研讀數(shù)學教科書的三個妙招

◎王永軍 （重慶市廣益中學校，重慶 南岸 400065）

人民教育出版社2019年版普通高中教科書數(shù)學必修分為2 冊，共10 章，經(jīng)國家教材委員會專家委員會審核通過，已在全國范圍內(nèi)使用．新教材亮點多、課本厚實，教材提供了豐富的數(shù)學實際應用背景，為積極踐行數(shù)學學科的核心素養(yǎng)落地與發(fā)展提供了優(yōu)質(zhì)的第一手素材．研讀數(shù)學教科書是學習數(shù)學的第一步．本文主要探討研讀教材的三個妙招．

一、莫道小處不主角，應用解題更風流

教科書第1 冊第五章“三角函數(shù)”中，從單位圓的角度給出了三角函數(shù)的定義．

如圖1，設角α的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），則正弦函數(shù)sinα＝y(tǒng)、余弦函數(shù)cosα＝x、正切函數(shù) tanα＝

圖1

該定義具有極強的理論價值，在后續(xù)的三角函數(shù)誘導公式的證明中將大顯身手，但它絕不是求解三角函數(shù)值的最好方法，最好方法其實是教科書的例2．

如圖2，在角α的終邊上取點P（x，y）（不與O重合），記r＝OP＝＞0，則

圖2

若我們把教科書例2 看成三角函數(shù)的另一種定義的話，其顯然與前述定義是等價的（用相似形，如圖3）．但在三角函數(shù)具體求值的過程中，例2 在應用上更加得心應手、方便自如．

圖3

圖4

圖5

在形式上，點B的坐標比點P的坐標復雜些．求角的終邊與單位圓的交點的過程運算常常比較復雜、煩瑣，而在角的終邊上任意取點則靈活、隨性．

我們利用例2 的方法，在角的終邊上可以任意取點，這樣便于計算、降低了解題的思維層次，是求解角的三角函數(shù)值最直接、最好用的方法．

課程標準解讀三角函數(shù)是普通高中數(shù)學課程函數(shù)主題的核心內(nèi)容之一，三角函數(shù)的應用貫穿整個高中數(shù)學教學，是學好其他相關內(nèi)容的重要支撐．教科書中借助單位圓來理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，要求學生借助單位圓作出相應的三角函數(shù)的圖像其實是“粗糙”的．借用單位圓作出三角函數(shù)的圖像可能僅僅在第一次用過之后就不再使用，其作圖過程是很煩瑣的，學生在以后的三角函數(shù)的應用中更多的是運用三角函數(shù)的示意圖來處理問題．

在理解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值性等時，“終邊取點”（例2）的方法更加直觀，學生學習更易上手，在教學中是值得揣摩的三角函數(shù)的“好定義”．

我們利用單位圓的對稱性可以推導出三角函數(shù)相應的誘導公式：α±、α±π 的正弦、余弦、正切公式等，所有這些在“終邊取點”（例2）的定義中利用點的對稱性同樣可以輕松得到．教科書三角函數(shù)的定義中單位圓上取點是“終邊取點”（定義）的一種特例，它們是等價的．但是從后來的教學實踐、學生學習實踐來看，三角函數(shù)的“終邊取點”（定義）更勝一籌、更好一點．

中學數(shù)學教學中教師要有大的“單元觀”，要努力幫助學生形成良好的數(shù)學核心素養(yǎng)，使學生養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣．既要“仰望星空”，也勿忘“來時路”．數(shù)學的興趣由此形成．例如，初中（七年級）教科書中實數(shù)加法的法則：

（1）同號2 個數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．

（2）異號2 個數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．

（3）一個數(shù)同0 相加，仍得這個數(shù)．

由這個法則我們可以進一步得到一個“想當然”的結(jié)論：2 個數(shù)相加，和為0，則這2 個數(shù)為互為相反數(shù)，它們的絕對值相等；否則，和的符號與這2 個數(shù)中絕對值較大的數(shù)（可能相等）的符號相同．這個結(jié)論常常可以使解題過程變得簡單．

例題若0 ＜x＜1，a＞0，a≠1，比較｜loga（1-x）｜與｜loga（1＋x）｜的大小（寫出比較過程）．

解析用實數(shù)的加法法則對問題進行處理．

“想當然”解法：實數(shù)加法法則（精妙絕倫）

由題，易見0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，loga（1-x）與loga（1-x2）同號，而且loga（1-x2）≠0，loga（1-x）與loga（1＋x）異號．

loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga（1-x2），由實數(shù)加法的意義，立即可得｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

這里的“想當然”得到了精致運用．本題的常規(guī)解法主要有作差法、作商法．作差法為了去掉絕對值符號，需要對a進行討論；作商法為了判定算式與1 的大小關系，需要對對數(shù)式進行創(chuàng)造性的構(gòu)造．傳統(tǒng)的常規(guī)的解題方法是重要的方法，但也常常是復雜的、煩瑣的解題方法．

基本解法1：作差法

當0＜a＜1，易見0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，得｜loga（1-x）｜＝loga（1-x），｜loga（1＋x）｜＝-loga（1＋x），從而｜loga（1-x） ｜-｜loga（1＋x） ｜＝loga（1-x）＋loga（1＋x）＝loga［（1-x）（1＋x）］＝loga（1-x2）＞0，于是｜loga（1-x）｜＞｜loga（1＋x）｜．

類似的，當a＞1 時，同理可得｜loga（1-x） ｜＞｜loga（1＋x）｜．

基本解法2：作商法

0＜1-x＜1＜1＋x、0＜1-x2＜1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性考慮：

這里僅用此例說明研讀數(shù)學教科書時我們要注重對數(shù)學主體知識的全方位把控，認真解讀課程標準，不偏不倚．教科書是為課程標準服務的，用好教科書的“小知識”“想當然”也是為了完成課程標準的要求，是為學生的發(fā)展服務的．我們要靈活使用數(shù)學教科書這個載體，不盲從，不本末倒置．

二、莫言課本無瑕疵，事實勝辯更完美

在教科書第2 冊第九章“統(tǒng)計”中，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想．繪制頻率分布直方圖是統(tǒng)計中最基本的技能，是研究樣本數(shù)據(jù)的最基本、最常用的手段．

例題居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)分析．經(jīng)過一系列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)處理，繪制出頻率分布直方圖（如圖6）：

圖6

在這個頻率分布直方圖中我們看不到橫軸的坐標原點，這為后續(xù)的概率的密度曲線的引入設置了障礙．

我們可以對橫軸進行類似圖7的處理：

圖7

現(xiàn)在仿照圖7，改進如下（如圖8）：

圖8

用頻率分布直方圖可以估計總體的一些數(shù)字特征，比如眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、第p百分位數(shù)等（如圖9）．

圖9

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的，都是0．5．為減小計算量，我們先估計中位數(shù)x1可能的取值范圍：

0．077×3＝0．231＜0．5，（0．077＋0．107）×3＝0．552＞0．5．

于是x1∈（4．2，7．2），

故0．077×3＋0．107×（x1-4．2）＝0．5，

解得x1≈6．71．

其實，中位數(shù)就是第50 百分位數(shù)．（注：第p百分位數(shù)即p%分位數(shù)，是指它使得樣本數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于第p百分位數(shù)．）

教科書在求80%分位數(shù)x2時，也是先估計x2可能的區(qū)間范圍：

x2∈（13．2，16．2），則x2＝13．2＋3×

在上述計算中，計算關系是不明顯的．

現(xiàn)在回到問題的原點，我們考慮頻率分布直方圖中相應矩形的面積的和，問題就淺顯易懂了，而且解題的過程可以簡單很多：

由（0．077＋0．107＋0．043＋0．030） ×3＋0．030×（x2-13．2）＝80%，

解得x2≈14．17．

這樣把“晦澀”的知識點串在一起，可以尋求其共同的本質(zhì)，以不變應萬變．學生在學習中要敢于質(zhì)疑、勇于質(zhì)疑，尋求最佳的解題辦法，事實勝于雄辯．

課程標準解讀統(tǒng)計內(nèi)容是數(shù)學課程標準中“概率與統(tǒng)計”的兩大板塊之一．統(tǒng)計既是概率內(nèi)容的延續(xù)，也是事件概率運算的內(nèi)在要素．概率與統(tǒng)計是密不可分的統(tǒng)一的整體．通過統(tǒng)計內(nèi)容的學習，學生進一步學習數(shù)據(jù)收集和整理的科學方法，學會用直觀圖表來整理數(shù)據(jù)．頻率分布直方圖是直觀圖表的核心表現(xiàn)形式，我們借此可以進一步分析采樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，讓學生感悟在實際生活中進行科學決策的必要性與可行性，深刻體會統(tǒng)計思維與函數(shù)（確定性）思維的異同，積累數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)決策等的經(jīng)驗．

頻率分布直方圖是統(tǒng)計板塊中考查學生運用統(tǒng)計知識解決現(xiàn)實生活問題的重點．在高考數(shù)學試題中頻率分布直方圖是規(guī)范的、精準的．

例題為了了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查．將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下的頻率分布直方圖（如圖10）：

圖10

根據(jù)此頻率分布直方圖可以得到：該地農(nóng)戶家庭年收入低于4．5 萬元的農(nóng)戶比率為（0．02＋0．04）×1＝0．06；家庭年收入不低于10．5 萬元的農(nóng)戶比率為（0．04＋0．02＋0．02＋0．02）×1＝0．10；家庭年收入介于4．5 萬元至8．5 萬元的農(nóng)戶比率為（0．10＋0．14＋0．20＋0．20）×1＝0．64．還可以估計該地家庭年收入的平均值．

例題從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中隨機抽取400部作品，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)．將所得的400 個評分數(shù)據(jù)分為8 組：［66，70），［70，74），…，［94，98），并整理得到如下的頻率分布直方圖（如圖11）：

圖11

根據(jù)此頻率分布直方圖得到評分在區(qū)間［82，86）內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×（0．050×4）＝80．

三、莫讓浮云遮望眼，去粗取精更固本

案例3教科書第2 冊第十章“概率”把“事件”與第1冊第一章“集合與常用邏輯用語”中“集合”建立關聯(lián)，使得整個普通高中數(shù)學必修課程前后呼應，數(shù)學知識結(jié)構(gòu)體系形成了一個漂亮的閉環(huán)．“事件”與“集合”幾乎對等，實際上事件的關系和運算就是集合的關系和運算．比如“不可能事件”記為空集Φ、“必然事件”記為全集Ω；事件A與事件B依據(jù)發(fā)生與否有包含關系、相等關系；互為對立事件對應著集合中的補集運算．

集合的并集、交集是清晰的，符號的用法是固定的、唯一的．并集：A∪B，交集：A∩B；并集不能用A＋B，交集不能用AB．但是在事件的運算中，并事件也叫和事件，可以記為A∪B，也可以記為A＋B；交事件也叫積事件，可以記為A∩B，也可以記為AB．

我們建議事件的并、交運算只記為A＋B、AB．畢竟“事件”與“集合”是不同的概念，具有不同的實際應用背景，在寫法上進行區(qū)分有利于學生對基本概念進行深入的理解，這是很好的學習習慣．比如事件A與事件B互斥，則P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；事件A與事件B獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）．這里事件的概率的數(shù)學表達式形式直觀、簡潔好記．

課程標準解讀“事件”是“概率”中的基本元素，教師要結(jié)合具體實例幫助學生理解隨機事件，要求學生會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，以期使學生加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解．學生了解隨機事件的并、交、互斥的含義，結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算．注意課程標準的表述為“了解”隨機事件的并、交，因此本部分教學內(nèi)容對中學生來講可以輕松一點，各種記號、符號等的應用沒有必要面面俱到，學生只需抓住教學內(nèi)容的核心問題即可．

高中數(shù)學教科書是數(shù)學教材專家組成員的集體智慧的結(jié)晶，其正確性、權(quán)威性常常是不可置疑的．教科書是為學生的學習發(fā)展服務的，我們要真正發(fā)揮教科書的優(yōu)勢，合理恰當?shù)亟梃b專家教授的專業(yè)成果、專業(yè)經(jīng)驗，為教育教學服務，同時要尊重數(shù)學科學、尊重數(shù)學生成發(fā)展的學科規(guī)律，注重高中學生學習數(shù)學的特殊學習規(guī)律、階段心理特征，合理、高效地安排數(shù)學學科的教學與學習，真正發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用，全面實踐數(shù)學學科核心素養(yǎng)．