高中數學現象教學的內涵及其實踐策略

◎曹 彬

(貴州省黔西第一中學，貴州 畢節 551500)

前 言

一條魚從來沒有離開過生長的河流，一只青蛙給這條魚描述它在岸上看見的牛的樣子.青蛙說：“牛有兩只角，有鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵，還有四條腿和一條長長的尾巴.”于是魚的腦袋里浮現出身上長有角、鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵、腿和尾巴的“魚”的樣子.目前，很多教師和學生在不辭辛勞地扮演著青蛙和魚，青蛙不可謂不辛苦，要給魚講清楚牛的角、鼻子、嘴巴、眼睛、耳朵、腿和尾巴的樣子并不輕松，但最終結果卻是魚極有可能被貼上“愚笨的魚”的標簽.

看到前不久闖入云南玉溪大街上橫沖直撞的龐然大物的照片時，我們的第一反應是它是大象.回想“盲人摸象”的故事，在摸大象的六個盲人中，如果前五個盲人將他們摸到的東西分別描述出來，那么第六個盲人會得到正確的大象模樣嗎？顯然不會，這就是現象的重要性，充分體現了“看得見”比“摸得著”“聞得到”“聽得見”等更能讓學習者建立準確的模型，正如我們經常聽到的“百聞不如一見”.

然而，我們應該清楚現象不等于事實.比如，當我們看到黃昏時太陽搖搖欲墜的現象，常常說：“太陽要落山了.”很久以來，大家都是這樣說的，并沒有人對這一說法提出過質疑.但這樣的結論并不是真正的事實，這是以“地心說”得出的結論，真正的事實是“地球自轉使觀察者背離太陽了”.因此，光有現象不行，還要有合理的解釋，“解釋”就是平時大家說的“知識”，解釋既可以是教師給出的，也可以是學生自主發現的，有了合理的解釋才能讓現象成為事實，所以“事實=現象+解釋”[1].在教學中，“現象+解釋”就是現象教學，現象教學的目的就是讓學生發現更多更合理的解釋，直至自主解釋.將一個懵懂無知的學生轉化成能自主解釋的學生是一個漫長的過程，這也是實施教學的目的.

一個教師來到偏遠的山村學校任教，這里的孩子從來沒有出過村，教師講述的外面的精彩世界令他們心馳神往，他們將教師奉若神明，但他們僅僅只能復述教師講過的精彩，對于其他的還是一無所知.這位教師做到了知識傳授，他用的是講授法.有一天，一個學生在教師的帶領下到城市去玩，這一天，他真正觸摸到了外面的世界，還體驗了教師不曾講過的精彩.在他的鼓勵下，更多的孩子走出山村，這就是現象教學.2016年，芬蘭推行現象教學，芬蘭的現象教學更接近于目前國內流行的項目式、大概念、大單元教學，引起全球對現象教學的關注[2].

在每個人的周圍，現象比比皆是，但每個現象都會帶有多個角度的屬性，而數學現象就是從現象中排除其他屬性，單獨留下數學屬性的結果.例如，看到籃球照片，體育老師會從中得出這是一項運動，做這項運動會有哪些規則等方面的體育現象；物理老師會得出這個物體有多重，需要用多大的力才能將它拋到更遠的地方等方面的物理現象；化學老師會指出這個東西的材料是什么，制作它需要哪些工序等方面的化學現象；而數學老師則會得到這是一個球體，半徑多大，體積多大，表面積多大等方面的數學現象.事實上，只有將多重屬性融合在一起，才能形成一個完整的現象.數學現象教學的開端就是對現象的數學屬性作出解釋.

然而，對某個現象的數學屬性作出不同的解釋，就會讓學生得到不同的數學知識，或者抽象出不同的數學概念.例如，對于“y=x”，如果教師說：“方程y=x.”那么學生會得到這是一個二元方程；如果教師說：“函數y=x.”那么學生的第一反應是這是一次函數；如果教師說：“直線y=x.”那么學生馬上反應到它是第一、三象限的角平分線，傾斜角為45°，在y軸上的截距是0等.所以，數學現象教學就是教師對某個現象的數學屬性作出準確的解釋，讓學生抽象出相應的數學概念，獲得相應的數學知識與技能，并形成數學素養的教學方法.數學現象教學的基本流程如下：

一、對高中數學現象教學的理解

2020年修訂的《普通高中數學課程標準》指出數學課程應引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界[3].用數學眼光觀察到的現象就是數學現象，那么用數學思維思考現象、用數學語言表達現象的教學就是數學現象教學.目前，人們認為的現象教學有項目化教學、大概念教學、情境教學和活動化教學四種傾向.

1.項目化教學傾向

2.大概念教學傾向

一個教學基本單元被稱為一個基本概念，多個相似相融的基本概念組合成一個大概念，事實上，這里的基本概念就是大概念體系中的一個數學現象，教學過程就是由數學現象抽象出基本概念的過程.例如，教學“指數函數的圖象與性質”時，教師要將其放入函數的圖象與性質層面來研究.指數函數僅僅是所有函數中特殊的數學現象，教學內容要按照解析式、定義域、圖象、值域、圖象上的特殊點、單調性、奇偶性的順序來研究，所以，基于大概念教學的現象教學注重基本概念的相似相融，強調教學行為的一致性.

3.情境教學傾向

情境教學是指創設教學情境，引導學生“嵌入”情境中，使其在情感上得到切身體驗，并帶著情感體驗進入學習中.情境是一種數學現象，所以情境教學也是現象教學的一種方式.當然，情境教學與現象教學略有區別，情境教學強調情感體驗，而現象教學強調現象與解釋的循環[4].例如，在教學“平面向量的加法”時，教師可以設計“船的航向垂直于水流方向，船如何航行”的情境，學生則會結合自身經歷，得到“船的實際航行方向不垂直于水流方向，而是與水流方向有一定的夾角，而且船的實際速度也比船速要大”的結論，這就是情境教學.如果給出具體的現象：已知船在靜水中的速度為6 km/h，水流速度為3 km/h.如果船的航向垂直于水流方向，則船的實際速度是多少？這是一個精準的現象，學生不僅能得到情感體驗，還能根據現象思考船的實際速度大小與方向的問題，進而發現向量加法的“平行四邊形法則”，這就是現象教學.

4.活動化教學傾向

活動化教學是指以學生探究為主，開展學生主體活動或實驗，根據活動或實驗的結果展開教學.其中，活動或實驗的過程和結果都是數學現象，所以活動化教學是現象教學的一種方式.例如，在教學“兩個平面平行的性質”時，教師可以設計“已知一個面內的一條線，在與這個平面平行的平面內作一條與該直線平行的直線”的活動，引導學生思考這條直線的作法，進一步得出兩個平面平行的性質定理.再如，在教學“橢圓及其標準方程”時，教師可以通過幾何畫板展示畫橢圓的過程，使學生理解橢圓的定義.

然而，這些理解都不是數學現象教學的全部.數學現象教學是從原始狀態的事實開始，用數學的觀點進行解析、抽象、重構，劃歸為數學問題再進入數學活動的教學[5].簡而言之，數學現象教學就是基于數學現象的教學，這里的原始狀態的事實就是數學現象.

二、數學現象的分類

1.生活中的數學現象

生活中有許多現象可以提取出數學屬性，這樣的現象被稱為數學現象.教師在教學過程中，要將學生真實的生活經歷建成數學模型，產生數學現象，并將數學現象與數學概念相結合，讓抽象問題現象化，進而激發學生的學習興趣.例如，向日葵的種子從里向外排成美麗的螺線形狀，且從里向外每一圈的種子數形成斐波那契數列；工人師傅使用線錘檢測墻面是否與地面垂直等.

2.實驗中的數學現象

數學實驗即利用信息技術輔助，對某些問題進行實驗探究，也可以利用一些器材，設計數學實驗，演示實驗結果，實驗現象就是一種數學現象，并根據現象生成數學概念.例如，通過單擺演示正弦曲線，如果不通過實驗展示，那么學生很難準確把握正弦曲線的形狀，甚至有的學生會錯誤地畫成折線.另外，數學實驗可以集中學生注意力，使其有效地進行學習.當然，數學實驗也可以借助信息技術，如上述實驗若實際操作既不容易找到實驗器材，又浪費時間，還不一定會得到理想的效果，但使用現成的實驗視頻進行演示，那么實驗現象會更明顯.

3.活動中的數學現象

數學活動過程中隨時都能提取出數學現象.蘇霍姆林斯基提倡將知識與積極的活動緊密聯系在一起，這種“數學+活動”的教學形式逐漸被人們所重視，活動的過程和結果都是數學現象.數學活動中，活動是形式，數學思維是核心，因此，越來越多的教師更愿意讓學生動手操作，讓學生在活動中感受到愉悅、輕松、快活，體驗“做中學”“學中做”，最終達到“教、學、做合一”的要求[1].例如，在教學“正態分布”時，教師常采用“高爾頓釘板實驗”引入正態分布曲線，學生對高爾頓釘板很感興趣，紛紛猜測其原理是什么，甚至質疑小球由于重力原因，應該優先落在最中間的球槽中.此時，教師可以設計“制作高爾頓釘板模型并觀察實驗效果”活動，活動過程中，學生的積極性很高，他們制作的模型比較精美，并根據現象理解了正態分布是客觀存在的，更理解了“偶然中蘊含必然”的哲學觀點.

4.信息技術輔助下的數學現象

信息技術輔助教學打破了傳統教學的單一性知識傳授方式，集文字、聲音、圖象和動畫的優點，特別是信息技術輔助教學能實現教學內容的開放，使教學情境更加生動逼真，進而激發學生的學習興趣，提高學生的學習積極性.應用信息技術展示的結果經過提取數學屬性就是數學現象.幾何畫板是數學教學中常用的信息技術軟件，在新授課、復習課、習題課等課型中都有應用，例如，在類似于“是否存在某個點，使得某個結論成立？若存在，求出該點的位置；若不存在，說明理由”結構的探究題中，借助幾何畫板繪制滿足條件的圖象，拖動點的位置，能確定符合條件的點是否存在，進而幫助學生發現解題思路.

5.數學史蘊含的數學現象

數學史本身就是數學現象，德國生物學家海克爾說過：“個體成長重演種族發展史.”知識是學生探究新世界的工具，教育的目的是讓學生學會思考，而數學史則可以讓學生快速成長，避免其走入前人所走的彎路.例如，函數的概念歷經三百多年，通過多個數學家的努力，才從早期的幾何觀念下的定義發展到集合定義，這一探索歷程能夠促進學生更好地把握函數定義.

三、現象教學實踐策略

1.從現象到概念

從現象到概念，體現了“透過現象看本質”的哲學觀點，這也是現象教學乃至數學教學的重要目的.從數學現象中抽象出概念，需要對現象中的信息進行篩選，排除干擾信息，留下有用信息，通過這些有用信息的組合抽象出概念.例如，在教學“空間中兩條直線的位置關系”時，教師可以選擇學生生活中常見的現象“道路”作為素材，進一步描述道路的相關屬性從而得到空間中直線位置關系的概念，即將“道路”這個現象進行數學化使其成為數學現象.如果給“道路”賦予社會屬性，那么可能得到“它是石頭、水泥、瀝青鋪成的”等結論.觀察平直的道路，道路的兩側所在直線有什么位置關系？這里取平直的道路，又取道路的兩側，學生由此抽象出兩條直線平行的概念.橋上汽車行駛的道路和橋下輪船行駛的道路所在的直線有什么位置關系？學生由此能得出異面直線的概念.

2.從現象到問題

數學教育的目的是培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力，而最基本的就是要培養學生的問題意識，展示現象的目的是引起學生的思考，使其提出問題，并解決問題.其實，高中生提問題的現象普遍存在，只是所提問題的深度有區別，如何設計并展示合理的現象讓學生提出深層次問題，是數學教師應該重點思考的問題.例如，在一次公開課活動中，課題是“橢圓及其標準方程”，教師在第一次磨課中，展示了一些生活中的物體，如天體的運行軌跡、油罐車罐體的輪廓、國家體育館的輪廓等，并告訴學生：“看，這些都是橢圓！”希望學生通過觀察這些物體就能畫出橢圓，然而事與愿違，學生畫出來的橢圓千奇百怪.在進一步的打磨中，教師增加了用細繩畫橢圓的數學實驗，效果比第一次磨課要好.究其原因，兩次磨課中，教師給學生展示了現象，但學生提出的問題卻不同.第一次磨課中，學生看了那些生活中的物體后，提出的問題極有可能是“這些東西是橢圓嗎”，而第二次磨課中，學生動手畫橢圓后，提出的問題是“橢圓滿足什么條件”，顯然，后者更具有探究性.

3.從現象到思想

數學現象中蘊含著數學思想，從現象中總結出思想也是一種常見方式.例如，在教學“排列”時，為了讓學生理解排列和排列數的概念，教師可以列舉4個元素，要求學生寫出從中抽取2個元素的所有排列，再列舉5個元素，要求學生寫出從中任取3個元素的所有排列，學生寫出的結果就是現象，如果結果正確，那么可以認為學生已經理解排列，并能根據現象歸納排列數公式，從現象中感受枚舉思想、歸納推理思想.再如，2018年全國高考數學Ⅲ卷理科第21題第(2)問，解答過程需將原函數變形，并在x=0處多次求導，學生感覺很復雜，但畫出函數的圖象(現象)輔助理解，則會降低解題難度，這就是數形結合思想.

4.從現象到思路

數學的魅力在于思維，數學題的解答過程就是思維的展現過程.如果遇到思維層次較高的解題過程，那么學生可能會問：“怎么想到的？”這需要教師設置學生能接受的數學現象，輔助學生找到解題思路.例如計算Sn=1+q+q2+…+qn-1(其中q≠0，n∈N*)的思路是先乘q，再兩式相減.這是教材上給出的方法，對此，學生容易產生疑惑：“怎么想到的？”這時候教師就需要給學生呈現數學現象：“這是一個多項式，多項式的運算包括合并同類項.上面的式子中有同類項嗎？怎樣才能配出同類項？”這個數學現象引發的思路是可以乘q，也可以除以q，甚至還可以乘q2，從一個現象中可以得出多個思路.

結束語

現象教學是教師都在實踐著的教學方法，但正是因為太熟悉、太“普通”，所以大家經常忘記現象教學的存在，在現象不明顯的情況下，急于讓學生探索概念，尋找下一步的解題思路，導致學生思維“卡頓”和解題不自然.在提倡以學習為中心的背景下，現象教學將促進課堂改革的深入.