關(guān)于高中數(shù)學(xué)課堂例題變式設(shè)計(jì)的教學(xué)初探

李國(guó)安（福建省永春第二中學(xué)，福建 泉州 362600）

例題可以是對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握水平的一種檢驗(yàn)和深化，也可以作為知識(shí)方法教授的有效策略.高中階段的數(shù)學(xué)例題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)具有較高的難度，實(shí)際上，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而初高中數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸側(cè)重于學(xué)生對(duì)解題方法的靈活應(yīng)用，因此，學(xué)生不僅要找到例題涉及的知識(shí)點(diǎn)，還要找到正確的解題思路和計(jì)算方法，這也是對(duì)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的一種考查.然而，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)沿用的題海戰(zhàn)術(shù)從某個(gè)角度來(lái)看只能通過(guò)經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的途徑讓學(xué)生了解解題方法，卻難以真正實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，學(xué)生需要的是能力上的提高，而非經(jīng)驗(yàn)提升.通過(guò)例題變式設(shè)計(jì)，教師注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)例題進(jìn)行轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)一題多變，讓學(xué)生深入一道習(xí)題，拓展更多、更深的知識(shí)層面，避免對(duì)解題失去興趣，或者出現(xiàn)因?qū)W習(xí)轉(zhuǎn)移過(guò)快、例題難度過(guò)大而引發(fā)的畏難心理.

一、高中數(shù)學(xué)例題變式設(shè)計(jì)的應(yīng)用意義

（一）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題

問(wèn)題是人學(xué)習(xí)的主要?jiǎng)恿Γ辛藛?wèn)題就有了學(xué)習(xí)的方向和目的，因此，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探究問(wèn)題，解決問(wèn)題這一系列過(guò)程本身便是學(xué)習(xí)的理想狀態(tài).然而，根據(jù)目前高中階段學(xué)生的現(xiàn)狀分析，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知多處于教材、教師、試卷之中，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程也大多集中于這些來(lái)源的問(wèn)題，但實(shí)際上學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題往往比教師提出的問(wèn)題更具教育意義，效果也更為顯著.這樣引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，主動(dòng)探索問(wèn)題，積極提問(wèn)的良好習(xí)慣.例題變式教學(xué)對(duì)于學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題具有明顯的幫助.在應(yīng)用例題變式設(shè)計(jì)一段時(shí)間和學(xué)生了解例題變式設(shè)計(jì)的原理和方向后，教師可以將例題教學(xué)“交”給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試根據(jù)一個(gè)例題發(fā)現(xiàn)另一個(gè)例題，主動(dòng)組織學(xué)生一同探索，大膽向教師提問(wèn).對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，例題變式設(shè)計(jì)教學(xué)的應(yīng)用也要構(gòu)建良好的課堂氛圍，摒除“提問(wèn)便是學(xué)習(xí)不好的表現(xiàn)”的認(rèn)知，鼓勵(lì)學(xué)生“不恥下問(wèn)”，這也有利于從例題變式向“教學(xué)變式”的轉(zhuǎn)變.例如，教材中的例題“畫出函數(shù)的圖像”，在帶領(lǐng)學(xué)生解決問(wèn)題后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生試著將原題變化一下，先為學(xué)生留出一定時(shí)間，讓學(xué)生以小組為單位，每個(gè)小組根據(jù)原題再出一道例題，而教師隨機(jī)選擇一個(gè)小組所提出的例題，交由其他小組作答，后續(xù)的結(jié)果和解題過(guò)程也完全可以交給設(shè)計(jì)該題的小組.這一活動(dòng)的開展不僅能培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，而且能促進(jìn)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)以及小組之間的互動(dòng).

（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

很多學(xué)生都會(huì)感覺高中階段的數(shù)學(xué)難度“更上一層樓”，其概念、公式及解題方法不僅繁多而且晦澀難懂，這不僅是學(xué)習(xí)方法不夠高效，而且說(shuō)明了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不強(qiáng).如果只將高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)看作一個(gè)個(gè)獨(dú)立的“孤島”，那么學(xué)習(xí)難度無(wú)疑會(huì)進(jìn)一步提高.實(shí)際上，高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的連貫性特點(diǎn)更加明顯，知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系更加緊密，因此，學(xué)生在理解知識(shí)以及解題時(shí)需要靈活應(yīng)用以往的知識(shí)點(diǎn).教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力能幫助學(xué)生在掌握、歸納與總結(jié)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)不再是單純的知識(shí)積累，形成解題能力.例題變式設(shè)計(jì)能夠通過(guò)靈活的例題變化讓學(xué)生從中“看”到以往的知識(shí)點(diǎn)和解題方法，也能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)例題的靈活多變中看到靈活多變的解題方法，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度分析問(wèn)題，用以往的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，在提高例題教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)簡(jiǎn)化學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.

二、例題變式設(shè)計(jì)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)思維的靈活發(fā)散

在新課改背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生能力的養(yǎng)成，因此，在課堂教學(xué)中，教師要充分貫徹生本理念，以學(xué)生作為教學(xué)的中心，引導(dǎo)學(xué)生探索例題，交流例題，在例題解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這本身也是傳統(tǒng)教學(xué)模式的理想狀態(tài)，但傳統(tǒng)教學(xué)模式本身壓制著這一趨向：過(guò)于關(guān)注解題的標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生因害怕出錯(cuò)而不敢嘗試，甚至長(zhǎng)時(shí)間養(yǎng)成的依賴心理導(dǎo)致不去主動(dòng)探索例題，而是等待教師公布答案和解題過(guò)程.傳統(tǒng)教學(xué)模式本身并沒有給學(xué)生充足的課堂參與空間，導(dǎo)致學(xué)生在課堂中表現(xiàn)較為消沉，這對(duì)于學(xué)生能力的提高帶來(lái)了不利影響.對(duì)此，教師首先要做的是實(shí)現(xiàn)教學(xué)理念的積極創(chuàng)新，貫徹生本理念，應(yīng)用例題變式教學(xué)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過(guò)例題變式設(shè)計(jì)的趣味性和靈活性讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，跟隨例題的變動(dòng)和教師的引導(dǎo)靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力.

例如，在教學(xué)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”這一內(nèi)容時(shí)，教師需要確保課堂教學(xué)的靈活性，靈活設(shè)計(jì)內(nèi)容和過(guò)程，靈活應(yīng)對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn).通過(guò)例題變式設(shè)計(jì)，教師能將原本枯燥無(wú)味的例題教學(xué)變得更加生動(dòng)靈活.

例題變式設(shè)計(jì)的主旨在于引導(dǎo)學(xué)生探究三角函數(shù)關(guān)系，同時(shí)嘗試著證明關(guān)系，為之后的學(xué)習(xí)過(guò)程打好基礎(chǔ).上述例題變式通過(guò)循序漸進(jìn)的方法手段讓學(xué)生們通過(guò)討論和計(jì)算嘗試著求解，三個(gè)變式的不斷深入讓學(xué)生靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力，每一道習(xí)題的成功解答都是下一道習(xí)題求解的基礎(chǔ)，這也更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

（二）通過(guò)例題變式設(shè)計(jì)開展概念教學(xué)

概念與公式都是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)部分，這一部分的知識(shí)點(diǎn)通常需要學(xué)生通過(guò)理解來(lái)消化，這時(shí)，教師可以通過(guò)例題進(jìn)行概念的補(bǔ)充講解，讓學(xué)生通過(guò)例題思考來(lái)深化概念理解效率.然而，例題補(bǔ)充可能造成學(xué)生理解誤差的現(xiàn)象，因此，教師可以利用例題變式設(shè)計(jì)，在通過(guò)例題輔助理解概念知識(shí)時(shí)通過(guò)變式設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)例題與概念的一同轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生能以更多的角度分析概念，掌握概念.例如，在教學(xué)“函數(shù)”這一內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生可能出現(xiàn)函數(shù)與方程分辨不清的現(xiàn)象，在解題時(shí)也可能出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象，這主要是因?yàn)樗麄儗?duì)兩個(gè)知識(shí)概念的掌握不夠扎實(shí)，也沒能明確概念的本質(zhì).函數(shù)與方程都會(huì)通過(guò)代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，一些計(jì)算題看上去非常像方程，也類似函數(shù)，因此，學(xué)生往往滯留在例題的表面難以分辨，這時(shí)，教師可以通過(guò)例題變式設(shè)計(jì)來(lái)幫助學(xué)生區(qū)分函數(shù)與方程的不同，讓學(xué)生掌握兩者存在的聯(lián)系與共通點(diǎn).多數(shù)情況下，方程都是求解未知數(shù)，而未知數(shù)本身并不會(huì)出現(xiàn)自變量和變異性的關(guān)系.函數(shù)中的所有自變量和因變量都是對(duì)應(yīng)的，并且方程可以求解而函數(shù)沒有固定的解.兩者也存在一定聯(lián)系，即在特殊情況下是可以轉(zhuǎn)換的.如果在解函數(shù)時(shí)遇到特殊值，那么可以將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥匠蹋业胶瘮?shù)的參數(shù)或特殊性質(zhì).在這之后，教師可以板書例題：y＝x2＋2x＋1，求函數(shù)圖像和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).實(shí)際上，這一例題也是求解x＝0 時(shí)y的值，而該題可以借此進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蘺＝0＋0＋1，解得坐標(biāo)為（0，1），之后可以再轉(zhuǎn)換為函數(shù)進(jìn)行求解.教師利用例題的變式設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生明確函數(shù)和方程之間的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生將兩種思想通過(guò)變式設(shè)計(jì)代入例題中，通過(guò)例題的靈活轉(zhuǎn)換靈活思考，提高學(xué)生的思維能力和問(wèn)題解決能力.

（三）設(shè)計(jì)開放性的變式例題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于課堂學(xué)習(xí)的參與性往往決定了課堂教學(xué)質(zhì)量，而如何讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)則成為教師需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題.對(duì)此，興趣成為一個(gè)很好的著力點(diǎn)，教師可以通過(guò)趣味性的例題變式設(shè)計(jì)來(lái)提高學(xué)生的參與積極性，并設(shè)計(jì)開放性的例題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)創(chuàng)新.教師需要在例題設(shè)計(jì)上注重解題方法的同時(shí)創(chuàng)設(shè)靈活的思維情境，通過(guò)開放性的例題讓學(xué)生脫離教材和傳統(tǒng)解題方法的制約，在解題過(guò)程中靈活創(chuàng)新.這一方法本身是將例題設(shè)計(jì)中的思維變式設(shè)計(jì)交給學(xué)生，由學(xué)生經(jīng)過(guò)思考提出變式的數(shù)學(xué)例題，再經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)解決例題.這一過(guò)程不僅更具趣味性，而且能讓學(xué)生獲得成就感，激發(fā)學(xué)生的思維能力.如例題：

教師可以讓學(xué)生通過(guò)分析，嘗試舉出一個(gè)反例，對(duì)原本題型進(jìn)行變換，如：

之后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，主動(dòng)探究，再找出一個(gè)漸近線方程為的雙曲線方程，求得＝1，（λ＝0）.之后，教師再對(duì)例題進(jìn)行變換，讓學(xué)生試著找出其他的表示形式，并分析一下和漸近線方程有沒有什么區(qū)別，如漸近線方程為的雙曲線方程為（λ≠0）.教師通過(guò)開放性例題的設(shè)計(jì)能為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考拓展空間，而教師再引導(dǎo)學(xué)生的思維向著變式設(shè)計(jì)的方向遷移能發(fā)揮更為顯著的教學(xué)效果，不僅讓學(xué)生充分參與到例題教學(xué)過(guò)程中，而且能讓學(xué)生感受到其中的趣味性，在自主變式提問(wèn)和解答問(wèn)題后也能收獲成功解題的喜悅.

（四）利用問(wèn)題內(nèi)容形式，使學(xué)生形成完整的知識(shí)系統(tǒng)

高中數(shù)學(xué)中存在許多變式潛能問(wèn)題.這就要求教師從多個(gè)角度具體性分析，對(duì)該問(wèn)題所包含的學(xué)科內(nèi)容以及知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行了解，從而對(duì)問(wèn)題所包含的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行挖掘與利用.具體來(lái)說(shuō)，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，需要在備課期間內(nèi)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及學(xué)生的理解能力，為學(xué)生設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生在問(wèn)題分析中了解數(shù)學(xué)知識(shí).同時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要在例題教學(xué)中對(duì)一些辨識(shí)內(nèi)容進(jìn)行分析，使學(xué)生能在學(xué)習(xí)中掌握更多的解題思路，提高學(xué)生的解題自信心，全面提升教學(xué)效果，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的目的.

例如，在高中數(shù)學(xué)“余弦定理”的教學(xué)過(guò)程中，教師在備課時(shí)，可以針對(duì)內(nèi)容以及教學(xué)知識(shí)，為學(xué)生設(shè)計(jì)相應(yīng)的課題內(nèi)容，以使學(xué)生能在對(duì)理論知識(shí)理解的過(guò)程中對(duì)課題進(jìn)行解答，從而使學(xué)生通過(guò)問(wèn)題認(rèn)證理論知識(shí)，使學(xué)生真正地掌握課堂教學(xué)知識(shí).“已知，在三角形ABC中，∠B為60°，需要求證三角形的三條邊A，B，C滿足AC＝2A＋2C-B2.”

變式一：在三角形ABC中，在了解∠B為60°后，需要對(duì)三角形的三條邊A，B，C的滿足條件進(jìn)行了解..

隨后，學(xué)生通過(guò)思考，對(duì)該問(wèn)題的內(nèi)容進(jìn)行了進(jìn)一步分析.

變式二：在三角形ABC中，三角形的內(nèi)角為等差數(shù)列，需要對(duì)三條邊A，B，C滿足.

教師在課堂中通過(guò)課題問(wèn)題，對(duì)變式一、二進(jìn)行具體分析，并與教材中余弦定理知識(shí)進(jìn)行對(duì)比分析，從而使學(xué)生對(duì)余弦定理充分了解.同時(shí)，教師在對(duì)例題講解的過(guò)程中，需要按照課題內(nèi)容，給予不同的變式，根據(jù)學(xué)生解答過(guò)程的情況進(jìn)行剖析，給予學(xué)生一定的鼓勵(lì)，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步引導(dǎo)，使他們能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中形成良好的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容“余弦定理”全面了解，使他們深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)，并提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，從而在學(xué)習(xí)中不斷進(jìn)步.

（五）以問(wèn)題背景進(jìn)行變式教學(xué)，提高學(xué)生的應(yīng)變能力

教師應(yīng)進(jìn)一步促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課堂中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)象的本質(zhì)屬性全面了解，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用變化具體分析，了解其中的變向因素以及不變因素，從而通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展現(xiàn)狀，了解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)內(nèi)容.

例如，在高中數(shù)學(xué)“指數(shù)函數(shù)以及性質(zhì)”教學(xué)過(guò)程中，教師在課前備案時(shí)需要明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，促使學(xué)生在課堂中對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)容深入理解，并通過(guò)問(wèn)題內(nèi)容促使學(xué)生深入了解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從而掌握指數(shù)函數(shù).在課堂實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的熟讀，對(duì)指數(shù)函數(shù)有了初步了解，隨后，教師為學(xué)生設(shè)置了問(wèn)題內(nèi)容，使學(xué)生能通過(guò)問(wèn)題內(nèi)容印證指數(shù)函數(shù)的改變與性質(zhì)，如“中國(guó)人口數(shù)量在2021 年已經(jīng)增長(zhǎng)到14 億人，如果每年能將中國(guó)人口數(shù)量的增長(zhǎng)率控制在1%，那么在10年后，中國(guó)人口數(shù)量將會(huì)達(dá)到多少人口（單位為億）？”該問(wèn)題的背景屬于指數(shù)增長(zhǎng)模型題.這主要是促使學(xué)生能根據(jù)題意列舉并總結(jié)出，在x年后，中國(guó)人口數(shù)量將會(huì)達(dá)到y(tǒng)人，那么可以得出y＝14（1＋1%）x，隨后，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師要求學(xué)生能根據(jù)實(shí)際生活或其余學(xué)科的內(nèi)容，以此獲取其余變式內(nèi)容.

變式一：針對(duì)儲(chǔ)蓄中的復(fù)利計(jì)算利益，在已知條件本金為a，利息為r，本利為y下，需要求解出y與x之間的變量函數(shù)式.在不同的問(wèn)題背景下，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)進(jìn)行了充分了解，并進(jìn)一步總結(jié)了指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)系式，如在變式一中，設(shè)置原有量為n，年平均增長(zhǎng)率為p，那么在x年后，y為多少，根據(jù)指數(shù)函數(shù)可以了解到y(tǒng)＝n（1＋p）x.在教學(xué)全面落實(shí)與實(shí)施的過(guò)程中，學(xué)生在指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題背景進(jìn)行辨識(shí)學(xué)習(xí)，不僅能深入地了解指數(shù)函數(shù)，而且能掌握本節(jié)課的教學(xué)知識(shí)點(diǎn).

三、結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的應(yīng)用能夠?qū)崿F(xiàn)“一題多變”，同時(shí)在解題過(guò)程中能讓學(xué)生靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力，通過(guò)靈活的解題教學(xué)讓學(xué)生的思維也變得更加靈活.教師在教學(xué)過(guò)程中也要注重學(xué)生的解題過(guò)程，只有注重解題過(guò)程才有利于學(xué)生對(duì)例題變式的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析問(wèn)題的積極性.