關(guān)于高斯對(duì)代數(shù)基本定理第三次證明的一種簡(jiǎn)化證明

倪 佳

（西北大學(xué) 陜西西安 710100）

代數(shù)基本定理是近代數(shù)學(xué)中非常重要的定理之一，而高斯對(duì)該定理的證明涵蓋其50年的時(shí)間跨度：1797年10月首次得出該定理的證明，并于1799年作為博士論文發(fā)表于赫爾姆施泰特（Helmstedt）大學(xué)，高斯在證明中運(yùn)用了代數(shù)曲線的拓?fù)湫再|(zhì)，為數(shù)學(xué)中證明存在性問(wèn)題提供了創(chuàng)新思想。高斯在1812年2月29的日記中寫道：“在1811年11月，方程理論中的基本定理是純粹的分析方法；但是，當(dāng)文檔中沒(méi)有任何內(nèi)容時(shí)，必不可少的部分記憶就完全消失了，這意味著相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間都是徒勞的……”。

這說(shuō)明基本定理的第二次證明早在1811年11月就已完成，由于沒(méi)有記錄在紙上，直到1815年12月才提交到哥廷根科學(xué)院發(fā)表；緊接著1816年1月提出第三次證明；1849年的證明是為紀(jì)念其博士學(xué)位50周年而作，將第一次證明擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域。

代數(shù)基本定理的數(shù)學(xué)證明及歷史發(fā)展，歷來(lái)受到數(shù)學(xué)家的重視，同時(shí)構(gòu)成這段歷史的核心人物高斯成為研究中心，國(guó)內(nèi)外，關(guān)于代數(shù)基本定理的歷史研究和數(shù)學(xué)教材多會(huì)涉及高斯的證明[1-5]，多數(shù)研究文獻(xiàn)只是敘述高斯的四次證明過(guò)程，或者用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和不同于高斯的方法證明基本定理。事實(shí)上，運(yùn)用吳文俊先生數(shù)學(xué)史研究范式中的“古證復(fù)原”原則，還原高斯第三次證明的思想線索，是件極其困難的事。本文在深入解讀原始文獻(xiàn)和研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，分析相關(guān)數(shù)學(xué)家針對(duì)高斯第三次證明提出的新見(jiàn)解，并在遵循高斯原始證明思想的基礎(chǔ)上，提出一種簡(jiǎn)化證明。

一、一些數(shù)學(xué)家的相關(guān)工作

此外，如果F（x）沒(méi)有根，U將是處處連續(xù)可微的。因此，可以對(duì)其應(yīng)用位勢(shì)論，即任意圓周上U的平均值等于中心U的值。然而，U在原點(diǎn)的值是零，U在以原點(diǎn)為中心的足夠大的圓周上的平均值為正。所以我們?cè)诩僭O(shè)F（x）沒(méi)有根時(shí)，得出結(jié)論矛盾。

“我認(rèn)為這是所有三個(gè)中最短和最簡(jiǎn)單的。……如果我應(yīng)該把自己限制在一個(gè)，我更愿意自己偏愛(ài)這個(gè)。[6]但發(fā)展這兩個(gè)基本思想可能是最有啟發(fā)性的，事實(shí)上，考慮兩者的幾何意義對(duì)大腦來(lái)說(shuō)是相當(dāng)令人愉快的。我在1816年第338頁(yè)集中介紹了我的第三個(gè)證明，但這是絕對(duì)必要的”。

荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登（Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996）在《代數(shù)史》[7]一書中的復(fù)原思路是將F（x）=F（r，φ）=t+iu定義為x平面到F平面的映射。

二、關(guān)于高斯對(duì)代數(shù)基本定理第三次證明的一個(gè)簡(jiǎn)化證明

系數(shù)為實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式f（x）=xn+Ax（n-1）+Bx（n-2）+Cx（n-3）+…Lx+M至少有一個(gè)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）解，使得f（x）=0。

利用復(fù)函數(shù)的解析性重新構(gòu)造一個(gè)可微函數(shù)y，如果f（x）處處不為零，函數(shù)y應(yīng)是處處連續(xù)和可微的，接下來(lái)同高斯一樣把證明代數(shù)基本定理的證明轉(zhuǎn)換成考察二重積分次序的問(wèn)題，積分的值與積分次序無(wú)關(guān)，最后所得結(jié)果應(yīng)該一致，如果能找到一個(gè)可微函數(shù)y，使得積分的值因積分順序不同而不同，與原假設(shè)產(chǎn)生矛盾，基本定理得證。

高斯在第三次證明中未對(duì)函數(shù)y的構(gòu)造提供解釋，將此定理的證明轉(zhuǎn)換成積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題，主要?dú)w結(jié)為曲線積分與路線無(wú)關(guān)的問(wèn)題，而線積分與路線無(wú)關(guān)的條件與線積分沿任一簡(jiǎn)單閉曲線的值都為0的條件相同，于是可以歸結(jié)為研究沿任一簡(jiǎn)單閉曲線積分值為0的條件，就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材中的柯西積分定理，高斯1811年給貝塞爾的信件中寫到：

但是，高斯從未回過(guò)頭來(lái)繼續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題和重積分中的積分順序問(wèn)題。