幼者為本：兒童數學學習路徑探微*

田紅梅

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養[1]2。核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的，它需要在每一節數學課上落地、生根。然而，在當下一些課堂上，只見“知識”，不見“兒童”，學習路徑模糊的現象依然存在，表現在：一是對知識本位的執著。知識目標因其“可考”仍是教學目標的主體，而“經歷、體驗、探索”的學習過程未得到充分重視。二是對兒童差異的忽視。兒童的認知發展水平和已有知識經驗都存在差異，兒童間的認知特點和思維過程也有所不同。而現實課堂中，一些學生的認知起點被教師忽視了。三是對兒童學習“觀光化”的漠視。數學學習應伴隨著數學的觀察、思考與表達，而當學習過程變成了簡單的量的累加，忽視對兒童的思維進階及真實情感的關注，兒童的學習就變成了“觀光”。

分析以上現象背后的原因，不難看出：在教學觀層面，對教學目標的定位和達成路徑缺乏深入的思考；在學習觀層面，對兒童思維路徑的差別和兒童的數學現實缺乏智慧的融合；在兒童觀層面，對數學學習的主體——兒童的身心發展缺乏觀照?；谝陨戏治觯覀儜斕綄せ趦和膶W習路徑，充分考慮兒童的“基質”，研究并構建完整、具體的操作體系，彰顯數學教育的育人價值。

學習路徑（learning path）是對學生在某個特定教學領域的思維、學習的過程性描述，通過一系列相關聯的學習任務，促進學生心理和思維水平的發展[2]。基于“幼者為本”的學習路徑探索，讓學習價值由工具性轉向發展性，幫助兒童在知識領域完成從個人建構到社會建構的過渡；同時幫助教師基于兒童學習的路徑，找到相應的教學路徑，從而有效地組織實施教學[3]39。筆者擬以二年級《雞兔同籠》一課為例，從確定學習目標、分析路徑要素、設計并實施學習任務三個方面進行闡述，旨在探析兒童在數學學習領域的可能學習路徑。

一、以終為始，確定學習目標

以終為始，是從學習目標開始的逆向思考。美國學者威金斯和麥克泰格的逆向設計理論提出，應以清晰的學習目標為起點，倒推設計的過程，聚焦期望的學習結果，以終為始，評價先行，達成目標。因此，學習目標是教學設計的邏輯起點和歸宿，是學習評價與路徑設計的依據，它決定我們要通過這節課的學習把學生帶往何處。學習目標的確定和具體化可以幫助教師專注于最有可能實現這些目標的內容、方法和活動，同時在學習過程中隨時關注學習證據，對目標達成情況進行診斷并及時調整，形成“目標—路徑—實施”的螺旋上升態勢，不斷促進學習目標的達成。

新課標明確指出，教學目標的確定要充分考慮核心素養在數學教學中的達成，注重建立具體內容與核心素養主要表現的關聯[1]84。立足新課標要求和二年級學生的思維發展水平，本節課把學習目標定位在以下層面：在問題解決層面，通過嘗試、比較、調整找到解決“雞兔同籠”問題的辦法。在數學思考層面，以“雞兔同籠”的問題為載體，讓學生獲得基于直觀想象的“嘗試”的意識和體驗；基于多種方法的比較，發現“嘗試—調整—檢驗”學習路徑的一致性，從而積累數學活動經驗和思考經驗；從數學走向生活，在真實情境中感受認知遷移的價值，在潛移默化中實現思維的進階。

二、立足目標，分析路徑要素

北京師范大學教育學部張春莉教授認為，學生已有的知識經驗、思維過程和對知識的表征方式，構成了對學生學習路徑分析的三個方面[3]40。對學生已有知識經驗的分析和研究是一切教學活動的基礎，對學生思維過程的分析有助于教師安排合適的思維進階路徑，而學生的表征方式往往反映出學生問題理解中思維層次的不同水平。下面從這三個方面進行學習路徑分析。

（一）找準起點——從已有知識經驗出發

美國著名教育心理學家奧蘇貝爾指出：“如果我不得不把教育心理學的所有內容簡約成一條原理的話，我會說：影響學生學習最重要的因素是學生已知的內容。弄懂了這一點以后，進行相應的教學?！盵3]40由此可見，兒童已有的知識經驗是兒童一切學習活動的起點和基礎。研究學習路徑可以幫助教師知道學生學習處于怎樣的起點，分析學生的認知局限性，利用認知沖突更好地設計教學路徑。對于二年級學生而言，“雞兔同籠”是一個跳出其原有認知結構的問題，條件和問題之間看似沒有直接的聯系，屬于結構不良的一類。通過前測，我們發現不少學生能用畫圖的方法湊出腿的條數解決這個問題。有些學生已經在課外輔導機構學過這個問題，能通過列式得出正確的結果，但對于算式中的每一部分所表示的含義理解不夠，解釋不清楚。不少學生認為算式“6÷2”中的“2”表示的是雞的兩條腿。

前測表明，兒童在這個問題面前不是一張白紙，過往的學習經驗、知識經驗使他們能夠借助直觀或生搬硬套解決問題。但必須承認的是，兒童的思考是偏向無序的，基于記憶而不是基于理解的算式方法，和“幼者為本”的學習目標背道而馳。也應看到的是，雖然兒童的起點不同，有的離目標遠一點，有的離目標近一點，但都是兒童通向真正理解的自然階梯。

（二）直觀表征——以適切的支架助力

“幼者為本”的學習觀照兒童的數學現實和思維基質。根據皮亞杰認知發展理論，這一年齡段兒童的思維處于具體運算階段，兒童在這一階段的思維一般還不能離開具體事物的支持。因此，借助適切的支架讓兒童充分地活動，對于他們對數學的理解具有重要的意義。有學者認為，向兒童提供支架旨在以外顯化方式或窄化選擇的形式降低其所面臨任務的復雜性，使學習任務的難度控制在最近發展區內，使問題解決更具有可處理性[4]。在充分考慮二年級學生的認知規律和認知特點后，筆者在教學時選擇了另一傳統經典——“算盤”作為支架。五珠算盤構造獨特，一顆上珠代表一個頭，四顆下珠代表四條腿，剛好契合了兩種小動物的頭和腿這兩個數學元素。如此表征對二年級學生而言，直觀形象且簡單生動。學生在算盤上動手撥一撥、比一比、添一添、減一減，直觀地看到雞、兔腿數的變化，既像是實驗，又帶著“玩”的味道，在不知不覺中“玩”出模型的構造，感知“雞兔同籠”問題背后所蘊藏的假設的思想方法。

（三）思維進階——以序列化活動支撐

“幼者為本”的學習路徑應尊重兒童數學思維的發展規律，以序列化活動支撐知識建構，把握兒童思維發展的軌跡。思維進階是學習路徑的核心要素，也是提高學生核心素養的重要內容。它是針對思維水平層次而言，低階思維是向高階思維發展的基礎與前提。那么，為了有效推動學生獲得高階思維能力，就要關注兒童思維發展的層次性和差異性，讓其在已有的低階思維基礎上展開具有創造性的序列化學習。從利用雞和兔的算盤表征直觀發現規律；到通過嘗試撥珠解決數據簡單的雞兔同籠問題，感受方法的多樣性和學習路徑的普適性；再到模型遷移，建構起一類問題的思考模式……序列化學習活動的設計，引導學生在主動探究中逐層遞進，以整體的、聯系的、發展的眼光看待知識的探究過程，淺入深出，由“知識的學習”深入到“數學地思維”，在長時間的思考中實現思維的自覺和進階。

三、以行為知，設計并實施學習任務

“幼者為本”的學習路徑是學生學習達到既定目標的軌跡，也是學生學和教師教融為一體的師生相互作用的活動。以行為知，教師基于學習目標和兒童基質實施一系列學習任務，在實踐中研究，在研究中思考，在思考中完善，師生共同參與，彼此在場，“知之”且“行之”。任務的實施過程從不同視角觀察，所見到的學習路徑不是單一的，而是交疊有序、螺旋上升的，是遵循兒童的理解規律自然發展的進程。

（一）微觀視角：基于問題解決初識路徑，讓建構有序

學生的學習路徑應當是多元的。只要從適合學生的學習起點出發，能真正促進學生的理解，就可以認為是合理的學習路徑。微觀路徑是學生個體基于具體問題的操作方法，是學生解決問題的原始路徑，可能透著質樸，卻是建構兒童學習路徑的實踐基礎?！坝渍邽楸尽钡膶W習路徑首先是個人建構的過程，學生只有完成了自身知識的建構，才能在集體交流中提供建議和素材，而不是被動聽取別人的意見，從而在溝通完善中實現從個人建構到社會建構的過渡。

借助算盤表征，二年級的學生會如何解決“雞兔同籠”問題呢？“頭有5 個，腿有14 條，雞兔各幾只？”兒童的真實思考路徑可能是這樣的：5 只小動物，就在算盤上撥5 顆上珠代表5 個頭；14 條腿如何撥？不確定。如果撥成全是雞，則共有10 條腿，發現比14 條少了4 條，需要再添4 條，把一些雞換成兔。如果撥成全是兔，則共有20 條腿，比14 條多了6 條，需要將一些兔各去掉2 條腿，直到剩下14 條腿。還有學生可能先撥1 只兔，4 只雞，算一算腿有12 條，少了2 條，只要給其中1 只雞加上2 條腿即可。……

以上方法是學生借助算盤獨立解決問題時可能想到的各種思路，真實有趣。每一種方法都是學生經過獨立思考后獲得的個體解決問題的路徑，然而卻只停留于“術”的層面，不能通過深度思考、交流碰撞形成解決一類問題的“道”，因此認知建構依然是不完整的。但同時需要明確的是，微觀路徑是提煉中觀路徑的基礎，只有從兒童真實的思考出發，進一步的認知完善和觀念形成才成為可能，才能從“只見樹木”走向“見樹木還見森林”。

（二）中觀視角：基于數學實驗提煉路徑，讓經歷增值

數學實驗是兒童為了解決數學問題，對實驗素材進行“數學化”操作的一種具身認知活動。中觀路徑是基于數學實驗顯現兒童的數學思考，由表至里、由此及彼，從解決一個問題到形成一種觀念的學習路徑。凸顯“幼者為本”的數學實驗，除了基于實驗目標優化實驗設計，經歷實驗過程，溝通方法結論，更應讓兒童在探究過程中主動提煉出“嘗試—調整—檢驗”的中觀路徑，構成認知閉環。

1.嘗試——體驗層級思考的并行互補

嘗試是兒童感知、認識世界的第一步，是“幼者為本”的真實彰顯。葉圣陶先生認為，最好的學習方法唯有讓學生自己去嘗試。嘗試是一種理念，也是一種精神，蘊含著博大精深的教育價值和深刻的哲理。數學學習中，嘗試亦是知識建構的前提和基礎，是學生個體思維的主動發展。面對同一個問題，學生有著不同的認知，思維層次有高有低，有的按部就班，有的則能發現知識間的聯系和巧妙的方法。不同的思維層次在知識建構過程中所起到的作用是不同的。在個體獨立探究的基礎上，如果為他們提供交流的機會，就能夠使之互相補充，更好地融會貫通。

教學時，在感受算盤表征、打通知識和工具之間聯系的基礎上，筆者讓學生在算盤上撥出3只小動物，這是一個開放性的嘗試，有4 種撥法。學生通過比較發現撥法多樣化背后的規律——把1 只雞換成1 只兔，就會多2 條腿。接下來，以問題“頭有5 個，腿有14 條，雞兔各幾只？”為載體，讓學生在算盤上撥一撥嘗試解決。有了前面撥3 只小動物的操作經驗，這一次撥，學生想出了許多不同的方法，比如先任意撥5 只小動物，再根據腿的條數進行調整；或者把小動物全部想成雞或兔；或者先把腿的條數湊齊14 條……

誠然，在成人看來“嘗試”的方法是有優劣的，但在每個孩子那里，他所采用的方法是基于他自身認知水平所能想得到、用得著的好方法。所以，在“幼者為本”的教學中，我們讓每一種方法平行出現，基于直觀操作下的師生對話、生生對話，使每一個學生都能從別人的學習路徑中得到啟發，不斷拓寬自身的思維空間，在促進全班社會建構的同時，也完善了自身知識的建構。

2.調整——驅動思考路徑的建構

兒童的學習活動實質是一種嘗試錯誤、解決認知沖突的知識建構的過程。既然是嘗試，那就可能有對有錯，接下來就要調整。調整是學習過程中遇到困難時的自然反應。但是，為什么要調整、怎么調整、每一次調整的依據是什么，這樣一些思考在學生的頭腦中一定是真實發生的。而教師要做的，是通過關鍵問題的引領與激發，讓這些思考有層次地顯性化，建立起學習路徑與教學路徑之間的聯系，幫助學生更好地完成思考路徑的建構。

在嘗試環節，有學生把5 只小動物全部想成雞，發現少了4 條腿，需要調整。隨之而來的思考是：為什么會少了4 條腿？為什么要“2 條2 條地添”，這個“2 條”是什么意思？又有學生把5 只小動物全部想成兔，發現多了6 條腿，調整時除了知道要“2 條2 條地減”，思考的層級提升了：能不能一下子就知道要把幾只兔換成雞？能不能用一道算式表示出你的調整過程？6÷2=3，這里的2 指的是什么？反觀整個調整過程，一方面，這些問題的提出聚焦每一次調整背后的道理，讓學生關注到調整的關鍵——“雞和兔相差的2 條腿”，知其然而又知其所以然。另一方面，不同的調整過程和依據，其中包含的思維層次是不同的。從“2 條2 條地撥”到“一下子想到怎么換，并用一道算式表示”，呈現出的是由直觀形象到直觀想象的層級遞進，以“幼者為本”的層級思考促進不同思維層次的兒童在學習中完成相應的認知建構。

3.檢驗——催生思維品質的凝練

檢驗是對已解決問題的正確性的判斷，是數學學習中最容易被忽視而又非常重要的一個環節。兒童在問題得以解決后的第一反應往往是放松，這會使他忘記“回頭看”，缺失對結果的辨析。因此，問題解決后要鼓勵學生從不同角度判斷解答的正確性，發現思維過程中可能的誤區，發展學生的自我糾錯能力。所以經過調整、解決問題后，教師引導學生主動檢驗：對照條件，看看是不是5 個頭，是不是14 條腿，兩個條件是否同時滿足。盡管多數學生都能找到正確的答案，但仍有些學生思考時會顧“頭”不顧“腿”，或者顧“腿”不顧“頭”，兩個條件沒能同時滿足。而借助檢驗，這部分學生也能發現問題之所在，通過繼續調整與再檢驗，最終找到正確的答案。教學中，應把“嘗試—調整—檢驗”作為一個連貫的整體呈現，體現學習路徑的完整性?！坝渍邽楸尽币寖和趯W會學習的過程中，形成好的學習習慣和意識，促進嚴謹的思維品質的形成。

（三）宏觀視角：基于數學模型感悟路徑，讓思考結構化

新課標指出，數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑[1]10。現實生活中有大量與數學有關的問題，對于這些問題，“幼者為本”的學習路徑應給予兒童更多的建構時空，基于問題解決的過程“建模”，基于生活問題的遷移“用模”，基于新思考的延伸“釋?！?，從宏觀上整體建構起兒童數學學習的一般路徑。

1.從方法之“術”到路徑之“道”，基于“幼者為本”建構模型

老子曰：有道無術，術尚可求；有術無道，止于術。在數學學習中，“術”即解決問題本身，從微觀層面獲得了一種解題的方法或技巧，而“道”則指向具有普適性和一般性的學習路徑，從宏觀層面建構模型，凸顯數學學習的本質?！坝渍邽楸尽钡膶W習不止關注作為“術”的方法，更期待兒童在學習過程中能主動明晰一種探究知識、建構模型的路徑，實現思維的發展。

課中，教師讓學生借助算盤嘗試主動探究，在“交流—觀察—發現”中產生智慧碰撞，在“調整—檢驗—再調整—再檢驗”中反復思考，在“殊途同歸”面前感受路徑意義……此時，哪種方法最優已經不那么重要，重要的是兒童在經歷操作、交流、觀察、比較等活動過程中獲得了解決問題的愉快體驗，實現了一種思考模型的建構，發現“嘗試—調整—檢驗”學習路徑的普適性和一般性。這個經驗是超越特定知識的，它比找到正確的答案更有價值，它是兒童未來學習中能夠被遷移的學習路徑。

2.從數學問題到生活問題，基于“幼者為本”理解遷移

模型是兒童體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，能促進知識經驗的遷移和具體情境下的理解應用，提升解決問題的能力。從純數學問題到生活情境中的問題，正是基于“幼者為本”，充分考慮了兒童的認知特點，讓其在不同的情境中體會“相同”的問題結構和分析思路，建立“同類”問題的知識框架，在主動“用模”的過程中體會數學知識之間、數學與生活之間的聯系，形成牢固的思維模型。

解決了“雞兔同籠”問題后，教師提出：“生活中會把雞和兔關在一個籠子里嗎？”“那我們為什么還要研究‘雞兔同籠’問題？”這兩個問題一下子將學生的視野拓寬。通過教師引導，學生想到了很多熟悉的生活場景，如停車場里的各種車，湖面上的雙人船和四人船，商店里的2 元和4 元雪糕等，初步感受到數學不僅好玩，還很有用。接著思考“6 輛車和20 個輪子”分別相當于雞和兔的什么，在具體事件中形成相關信息的勾連，幫助學生理解不同情境的問題中都有著相同的內核，進一步豐富相關的數學活動經驗和數學思考經驗，在真實情境中感受模型遷移的價值，實現思維水平的提升。

3.從問題解決到思考延伸，基于“幼者為本”主動生發

“幼者為本”的思考始終指向數學問題的延展性和可能性，讓兒童不斷站在新的思考起點，主動生發探尋的內驅力。把古算題引入課堂，不只是帶給學生一些有趣的人物和故事，更重要的是這些故事背后的數學問題、數學思想、數學方法和精神。這些能讓學生在經典問題的探索中受到文化感染并產生共鳴，體會傳統數學文化的魅力，生發出更多的思考。在探究接近尾聲時，教師讓學生猜一猜：“這些雞和兔在這個籠子里住了多少年？”引出1500 多年前的經典古算題，幫助學生從數學史的角度，找到這個問題的本源。此時，新的問題又出現了：古算題中，雞兔共有35 個頭，算盤長度顯然不夠，撥不下了，該怎么辦？并進一步提出，如果把“雞和兔”換成“烏龜和螃蟹”，每一檔的算珠也不夠了，又該怎么辦？古人又是如何解決這個問題的呢？……啟發學生的思考繼續延伸。故而問題解決又成了新的思考的起點。

兒童的學習路徑不是唯一的。從一個主題出發，構建兒童學習的一般路徑，是主題學習的需要，更是兒童學習的需要。如果我們打開視野，會發現有更多的路徑，如問題引領下的探索性學習、自學基礎上的分享式學習、基于主題研究的實踐性學習等。更多的課堂形態和學習路徑需要在實踐中進一步探究、凝練，從而真正實現“為素養而教，用學科育人”。