高考數學中數形結合思想的研究及啟示

才讓當知

（甘南自治州合作市高級中學 甘肅甘南 747000）

數形結合的思想在我們高中數學是非常重要的思想之一，簡單來說就是數與形的有機地結合來解決問題，達到數與形的完美地結合，以數制型，以形得數。數學是以“數”與“形”為基本研究對象的自然科學，該學科內容在現實生活中得到廣泛應用的同時，也對社會發展發揮著重要的推動作用。將圖形和數式進行相互的轉化，可以讓獲取的數量關系更加精準，以便得出準確的數字結論。數形結合思想實現了數學信息的相互轉化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數形結合思想，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機地結合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

一、數形結合思想的意義

（一）化抽象為形象

隨著我國教育水平的不斷發展和要求，數學作為學生高中階段的基礎學科，教師要創新教學模式來適應時代發展對學生數學素養提出的新要求。在高中數學教學中，教師要改變傳統的數學教學模式，將教學的重點放在對學生理解能力和應用能力的培養上面。教師可將數形結合的思想靈活應用于教學的各個環節，讓學生能夠真正實現對數學概念的內化，使其根據數學知識構建出對應的數學圖像。與此同時，采用該方法，可以讓學生解決問題的道路更加寬廣。原本抽象的問題內容也會變得更加簡單，學生圖形與數式相結合的能力也會有所提升。另一方面，通過將高考與該思想結合，學生的想象能力、思維能力以及抽象能力都可以得到有效培養，在層層遞進的推理關系中，學生的思維能力也會得到極大拓展[1]。

（二）有助于初高中知識的銜接

數形結合的思想在高中數學教學中的滲透，能夠讓學生盡早樹立數形結合的意識，使其在未來的學習中有更好的方式解決問題，實現初高中知識的有效銜接，也讓高中知識和初中知識可以融會貫通。初中階段的數學知識抽象性較強，且概念性也比較突出，解題方法的模仿性方面也很強，教學的實際中，需要學生具備較強的思維能力、空間構造能力與計算能力等。學生歷經必要的過渡期之后，數學學習過程也就會更加順利，數形結合思想也能夠讓學生對數學知識的認知更加深刻。

（三）有助于培養學生解題意識

數形結合意識在學生腦中的滲透絕不僅僅是簡單的理論講解即可，而是需要教師將其應用到實際的教學中，讓學生能夠洞悉數形結合思想的深意，學會分析問題并解決問題。在教師潛移默化的培養下，學生也能學會立足于不同視角，去分析數學問題，將解題中的障礙一一掃除。經過實際的教學來看，將數形結合思想運用于數學解題中，可以讓學生對較為抽象的數學知識更加了解，也可以進一步深化學生的應用數形結合思想解題的意識[2]。

（四）有助于提升學生應用能力

數形結合的思想在學生學習中的滲透絕不是一朝一夕可以完成的，學生也無法在短時間內形成一種超能力。想要培養學生的數形結合意識，就需要教師真正將數與形能夠結合起來，讓學生可以應對數學問題。另一方面，教師還要將數形結合的思想滲透于學習的全過程中，讓學生的學習負擔能夠減輕，并進一步提升學生的主動性與積極性。

二、高考數學數形結合思想的滲透

例1：（2017年全國卷Ⅱ）已知函數f（x）=ax2-axxlnx，且f(x)≥0。

（1）求a。

（2）證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2＜f(x0)＜2-2。

分析：針對本題的求解主要思路如下：第一，已知條件提到f(x)≥0是恒成立的，一般這類題型需要求出a的取值區間。根據題干，由于本題要求明確a的值，所以可對函數f(x)圖像和x軸的關系進行預判，即相切，并且切點之外的所有點都應該落于x軸的上方，所以遷移分拆的兩個函數圖象也具備同樣特征；第二，f(x)有唯一極大值x0存在，這就代表該函數有三個單調區間，圖象最終呈現為“N”或“反N”型；第三，最后想要證明不等式成立，就需要參考已經求出的數值和已證結論，選擇適宜的方法。

（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且只有兩個零點；

（2）假設x0是f(x)的零點之一，證明y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex2的切線。

分析：根據本題已知的條件，完成（1）的求解時，可采用下列三種方式解，具體如下。

第一種思路：學生可以先求出f(x)的導數，再參照定義域來對函數單調性進行斟酌。學生可以先畫出f(x)的圖形，選擇部分較為特殊的函數值，根據零點存在定理，來驗證函數f(x)有且只有兩個零點。在實際的求解中，大部分考生可能因多種原因，并沒有想到將函數畫出圖形。事實上，根據函數的圖像，才更容易聯想到一些具有特殊性的數值。在考生熟知且和題目密切相關的內容輔助下，解題過程將會更加順利。因此，我們也可以理解為圖形猶如一根杠桿，具有四兩撥千斤的作用，可為考生順利求解指引方向。

第二種思路：如第一種思路，同樣需要求出函數的導數，并定義域結合來對函數單調性進行預判，再畫出函數圖形，以此求出極值，并將其與0進行對比，得到大小的結論。隨后，根據零點存在定理，來驗證函數有且只有兩個零點。在實際的解題中，需要學生注意的是x→0+是指變量x從0的右側逐漸趨向于0，以此類推同理可得。這種方式是將解法1逐漸地推向于極限情形，對于解決問題可以產生直接作用，需要考生具備扎實的知識基礎和較強的數學推理能力。

在對第（2）題求解時，由于函數的抽象性極為顯著，并且成為了很多學生學習路上的攔路虎，所以往往是學生感到極度頭疼的問題。但本題中，如果應用數形結合的思想，則可以順利解決存在的問題。通過數形結合，原本抽象的題干意思直觀地呈現了出來，并且也不再復雜，學生理解起來也更加容易。按照圖象，就可以求得切線斜率是1x0，相關問題也就自然而然地解決了。

三、高考例題中數形結合思想應用的啟示

（一）數學概念與數形結合思想的融合

高中數學包含的內容較為廣泛，其中數學概念就占據了一定比例。可以說，數學概念是學習數學的基礎，更是數學內容的基本元素，如果學生能夠深入理解相關概念，有利于其對數學定理和公式的理解，也能夠讓學生實現從感性到理性的飛升。所以筆者從教師教學中可以將數形結合的思想運用于數學課程，給學生進行引導，讓學生能夠主動探尋事物內在的聯系，總結其本質特征。在不斷地積累和總結中，學生的表達能力可以有效增強，對此學生也能夠更好地理解數學題目，對數學思想更加了解[3]。

（二）數學例題與數形結合思想的融合

高中數學教學的過程中，有效運用案例是很重要的一個部分。在案例分析中，教師可以將新知識融入其中，學生不僅可以鞏固已學知識，還能夠對掌握解題的技巧，以此提升自己的解題能力。數形結合思想是數學課程中的重要思想之一，想要培養學生該思想，就要將其融入例題分析中，加深學生的印象，讓其知道數形結合思想應該用在哪一類的解題中，致力于提升自身的綜合能力。

（三）數學實踐與數形結合思想的融合

數學教學除了課堂上的集體授課，教師也會根據教學內容適當組織教學活動，以實踐驗證真知，在實踐中獲得的感悟將會更加深刻。基于數學學習目標，學生要對數形結合思想有深刻的認識，并掌握應用技巧。教師可根據學生的身心特點和愛好，開展不同的實踐活動，讓學生可以積極地參與進來。在不斷地探索進程中，學生也可以對數形結合思想的了解更深，內心的興趣也被激發出來，調動起自己的學習積極性，提升整體的教學質量[4]。

（四）數學方法與數形結合思想的融合

在數形結合教學方法應用中，主要采取圖形。具體來講，數形結合教學方法的應用，借助于直觀的圖形表達知識點的深層含義。首先，數形結合意識是教師所具備的，教學工具主要采取的是圖形，對學生的圖形感知能力進行培養：學生遇到數學問題時.首先分析采用數形結合方法是否可以對這道題進行解決.將問題中隱藏條件給找出來，對相應的圖形進行繪制，這樣方可以正確解題。那么教師就需要對學生的數形互譯能力進行培養；教師還可以應用先進的多媒體技術，將數形轉化過程展示給學生，促使學生空間立體思維能力的提高。

（五）提升學生數形結合的綜合能力

對學生數形轉化和整合能力進行訓練。如果學生已經具備基本繪圖能力，那么就需要引導學生轉化和整合數形，將數形轉化的方法傳授給他們，用數解形，或者用形來助教。數解形就是數量化高中數學中的集合問題。通過數的計算或者簡化.對數學中的幾何問題進行處理。向量法、三角方法和解析法等都可以來處理高中數學知識中的幾何問題。比如，借助于向量法對幾何問題進行解決.構建圖形，就有一種對應關系形成于平面向量和坐標之間，可以更好地進行數的計算，降低問題難度。

（六）結合信息技術，培養核心素養

目前，很多高中生在數學上都有一定的“畏難心理”。這是因為高中數學知識具有很強的邏輯性和理論性，很多數學教師不知道如何通過適當的方法降低學生學習理論知識的難度。高中數學知識的邏輯性導致很多缺乏抽象思維的學生學習困難，針對這種問題，教師充分發揮現代信息技術的作用，通過視聽化教學語言的設計，使抽象的數學知識更加形象化，這樣不僅能夠深化學生的知識理解，同時還能夠培養學生的數形結合、空間思維等數學核心素養[5]。

以線與圓的方程式課程的教學活動為例，在本課程中，筆者運用PPT的動畫效果，向學生演示了“現有的圓經過A（5，8）點和B（9，4）點，圓心在y=0線上，求圓的方程式，同時，結合CAD繪圖軟件，為學生制作平面直角坐標系，并通過精確的繪圖方式向學生展示數學模型。這樣，學生就可以在直觀的數學模型的影響下深化思維，促進學生核心素養的發展。

（七）結合學生差異，培養核心素養

課堂訓練對學生鞏固知識很有幫助。但是在數學課堂訓練活動的設計上，我們要避免學生形成疲憊感，由于學生思維能力和學習特點的差異性，教師在設計課堂訓練內容的過程中也要堅持層次性的特點，逐漸提高數學訓練活動的難度，通過階梯式的數學訓練內容逐步調動學生的參與度，吸引學生的注意力、培養學生參與數學訓練的新型，促進高中數學教學質量的提高[6]。數形結合思想實現了數學信息的相互轉化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數形結合思想，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機地結合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

例如，在進行“數列”課程的教學活動時，筆者為基礎較差的學生設計了這樣的練習：“數列的公式{an}為an=13N，找出數列的前五項”。那么學生在面對這種相對簡單的數學習題時往往會產生一定的自信心，然后在此基礎上逐步增加數學習題的難度，這種方式可以有效地促進學生主動鍛煉自己的數學思維核心素養。對于學習能力強的學生，筆者設計了這樣一個例子：“判斷16和45是否是數列{3N+1}中的項目。如果是的話，請指出這兩個數字是第幾項？”這樣，筆者在這一階段不斷提高學生的知識拓展能力，通過層層設計數學題目的方式，有效培養了學生的數學核心素養。

四、結束語

數形結合思想實現了數學信息的相互轉化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數形結合思想，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機地結合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。由于數學知識的抽象性，常常會讓學生陷入死胡同中，而這時數形結合思想的作用就被凸顯了出來。在解題過程中，筆者認為學生應該演算、思考與畫圖同步進行，在畫出和其相匹配的圖形之后，利用數形結合的思想，讓原本復雜的問題變得更加簡單，不但可以讓學生快速抓住銜接點，探尋到有效的解題思路，弄清楚問題所要求得的真相，還能夠讓學生在解題中不再畏懼。總之，教師在日常教學中應該將該思想和高考結合起來，培養學生的解題能力，并且提高解題的效率。