數y，使得積分的值因積分順序不同而不同，與原假設產生矛盾，基本定理得證。

高斯在第三次證明中未對函數y的構造提供解釋，將此定理的證明轉換成積分與路徑無關的問題，主要歸結為曲線積分與路線無關的問題，而線積分與路線無關的條件與線積分沿任一簡單閉曲線的值都為0的條件相同，于是可以歸結為研究沿任一簡單閉曲線積分值為0的條件，就是現代數學教材中的柯西積分定理，高斯1811年給貝塞爾的信件中寫到：

但是，高斯從未回過頭來繼續討論這個問題和重積分中的積分順序問題。