依托認知工具 促進深度學習*

孟凡英

“富有想象力”的教育是指教師充分利用認知工具在教學過程中有效激發學生的情感、想象力和智慧的教育理論與實踐體系[1]29。認知工具既是“富有想象力”教育的理論核心，又是實施這種教育理念的具體策略和方法。基蘭·伊根教授立足維果茨基的理論，把認知工具的研究引向了教育實踐領域，逐步發展成為一個有機的認知工具系統，并把認知工具發展成前后連貫的五個亞系統，即身體的認知、神話的認知、浪漫的認知、哲學的認知、批判的認知（見表1）。每一種認知方式中，又包含著若干相互聯系的具體認知方法[2]。

表1 認知工具的五個亞系統

這五種認知方式，不僅反映了人類語言能力的發展規律，也反映了人類認知世界方式的變化過程。基于這樣的理論視角，本文試著運用認知工具五個亞系統中的具體認知方法對兒童在數學學科教學中進行想象力的培養。

一、身體的認知——做中學習，加深數學理解

身體的認知是指在掌握語言之前的嬰幼兒時期，兒童通過自身的感知覺系統和情感反應機制與周圍環境相互作用，并獲得對世界的基本理解的認知方式[1]98。具身認知理論的倡導者認為，認知是身體的認知，心智是身體的心智，離開了身體，認知和心智根本就不存在。因此，認知深深地嵌入身體的感知覺系統之中，它們對理解力的支配作用大大超出了我們的想象。在教學中，教師應當充分讓學生動手做數學，在做中感知、理解、體會、想象，讓學生的想象力得以萌發生長。

例如教學蘇教版小學數學一年級上冊《圖形的認識》一課時，教師經過研究發現：在培養兒童空間思維時，不應該把“平面”和“立體”完全割裂開來，而是要以立體圖形為載體，通過充分探究生活中的立體實物，引導兒童想象，并從多角度去感知立體圖形上的平面圖形。掌握了這個規律，教師在教學時，讓學生充分地看一看、摸一摸、擺一擺、滾一滾、說一說，調動多種感官，多角度地感知長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形的特點。教學中教師讓學生把長方體、正方體、圓柱和球這4 個物體進行分類，學生在動手玩積木的過程中，有充足的時間觀察積木的形狀、觸摸積木、積累搭建積木的經驗，眼、手、腦并用，形成了豐富的感知。做中學活躍了課堂氣氛，啟發了學生的想象和思考，讓學生經歷了知識發生、發展、形成的過程，深化了他們對長方體、正方體、圓柱和球的認識和理解，以及數學思想方法的感悟，最終獲得數學素養的提升。

二、神話的認知——建立模型，學會數學遷移

神話認知，即神話思維、原始思維，是人類發展處于口語階段的思維。這是一種有別于邏輯思維的“我向”思維方式，是一種以移情、體驗和想象力為主要特征的象征性或隱喻性思維方式[1]99。表1 中神話的認知第4 點包含了建模。模型思想是指能夠有意識地用數學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現實世界中一類問題的思想。掌握模型思想就是把握現實世界中一類問題的本質與規律，用恰當的數學語言描述問題的本質與規律，用合適的數學符號表達問題的本質與規律，最后得到刻畫一類事物的數學模型[3]。數學建模可以拓展學生的思維空間、想象空間，改變“唯書唯上”、習題演練的現狀，為學生獲取新知提供組織架構，為將來更高層次的學習提供理解基礎，讓學生體會到數學學習的價值。

例如，整數乘法單元的教學是在學生已有知識經驗的基礎上，讓學生自主探索計算的方法，理解算理，掌握算法，建構模型，發展想象力。原來的教材體系將這個知識內容安排在三年級下冊和四年級下冊，如果按照教材編排按部就班地進行教學，學段的跨越、年級的轉換、碎片化的教學等因素就會割裂知識的內在結構，一方面增加了教學中的“重復勞動”，另一方面無法讓學生形成深刻的理解和自主遷移的能力，限制了學生的思維和想象力的發展。因此，教師在教學蘇教版三年級下冊《兩位數乘兩位數》和四年下冊《三位數乘兩位數》時，突破了單元和年級的界限，將兩位數乘兩位數（不進位）、兩位數乘兩位數（進位）和三位數乘兩位數這三節課關聯起來進行教學，引導學生發現：整數乘法計算都是先分再合，即先把第一個乘數看作一個整體，第二個乘數個位和十位分別和第一個乘數相乘，乘得的積再加起來。不論怎樣乘，最后都要回歸到一位數乘一位數。所以，兩、三位數乘兩位數甚至更多位數，計算方法是一致的，可以建立整數乘法筆算的模型（如圖1）進行計算。有了這樣的筆算模型，以后如果遇到三位數乘三位數、四位數乘三位數……，都可以按照這個計算模型進行計算。在這個過程中，學生體會到了數學建模的價值，同時，有能力去解決更多位數的整數乘法計算，并把建模能力遷移到其他知識的學習中去。

圖1 整數乘法筆算模型

三、浪漫的認知——突破極限，激發數學想象

浪漫的認知是指兒童借助于逐步熟練的讀寫能力而發展起來的把握世界的思維方式[1]102。表1 浪漫的認知中第2 點是現實的極限，在數學學習中體現為極限思想，即運用極限概念分析、研究問題的一種數學思想。在數學教學中適當地滲透極限思想可以發展學生的辯證思維，幫助學生認識相關數學問題的本質，對于學生的數學學習有深遠的意義[4]。極限思想留給學生更多想象的空間，可以很好地培養學生的數學想象力。

例如教學蘇教版小學數學五年級下冊《解決問題的策略》例2，如圖2。

圖2 分數計算數形結合圖

上面算式、下面圖形，數形結合。教師問：請你想象一下，如果就這樣一直分下去，你能想到什么？學生通過觀察算式，依托極限思想的力量，找出了算式中每一個數的變化規律，結合圖像無限平均分小正方形，越往下分下去，數變得越來越小，圖形也變得越來越小，體會到“無限”“逼近”“趨近于”等字眼所蘊含的意義，體悟極限思想中所蘊含的思維方法，并體會它在解決實際數學問題中的作用。借助數形結合的數學思想，學生的想象力得到極大的發揮。

四、哲學的認知——探根究底，培養學生的辯證思維

到了青少年時期，學習內容開始以科學知識為主體，這正是學生系統習得理論語言的時期。他們開始更加關注事物之間的聯系，開始發現原以為毫無聯系的細節和經驗，實際上是由各種規律和理論把它們聯系在一起的。在人生的這個階段，他們正在發展對世界的系統認知，即哲學認知[1]105。在課堂教學中，培養學生的思辯精神，其實就是讓學生能夠從整體上認識客觀世界，從不同的角度觀察、發現問題，從而用不同的方法解決問題。

例如教學蘇教版小學數學五年級上冊《怎樣圍長方形面積最大》，在解決了長方形周長一定的情況下，長和寬越接近面積越大，以及接近成正方形時面積最大這兩個問題后，教師繼續追問:12 根1 米長的木條，如果一面靠墻，怎樣圍長方形面積最大？ 通過畫示意圖，有些學生得出結論：一面靠墻，長是寬的2 倍時長方形的面積最大。可部分學生發現之前已經得出結論：周長相等，圍成正方形時面積最大。為什么會有矛盾的結論出現呢？經過激烈地討論，學生們一致認為，問題就出在這面墻身上，因為一面靠墻了，長方形就不是封閉圖形了，所以結論也就隨之發生了改變。教師提示學生抓住長是寬的2 倍這個關鍵信息再繼續往下思考，看圖發揮想象力。這時有學生說出了“鏡面原理”，其他學生豁然開朗：如果在墻的對面還有一個完全相同的長方形，墻這邊和墻那邊合起來就圍成了一個邊長是6 米的正方形，周長相等的情況下，正方形的面積最大，那它的一半也一定是最大的，所以在這里，長是寬的2 倍時，圖形面積最大。教師趁機引導學生感受：雖然題目的具體信息改變了，但是本質規律還是不變的，都是周長相等的情況下，圍成正方形的面積最大。殊途同歸，這就是數學中的變中有不變的辯證思想。在一次次的主動探究過程中，學生找到了知識間的相互聯系，建立了知識結構，走向了數學的深度學習。

五、批判的認知——質疑思辨，走向深度學習

批判的認知，也稱諷喻認知。從青年時期開始，人們意識到系統的哲學思維方式并非無所不能的，而是有限的。他們開始重新體悟那些理論，甚至重新看待那些客觀可靠的理論語言。他們越來越意識到，在語言能夠表達的可能意義和語言實際表達出來的意義之間存在一個巨大的鴻溝，在準確表達自己的意愿和深刻把握世界對象方面，他們所掌握的理論語言已經難以勝任。對理論語言局限性的認識使人們能更加理智靈活地看待語言在理論思維中的使用，以達到反諷和解放的效果。因此，基蘭·伊根將這一階段稱為“喻諷階段”[1]106。表1 批判的認知中第4 點是基本知識懷疑，在數學教學中可以體現為批判性思維的培養。批判性思維是以一種合理的、反思的、心靈開放的方式進行思考，從而能夠清晰、準確地表達、邏輯嚴謹地推理、合理地論證，以及培養思辨精神。在數學教學中，教師應當根據情況與需要在不同的方面與環節之間做出靈活的轉換，甚至創設讓學生懷疑的機會，“逼”著學生突破思維定勢，走向深度學習。

例如教學蘇教版小學數學五年級下冊《3 的倍數的特征》，學生通過自主探索、小組合作、交流匯報，總結出3 的倍數的特征：各位上數的和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數。教材中提出一個問題：如果一個數不是3 的倍數，這個數各位上數的和會是3 的倍數嗎？找幾個這樣的數算一算。學生找了很多不同的數進行驗證，沒有找出一個能打破這個規律的數，所以最后一致得出結論：如果一個數不是3 的倍數，這個數各位上數的和也不是3 的倍數。教師繼續追問：對于3 的倍數的特征大家還有疑問嗎？經過這一問，班里的“小小數學家們”開始思考，小手舉了起來：老師，我們都是一個一個數列舉出來的，可是我們沒有列舉完，可能后面就有一個數，就能打破這個結論呢？這個學生的假設點燃了全班同學思考的熱情，教師鼓勵學生像數學家解決問題一樣：發現問題、提出問題、實驗驗證、得出結論。結果學生居然真把問題解決了。他們得出結論：假設一個數為ab，ab=10a+b=9a+a+b,從這個算式中可以推出：9a一定是3 的倍數，所以只要a+b 的和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數。

尊重學生、理解學生，給學生創造可以質疑思辯的場域，學生就會用批判的眼光去發現問題、提出問題，從而創造性的解決問題。在這樣的學習過程中學生不再是被動地接受，而是主動地探究，學習的過程也不斷地從淺表學習進入深度學習。在生動活潑、自主開放的學習環境中，教師循著學生的思維軌跡，參與學生思維的發生、發展與表達，最終引領學生提升思維品質，走向深度學習。