高等數學解題中線性代數方法運用指導研究

◎商七一 （武漢紡織大學數學與計算機學院，湖北 武漢 430000）

引言

盡管高等數學和線性代數從根本上具備一定的差異性，一般都是分開進行的，但是這兩門學科的一些解題思想是可以融會貫通的．在高等數學解題中，由于一些題型難度較大，若學生轉變思維方式將線性代數的方法運用到解題中，會使解題更加容易，并對于自身學習成績和思維能力的提高有著重要意義．

一、線性代數被廣泛運用的原因

隨著我國社會經濟轉型，我們更加重視高質量發展和科學技術的重要性．以往多數人認為線性代數的運用范圍有限，但生活中的許多實際問題，以及某些科研領域、高等數學中比較復雜的問題都能夠運用線性代數更加方便地解決．

其一，就是因為大自然中許多現象都呈現出線性變化的規律．在物理學中，整個物理世界可以被劃分為常見的機械運動、電運動，還有當前科研熱門領域的量子力學運動．我們認識機械運動是從牛頓第二定律開始的，從線性代數的角度來看，這是一個基本的線性微分方程，即物體的加速度與所受外力成正比．在電運動中，我們一定會從電是如何產生的談起，麥克斯韋方程組就很好地向我們解釋了電的產生，這個方程組表明了電場強度是與磁場變化率成正比的．量子化學（量子力學）是建立在線性Hilbert 空間的理論基礎上的，沒有線性代數的基礎，就沒有機會深入了解量子化學．而如今量子化學在材料領域和制藥領域都是不可缺少的科學技術．由此可見，線性方程組在生活中、科學研究領域都發揮著極其重要的作用．靈活運用線性代數解決實際問題成了當前的熱門研究方向．

其二，隨著科學研究的不斷深入，我們發現事物之間的聯系是普遍多樣的，為了研究單個變量的變化規律以及多個變量之間的關系，常常引入相關的線性模型以及一些近似于線性的模型．加上計算機的快速發展，線性化的問題可以通過計算機的編程計算出來．所以通過不斷發展，線性代數成了解決這些問題的有力工具．

其三，對于學生數學能力的培養也有極為重要的作用．由于線性代數極為抽象，學生需要具備較縝密的數學邏輯，具備完善的數學分析能力和嚴謹的推理能力．因此，學好線性代數對于數學思維的培養極為關鍵．

二、高校線性代數教學的現狀

線性代數的課程時長、考試比重都無法和高等數學進行比較，所以學生對線性代數的學習態度有所折扣．通過實地調研發現，我國高校對于線性代數的教學往往都是停留在書本基礎知識上的，教師根據課時要求和教學要求制訂相關的計劃．這種教學模式一定程度上使學生的眼光受限．教師的教學重心如果偏向于教學進度和期末考試成績，會使學生的學習熱情和學習興趣降低．如果跳出思維限制，學校通過一定范圍內的試點研究，將線性代數拓展到高等數學、大學物理等其他專業課上，不妨是一條更好的教學路徑．

三、學習線性代數具備的條件

線性代數的核心在于行列式，幾乎所有內容都緊密聯系著行列式．學生需要具備完善的邏輯思維能力、抽象思維能力和豐富的聯想能力．線性代數的學習僅僅依靠死記硬背數學公式是行不通的，學生需要靈活變通，多想想怎么做、為什么這樣做、還要怎么做．因此，在日常高校線性代數的學習過程中，教師應該更加注重對學生的基礎知識和基礎解題能力的培養．與此同時，教師也應該多融入其他知識，將線性代數靈活運用，將理論與實際結合、線代與高數結合、數學與生活結合，才能夠更好地將知識融會貫通，讓學生更加深刻地理解線性代數．在學習線性代數的過程中，我們應該注意以下幾點．

（一）具備抽象思維能力

在線性代數這門學科之中，很多知識點都是較為抽象的概念，例如向量、矩陣和特征值等概念都需要學生利用抽象思維去理解才能夠體會其含義．同時，各知識點之間也存在著抽象的聯系，需要學生深刻地掌握各知識點才能進一步探究兩者之間的聯系．大學線性代數學科知識的學習不同于初高中的知識，其難度是較大的，不具備一定的數學知識基礎和抽象思維能力是難以跟上課程進度的．教師在教學線性代數時，要將其當作一種數學工具來進行教學，要求學生在課前對課本進行預習理解，帶著疑問來聽課，對每一個知識點都應該做到詳盡講解，并大量地利用工程技術的范例，將知識點糅合在實際運用當中，引導學生進行學習．這種理論結合實際的教學方法能夠將抽象的概念更加具體化并深刻體現線性代數作為工具的使用．抽象思維能力是線性代數學習的一大重要條件．

（二）具備邏輯思維能力

邏輯思維能力的訓練是貫穿整個數學學習的，在其他學科以及生活中也有著廣泛的運用．線性代數是一門邏輯思維能力要求較高的學科．在線性代數的教學中，知識點的教學應該是環環相扣、由淺入深的．遞進式的知識點能夠幫助學生更好地理解整合所學內容，鍛煉學生的邏輯思維能力．這種環環相扣的教學方式對于課堂效率的提高也有著極大的輔助作用．在線性代數的學習中具備一定的邏輯能力是必要條件，搭建線性代數的學習框架知識結構，將知識點串接起來，才能更好地將線性代數運用到解題之中．線性代數的學習能夠進一步鍛煉學生的邏輯思維能力，使得學生的邏輯思維能力達到一個新的臺階，讓學生在解題的過程中更好地挖掘出重要內容．

（三）具備其他能力

數學知識是枯燥和無趣的，特別是像高等數學，其知識的理論性極強，這就不僅需要學生具備抽象思維能力和邏輯思維能力，還需要學生能夠在枯燥的線性代數概念中探究出趣味性，具備良好的數學核心素養．學生應在課前進行預習，在課上認真聽講，在課后進行知識脈絡的整理和練習，達到對知識的靈活運用．因此，對數學的學習興趣、良好的學習習慣以及對知識的運用能力也是學習線性代數的一些必要條件．

四、線性代數作為解題工具的核心內容

線性代數學習的核心內容是線性方程組，其解題的方法和依據也是來于知識點矩陣以及矩陣的初等變換．矩陣的初等變換中也包含著相當多的內容，但知識點的難易程度是有區別的．因此，在進行核心解題方法的教學時，教師要把握知識點的難易程度，由易到難地層層深入．同時，學生在學習的過程中要對矩陣的初等變換知識給予充分的重視，因為只有在學習時跟上步伐理解，在訓練中將知識熟練運用，強化運算，才能夠在實際運用線性代數這一工具進行解題時，熟練把握．線性代數作為數學解題工具，在計算機解題中也有著很多的運用，數學編程軟件Matlab 在現代數學研究中的應用非常廣泛，同時學生也可以利用這一軟件進行解題，將高等數學的知識轉化為線性方程組的知識．學生利用軟件解題能夠提高正確度和效率．從以上種種可以發現，線性代數是十分重要的數學工具．

五、線性代數方法作為解題工具的學習方法

線性代數是數學中極為重要的一個分支，主要研究向量以及線性變化，能夠解決生活中的許多問題．所以在日常授課過程中，教師應該注重教學方法，注重對基礎知識的講解，引導學生掌握正確的線性代數學習方法，逐漸引導學生用線性代數的知識解決高等數學以及其他生活中的問題．

（一）重視基礎知識的訓練

基礎知識一直都是數學學習的重中之重，“基礎不牢，地動山搖”．線性代數的學習更是如此．線性代數是一個基本概念較多、公式復雜多變的學科．線性代數的知識相對于其他許多數學知識，概念較抽象，解題思路更為復雜，但是對線性代數概念的理解是學好線性代數的重要前提．學生只有充分地理解了概念以及概念之間的聯系，才能夠在解題時以較快的速度找尋出解題思路．線性代數概念知識中的很多說法，例如解方程的冪等問題都是高中階段就接觸過的知識，但是這些概念又是在以往學習的知識上進行了變形和深入，需要學生有著良好的數學基礎．學生只有具備了一些基礎性的理論知識才能在這個基礎上進行更大難度的學習．重難點知識都是在基礎知識上的升華，學生需要自己組合、靈活運用，只有熟練地把握基礎知識，在解答難題時才能信手拈來．學生在學習過程中將知識進行整合梳理，加強對基礎知識的探索學習是學習線性代數方法的重要保障．

例如，運用線性代數中二次型理論求高等數學極值問題中未知數這類問題時，如果采用高等數學的方法，解題的計算量將會較大，稍有不注意就有可能算錯，但是采用二次型理論建立矩陣進行求解，先求出矩陣的特征值，再根據特征值對應的特征向量能夠較快地求出未知數的值．這類問題的難度并不大，其核心就是基礎知識的運用，因此重視基礎知識的學習，加強對其運用的訓練能夠極大地縮短高等數學解題的時間，提高學習效率．

（二）注重各知識點之間邏輯的學習，熟練融合運用

線性代數的知識點多且具有一定的復雜性，要想將線性代數的知識學好并將其運用到高等數學的解題中就需要有著較好的知識整合能力，將各知識點串聯組合成完備的知識體系，才能夠發掘各知識點之間的聯系．在這個過程中，學生能夠很好地提高知識梳理能力、知識綜合分析能力與理解能力．在線性代數中，有些知識點的學習不是單一的，而是必須融合以往學習的知識點才能理解掌握的，這就深刻體現了知識點之間聯系的緊密性和復雜性．學生要想將線性代數的方法運用到高等數學的解題中就需要對線性代數的知識進行整體的把握，在實際訓練中多加練習．解題方法的靈活處理是學習的關鍵，注重各知識點之間的邏輯學習，掌握各知識點之間的轉換規律，才能夠為解題提供更好的思路，同時為提升學生的學習效率打下堅實的基礎．

例如，運用線性代數中正交變換判斷二次曲面的類型這類問題中，如果采用高等數學的知識，也需要建立直角坐標來消除中間項進行確認．這樣的解題方法會增大題目的難度，同時讓學生不易理解，熟練掌握的難度較大．在進行這類問題的求解時運用正交變換能夠使夾角和長度保持不變，圖形也不會發生變化．根據方程式化簡的結果判斷圖形，具體步驟如下，將方程式改寫為函數的形式，求出其二次型矩陣進而得出特征值：寫出各特征值對應的單位特征向量，進行計算后就可以得出二次曲面方程的標準方程，這樣就能夠直觀地判斷二次曲面的類型了．綜上所述可以觀察到，這類問題的解答中運用了二次型理論以及正交變換，二者的聯合解題使得解法更為直觀易懂．因此注重各知識點之間的邏輯學習，熟悉融合運用，對于邏輯思維能力的提升有較大的幫助．

（三）注重教師的科學引導作用

鑒于線性代數知識的復雜性，學生的自主學習是遠遠不夠的，很多重難點的地方需要教師的點撥才能夠達到更好的學習效果．首先，教師需要做好備課工作，注重基礎知識的講解，在教學的過程中根據實際案例或者概念知識的背景來講解，加深學生對知識的印象，要求學生通過理解的方式對知識進行記憶，而不是死記硬背．其次，為了更高效地進行線性代數知識的講解，教師需要營造一個和諧的學習環境．在目前的大學教育中，學習環境有著極大的提升空間，學校的制度缺乏靈活性，不夠人性化，學習風氣以及學習氛圍比較浮躁．因此學校需要根據學校的實際情況，進行系統科學的分析，改善不良的風氣，但不能采用“一刀切”，要形成完善、科學的人性化學生管理機制，不斷完善學校的各種基礎設施等，讓學生能夠在更加舒適的環境中學習生活．除此之外，線性代數課堂趣味性的提升可以吸引學生的注意力，增強學生對學習的興趣．最后，教師需要對學生的學習情況進行整體的把握，在課堂內外積極給學生進行答疑，幫助學生解決線性代數學習過程中存在的疑問，鞏固線性代數知識的教學，引導學生更高效地學習線性代數，并將其運用到高等數學的解題之中．

（四）將線性代數融入日常生活

學習數學這門學科，不應該僅僅局限于對數學知識的學習．學習數學的目的是解決生活生產中的問題．如果僅僅局限于書本知識，沒有將線性代數運用到實際生活中，就難以激發學生的學習興趣，有悖于數學教學的初衷．所以相關教師應該革新教學方法，將枯燥的書本公式轉化為解決生活生產中難題的得力助手．例如，建筑工程中材料用量的計算需要線性代數，天氣預報也會運用線性代數進行建模分析，高等數學的諸多問題都與線性代數相互貫通，等等．這些實際生活中常見的事物都能夠用線性代數進行計算分析．如果教師教會學生應用線性代數解決實際問題的方法，一定能夠有效地激發學生的學習興趣，在鍛煉學生線性代數計算能力、理解基礎知識的同時，滿足當代多元化教學、素質育人的要求．

結語

高等數學的學習難度是較大的，保證線性代數方法在高等數學中的運用教學需要學生和教師兩方的共同努力．在學習的過程中，學生需要端正學習態度，注重線性代數知識框架的搭建．教師需要引導學生，幫助學生鞏固理解重難點知識的作用，提高學生對知識的綜合運用能力．