數學建模在疾病傳播領域的應用

□徐子豪

數學建模是利用數學工具來解決生活中的實際問題的重要方法之一,而疾病歷來是影響人類健康的大敵,它們對人類健康和社會發展產生了重大影響,引起了世界各國專家的普遍關注,若可以借助于數學模型來研究疾病問題,從而建立符合其傳播特點的數學模型,對于揭示其傳播機理以及對疾病的預防和控制具有重要的現實意義[1]。

一、常見的疾病傳播模型

(一)SI模型。這個模型將人群分為兩類,易感染者(Susceptible,S)和染病者(Infected,I),并設所考察的地區人群總數K不變,時刻t(單位：天)易感者和患者在人群總數K中所占比例分記為是s(t)和i(t),s(t)+i(t)=1,初始時刻t=0時,各類人數量所占初始比率為s0,i0。設個人單位時間內有效接觸率為β,且當易感者被有效接觸后馬上變為染病者[2],β反映的是這種疾病在所在地區的傳播能力,若β越大,則說明疾病傳播速度的最大峰值越早到來[3],根據上述假設可以建立SI模型:

I′=βSI

將s(t)=1-i(t)代入，得 I′=βi(1-i)

i(0)=i0

當t趨于無窮時,i趨于1,這樣說明所有的易感染者都會變成染病者,但實際上這種情況并不符合現實。事實上,由于患者可以被治愈,SI模型沒有考慮到這種情況,而只考慮了易感染者可以被感染。同時,SI模型一般適用于疾病爆發的前期或者尚未進行有效防治措施的階段。

(二)SIS模型。在SIS模型中,模型與SI模型的假設相同,新增一個假設是患者每天被治愈的人數占人群總數的比例為μ,μ稱為日治愈率,則對應的建立SIS方程有:

I′=βSI-μI

定義 C=β/μ

將s(t)=1-i(t)以及μ=β/C代入可得

I′=βi[(1-1/C)-i]

其中,對于該方程分兩種情況討論。若C>1,i(t)呈S形曲線上升,當t趨于無窮時，i趨于1-1/C；若C≤1,則i(t)這條曲線單調遞減,于是當i(t)趨于無窮時,i趨于0。由上述討論可知,C是區分這種疾病在當地能否傳播開來的臨界值。若C>1,這種疾病最終會在所在地傳播開來,成為地方性疾病;若C≤1,則這種疾病最終會消失[2]。SIS模型描述了被感染的個體能被治愈，但治愈后也能被染病者再次感染。有些疾病如傷風、痢疾等,這些疾病雖然可以治愈,但治愈后的個體大致上對這種疾病并沒有一定的免疫力,因此患者治愈后又容易再次被感染。

(三)SIR模型。1927年Kermack與Mckendrick為了研究黑死病以及瘟疫的流行規律,構造了著名的SIR倉室模型。所謂的倉室模型就是根據某種疾病的傳播性質和根據當地傳染的環境狀況將該地區的人群(或某一種群)分成若干類[4],例如三類,即三個倉室：

設人群總數始終保持一常數K,且分易感染者、染病者類和移出者三類,數量分別記為S(t),I(t),R(t),設t時刻單位時間內一個染病者感染易感者的數量與此時刻易感者的數量S(t)成正比,記比例系數為β；設t時刻單位時間內從染病者類中移出的成員數與此時刻染病者的數量成正比,記比例系數為γ[4],從而可以建立SIR模型：

S′=-βSI

I′=βSI-γI

R′=γI

且滿足S(t)+I(t)+R(t)=K

一般來說,SIR模型適用于康復者具有永久免疫力,且不會在被此疾病所感染的情況。例如通過病毒傳播的疾病：流感、水痘等,被治愈的個體康復后對這些疾病具有一定的免疫力,適用于上述SIR模型。而對于一些通過細菌傳播的疾病例如腦炎、淋病等,患者康復后可能再次感染,對這種疾病并不具有免疫力。

(四)SARS傳播模型。在SARS爆發的初期,由于人們對SARS的傳播速度及危害程度認識還不夠,未能及時了解這種疾病的一些信息,使得SARS在早期幾乎不受制約地傳播,但當患者人數上升,政府采取了相應措施對其進行嚴格控制,以及隨著衛生部門防治手段和人們的警覺性不斷增強,這種病毒的傳播速度逐漸下降。而影響這種病毒傳播的因素有很多,不僅有易感染者、染病者、移除者這三個人群,但仍然可以用治愈后獲得免疫力的SIR模型來說明,以下介紹在SARS的傳播得到嚴格控制下的模型。

該模型引入了不可控帶菌者以及疑似感染者兩個人群,在總人群中所占比例分別記為c(t)和e(t),設每個不可控帶菌者單位時間內有效感染人數為n,在這些被有效感染的人中,可以進行相應控制的比例記為α,而不可控帶菌者單位時間內轉化為染病者的比例記為χ,疑似已感染者單位時間內被排除的比例記為β,轉化為染病者的比例記為γ[5],通過以上相關參數的相互轉化建立微分方程：

s′=βe-ncs

c′=n(1-α)cs-xc

e′=-(β+γ)e+nαcs

i′=xc-μi+γe

r′=μi

s(t)+c(t)+i(t)+r(t)=1

該模型里的各參數可以通過兩種方式來估計,一種是利用實際數據來估計,另一種是通過以往經驗進行估計初始數值,然后代入該模型進行計算，再將此與以往的實際數據進行對比，對模型作出相應調整。

二、結語

數學建模主要是將現實特定對象的信息加以翻譯和歸納,從而進行相應簡化的產物。通過對模型的假設、構建、求解、分析得到數學上的解答,再把求解和分析結果翻譯回到特定的問題,將此與現實的相關現象、數據進行比較,檢驗模型是否合理,能否將此應用到該實際問題中。對于數學模型來說,數學模型的特點具有逼真性、可行性、漸進性、強健性、可轉移性、非強制性、條理性、技藝性、局限性,對于建模的好處也是顯而易見的。從建模的角度來思考問題有助于人們對現實對象的了解與分析更全面,這樣來說不管是對問題解決還是對于這類問題更進一步研究也是有利的。但由于模型是現實對象簡化以及理想化后的產物,要將建立的模型應用到實際問題中,就應該考慮有些被忽視的因素,因此數學模型是對于實際問題的近似解決[6]。而在疾病研究中,構建相關數學模型,對此進行分析與控制,這對于研究疾病的流行規律是相當重要的,因為通過建立能反映疾病傳播特性的數學模型,并對該模型進行定性、定量分析[7],有助于得到相關信息,例如該疾病的發展過程、趨勢等,這樣對于人們了解疾病流行過程中的一些特點,對其流行規律認識更加全面,能使所得到的防治策略更可靠以及更符合實際,從而有效控制疾病傳播。