基于GeoGebra構建高等數學動態圖形化教學資源庫

摘?要：動態數學軟件GeoGebra可以直觀、動態、交互地演示高等數學中的知識概念，顯著提高高等數學課程教學的質量和效率。本文探討圍繞高等數學的知識概念構建動態圖形化輔助教學資源庫，在大學數學現代化教學方面的實際意義和應用價值，并以“曲線繞坐標軸旋轉形成的旋轉曲面”為例加以演示。

關鍵詞：高等數學;動態圖形化教學;GeoGebra;旋轉曲面

1 GeoGebra簡介

GeoGebra是由美國佛羅里達州亞特蘭大大學數學系教授Markus Hohenwarter開發設計的，其最大的特點就是易用性高，基于Javascript語言和坐標系統，具有比幾何畫板功能更豐富、可編程性更強的特點。國內有關GeoGebra的文獻相對較少，其中比較早是2010年左曉明等[1]介紹了演示軟件GeoGebra的功能及如何利用該軟件優化整合數學教學的各環節。北京大學的唐大仕[2]教授在中國大學MOOC開設了動態幾何畫板Geogebra教學應用課程，2018年開課至今已第10次開課，極大地推動了Geogebra在教學中的應用。目前GeoGebra的應用主要集中在初高中的數學及物理教學當中，在高校教學中尚未得到廣泛地普及推廣。在高等教育教學方面，我們發現對GeoGebra研究與應用的成果較少（周洪[3]，2020;閆永芳[4]，2021），GeoGebra在大學數學類課程教學領域應用還處于不夠系統和完善階段。

2 高等數學的教與學

學數學實際上是學習一門數學語言，它是由數學定義、數學符號所構成，具有嚴格的推理邏輯，非常適合表達各個學科理論知識的語言。要學會這門數學語言，就需要將這些數學定義、數學符號與其具體涵義建立起聯系。數學概念如果能配以具體的、動態的圖形化演示將非常有趣味，讓學生產生直觀具象的認識，從而真正理解概念，而只有理解了數學概念，才能進一步基于邏輯推理構建數學知識體系這個大廈。這些才是真正的數學知識，對后續的專業課程學習有幫助的東西。大學數學類課程的基礎課程如果不能將大部分學生的數學基礎打牢固，那么就是失敗的。同時，我們也注意到一些國外的優秀數學教材所具有的一些優點：論述得非常詳盡，會詳細闡述概念的由來和實際用途，很多內容非常適合學生自主學習;例題和課后習題也多與實際問題相結合告訴學生概念有什么用途;同時還加入了新的信息技術用數學軟件實現通常的數學計算。而GeoGebra可以很好地利用其自身強大的代數、幾何、3D、表格、概率統計、微積分等優勢，特別是動態化的演示，能夠突破傳統教法中現存的問題，提高大學數學類課程教學的質量和效率。

正是認識到目前國內大學數學類課程教與學的上述種種弊端，我們教學團隊將分析借鑒國內外高校數學類課程教學經驗，去粗取精，以基于Geogebra的高校數學類課程動態圖形化教學資源建設為突破口，致力于更新傳統數學類課程的教學理念與方法，以生為本，提升教學質量。我們將圍繞大學數學類課程中的知識點，致力于用強大的Geogebra軟件，賦以數學定義及概念以幾何直觀，建立幾何直觀與抽象定義、概念之間的聯系，設計并制作動態圖形化課件，探索更加完善的GeoGebra動態圖形化方法輔助大學數學類課程教學的使用策略，激發學生對數學的興趣和探索欲，讓大學生的數學學習回歸數學本質。建設高等數學動態圖形化教學資源庫，這無疑具有重要的實際意義和應用價值。

3 基于Geogebra構建高等數學動態圖形化教學資源庫

目前，我們教學團隊已經設計制作了近百個高等數學動態圖形化輔助教學課件，包括各種函數圖形、數列極限、連續、導數、黎曼積分、泰勒公式、偏導數、球坐標微元等。

下面僅舉一例加以演示：“曲線繞坐標軸旋轉形成的旋轉曲面”。

旋轉曲面[5]是高等數學中一個重要的知識點，涉及立體圖形、動態旋轉過程，普通教學設計往往是靜態圖形：在平面上從某個角度看到的三維效果，很難體現真正的幾何直觀，學生想象不出具體圖形和旋轉過程，就很難深入地理解和掌握該知識點。而Geogebra恰恰擅長于此，動動鼠標就可以交互式地從不同角度、放大或縮小地觀看立體圖形，拉動滑動條觀察旋轉曲面動態生成的旋轉過程。

定義1[5]一條平面曲線Γ繞其平面上一條定直線l旋轉一周所形成的曲面，稱為旋轉曲面。該定直線稱為l旋轉軸，曲線Γ稱為母線。

定義2[5]母線上任一點繞旋轉軸旋轉一周的軌跡，稱為緯圓;以旋轉軸l為邊界的半平面于旋轉曲面的交線，稱為經線。

曲線繞坐標軸旋轉一周形成的旋轉曲面。不妨考慮yOz面上的曲線C：f（y，z）=0繞z軸旋轉一周形成的旋轉曲面。

圖1是《高等數學》同濟七版旋轉曲面的配圖，該圖只是從正面視角看到的最終的旋轉曲面，無法看到旋轉曲面生成的旋轉過程（點和曲面的旋轉軌跡），只能靠文字敘述讓學生自行想象;另外，在平面上只從一個視角憑感覺（不是基于嚴格坐標系統）展示立體圖形，立體感也有所欠缺。

下面用Geogebra開發旋轉曲面的動態圖形化課件，可以彌補上述所有缺陷，極大地提升教學效果。Geogebra是基于坐標系統，通過指令可以方便地繪制嚴格精確的二維/三維圖形，再輔以滑動條、鼠標操作等，可以動態地、多視角地展示圖形。主要制作步驟如下：

（1）首先要選擇一條適合演示本問題的已知表達式的曲線，這里選擇一條yOz面上的半支雙曲線，用空間參數方程表示為：

參數a，b決定雙曲線的形狀，適合定義成Geogebra中的滑動條，滑動它們就能改變雙曲線的形狀。

要繪制該雙曲線，需要用參數形式的（空間）「曲線」指令，其基本語法為：

曲線（x（t），y（t），z（t），參變量t，t起始值，t終止值）。

其中，x（t），y（t），z（t）分別為曲線的參數方程分量。

在曲線上任取一點，適合用描點指令，基本語法：描點（幾何對象）。這樣繪制的點，用鼠標拖動可以在幾何對象上隨意移動。打開Geogebra 3D繪圖區，依次在輸入框輸入如下指令并回車：

（2）繪制點M0繞z軸旋轉一周的軌跡。為了展示動態旋轉過程，增加滑動條θ，滑動控制旋轉到角度θ。

Geogebra繪圖按極坐標更容易實現，點M0逆時針旋轉到達點M，易知旋轉半徑為y0，又旋轉角度為-θ，故M點的極坐標寫法為：

其中，y（M0），z（M0）表示點M0的y值和z值。Geogebra有同名的函數：x（P），y（P），z（P）可以分別提取點P的x坐標、y坐標、z坐標。

繪制從點M0到點M的軌跡，這是一段圓弧。繼續用Geogebra（空間）「曲線」指令來繪制。這里實際上就是讓點M0繞旋轉中心逆時針旋轉t度，讓t作為參變量從0變化到θ。為了增加視覺效果，將旋轉中心（0，0，z0）點繪制出來，并連線位于邊界的兩條半徑。

依次在輸入框輸入如下指令并回車：

（3）繪制旋轉曲面的軌跡。整條曲線C繞z軸旋轉一周形成的曲面。同樣為了展示動態旋轉過程，使用前面的滑動條θ，滑動控制旋轉到角度θ。共用一個θ的好處是，拖動滑動條θ時，曲線C旋轉的曲面軌跡與點M0旋轉的圓周軌跡會一起跟著變化。

Geogebra用「曲面」指令繪制空間曲面，共有三種語法，這里適合選用：曲面（曲線，旋轉的角度，旋轉軸）。本例就是將曲線C繞z軸旋轉角度θ，于是，在輸入框輸入指令并回車：

曲面（C，θ，z軸）

這就完成了“曲線繞坐標軸旋轉形成的旋轉曲面”整個動態圖形化課件的制作，結果如圖2所示：

若用鼠標緩慢拖到滑動條θ從0°到360°變化，則點M0的旋轉軌跡（藍色虛線及紅色M點）以及曲線C的旋轉軌跡（紅色曲面），都將跟著動態地呈現;若用滑動M0點，則藍色虛線及紅色M點將在曲面上滑動，真正體現任意一點的旋轉軌跡與整條曲線的旋轉軌跡的關聯性。同樣地，若想切換不同視角觀看當前圖形，按住并移動鼠標就可以實現。

另外，位于Geogebra窗口左側的代數區，自動列出了所有幾何對象的指令代碼，它們是與幾何對象相關聯的，鼠標點擊相應的藍點，可以切換是否在圖形中顯示該幾何對象。這非常便于突出演示部分概念和相應幾何對象。

本課件是以半支雙曲線作為旋轉曲面的母線，該曲線可以換成其他曲線方程，其他都無需改動，就能動態化演示各種不同的旋轉曲面。比如將母線換成半圓則旋轉出球面，換成半橢圓則旋轉出橢球面，換成異面直線則也旋轉出單葉雙曲面……這些我們均已實現。

上述設計制作的“曲線繞坐標軸旋轉形成的旋轉曲面”動態圖形化課件，保存為.ggb文件，大小只有28k.在課堂上，只要電腦里裝有Geogebra軟件，就可以打開并現場動態化地給學生演示。借助GGBPlayer插件甚至可以將.ggb文件嵌入PPT中，在PPT全屏放映狀態下用鼠標動態操作，而且不需要電腦里安裝有Geogebra軟件。具體嵌入使用方法，可參閱“GGBPlayer功能特點”。

4 結論與展望

通過基于GeoGebra的高等數學動態圖形化輔助教學課件的設計，并將其應用到實際的大學教學中來，在線下課堂、線上教學都受到了學生的廣泛好評。利用GeoGebra進行輔助教學相比于傳統的教學方式，GeoGebra環境下的教學更清晰，可視化效果更好，將GeoGebra軟件應用于教學中，不僅能使概念的形成過程清晰可視化，讓學生更好地接受吸收，也使得學生在課堂上不再只是單純地傾聽者，而是參與到對未知知識的探索之中，從而使得學生更加積極主動地參與對概率統計的學習中去，進而培養學生的探索求知精神以及創新思維，同時也增加了課堂的活躍性與趣味性，有助于提高教學效果。因此將GeoGebra使用到數學教學上，是非常具有實用價值的，能夠為高等數學課堂帶來更好的教學效果。

我們教學團隊基于GeoGebra的高等數學課程動態圖形化教學資源建設為突破口，致力于更新傳統數學類課程的教學理念與方法，注重知識概念的動態交互圖形演示，能夠大大提高學生的學習效果和教師的教學效果。因此，應當大力提倡應用現代教育技術促進教學改革，注重信息技術在課堂教學中的應用，并在課堂教學中注意利用其展現教學內容，以增大課堂教學信息量，激發學生興趣。

參考文獻：

[1]左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數學教學全過程優化研究[J].數學教育學報，2010，19（01）：99-102.

[2]唐大仕.動態幾何畫板Geogebra教學應用.中國大學MOOC.

[3]周洪.運用GeoGebra著力提升高等數學的教學質量[J].四川職業技術學院學報，2020，30（05）：116-122.

[4]閆永芳.GeoGebra軟件在數學分析教學中的應用舉例[J].北京印刷學院學報，2021，29（04）：131-134.

[5]同濟大學數學系.高等數學（第七版 下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6]GB123.GGBPlayer功能特點，https：//www.ggb123.cn/ggbplayer2/.

基金項目：本文是黑龍江省高等教育教學改革一般研究項目“基于Geogebra的高校數學類課程動態圖形教學資源建設與研究”（SJGY20200353）資助階段性成果

作者簡介：張敬信（1982—?），男，河北保定人，基礎數學博士，基礎科學學院副教授，哈爾濱商業大學，研究方向：大學數學教學、數學模型、數據挖掘等。