核心素養(yǎng)視域下的“余弦定理”教學(xué)思考

江蘇省丹陽市第五中學(xué) (212300) 李 萍 王圣光 陳 文

1.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.更一般地還包括學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新意識(shí)等；從學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的角度看，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思的綜合運(yùn)用能力上.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)……”基于此，我們一線的數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，在核心素養(yǎng)的統(tǒng)領(lǐng)下幫助學(xué)生形成必備的品格和關(guān)鍵的能力.

2.以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 對(duì)教材的理解與學(xué)情分析

本節(jié)課選自普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)蘇教教版必修2第11章《解三角形》第一節(jié)《余弦定理》．余弦定理是初中所學(xué)勾股定理的推廣與延伸，定量地揭示了三角形的部分邊角關(guān)系，也是本章中兩個(gè)重要的定理之一.本章主要包括余弦定理和正弦定理，這兩個(gè)定理比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題，利用這兩個(gè)定理學(xué)生可以求解任意三角形的邊角關(guān)系，而不必局限于特殊三角形中(直角三角形、等腰三角形).這兩個(gè)定理既有獨(dú)立性，又相互交融，相得益彰，形成一個(gè)有機(jī)整體，聯(lián)袂揭示三角形邊角的等量關(guān)系，共同構(gòu)成解三角形的重要工具.例如，從證明思路上看，兩者都可以從幾何法、向量法、解析法等角度來推導(dǎo)，并且推導(dǎo)過程相似度很高，從應(yīng)用的角度看，在解三角形時(shí)，選用哪個(gè)定理并不是絕對(duì)的，有時(shí)兩個(gè)定理都可以用.

2.2 問題情境

心理學(xué)認(rèn)為教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)以及學(xué)生的認(rèn)知水平和心理特征靈活地創(chuàng)設(shè)問題情境，一方面能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中，真正成為學(xué)習(xí)的主人，另一方面可以快捷、準(zhǔn)確地感知、理解和運(yùn)用教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于提高課堂效率、提升學(xué)生的實(shí)踐能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和核心素養(yǎng)，有著非常積極的意義.筆者在本節(jié)課的問題情境教學(xué)中設(shè)置了下面兩個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：

問題1 在ΔABC中，它的三條邊a,b,c與三個(gè)角A，B，C之間有哪些關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：

1.維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論指出：教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有一定難度的問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到其下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了三角形的六個(gè)元素(三條邊與三個(gè)角)之間的關(guān)系，通過這個(gè)問題一方面引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的三角形的邊角關(guān)系，發(fā)揮學(xué)生的潛能，由最近發(fā)展區(qū)向下一發(fā)展區(qū)發(fā)展，另一方面教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系大多屬于定性分析，為進(jìn)一步研究三角形帶來不便，因此，任意三角形中邊角之間有哪些等量關(guān)系有待于我們研究.

2.本節(jié)課是本章的章首課有必要向?qū)W生介紹本章要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容，利用本章知識(shí)可以解決哪些方面的問題等，使學(xué)生對(duì)本章有整體的了解，明確學(xué)習(xí)的方向.

3.直接從數(shù)學(xué)問題出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

環(huán)節(jié)二：

圖1

問題2你可以從這個(gè)實(shí)際問題中抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？

追問：你可以把這個(gè)數(shù)學(xué)問題一般化嗎？

設(shè)計(jì)意圖：

1.引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

2.通過實(shí)際問題情境，學(xué)生進(jìn)一步感受研究任意三角形邊角之間的等量關(guān)系的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

3.數(shù)學(xué)是在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中產(chǎn)生和發(fā)展的，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在學(xué)習(xí)過程、應(yīng)用過程和創(chuàng)新過程中逐步形成和發(fā)展的.通過引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

4.通過“追問”引導(dǎo)學(xué)生思考如何把問題一般化，進(jìn)一步提升學(xué)生從特殊到一般的思維能力和概括能力.

2.3 余弦定理的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)

問題3在ΔABC中，已知邊a，邊b，角C的大小，這樣的三角形唯一確定嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：

1.引導(dǎo)學(xué)生思考并能夠利用三角形全等的知識(shí)判斷出此三角形是唯一確定的，從而知道第三邊c的長度可求，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

問題4邊c隨著邊a，邊b，角C大小的變化產(chǎn)生怎樣的變化？

師生活動(dòng)：

師生共同分析問題，確立研究方案：學(xué)生先分組實(shí)驗(yàn)(把手中的筆看作三角形的邊)，教師再利用幾何畫板驗(yàn)證總結(jié).學(xué)生分組情況如下：

第一組：邊a與邊b的大小不變，通過改變角C的大小，觀察邊c的大小變化情況；

第二組：邊a與角C的大小不變，通過改變邊b的大小，觀察邊c的大小變化情況；

第三組：角C與邊b的大小不變，通過改變邊a的大小，觀察邊c的大小變化情況.

設(shè)計(jì)意圖：

1.通過實(shí)驗(yàn)學(xué)生直觀感受邊c隨著邊a，邊b，角C大小的變化情況，體驗(yàn)感更強(qiáng)烈.

2.通過實(shí)驗(yàn)學(xué)生更容易領(lǐng)悟到含有多個(gè)變量問題采用“分而治之，各個(gè)擊破”的方法研究的優(yōu)勢(shì).

設(shè)計(jì)意圖：

通過對(duì)問題逐步分析，一點(diǎn)一點(diǎn)地為學(xué)生鋪路搭橋，使學(xué)生的思維向新知識(shí)或問題的目標(biāo)靠攏，引導(dǎo)學(xué)生將未知問題轉(zhuǎn)化為已知，自然而然的引出證明方法，順利實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的有效建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考以及小組合作交流的能力，同時(shí)也提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

圖2

(2)如圖3，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，作BD⊥AC，交AC的延長線于D.

圖3

(3)當(dāng)∠C為直角時(shí)，c2=a2+b2-2abcosC顯然成立.

綜上，c2=a2+b2-2abcosC.

距離是度量問題的核心，我們不能滿足于推導(dǎo)出余弦定理，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考除了上面的方法外還可以用什么方法求邊c的長度.向量法是高中階段求長度的常用方法之一，如何引導(dǎo)學(xué)生想到利用向量來證明呢？筆者認(rèn)為教師可以從下面兩個(gè)角度引導(dǎo)：一方面教師在總結(jié)思路1時(shí)可以有意的引導(dǎo)學(xué)生在向量正投影方面多加思考，為利用向量法推導(dǎo)余弦定理做好鋪墊，另一方面可以從已知條件中兩邊及夾角這一角度引導(dǎo)學(xué)生思考.

思路3：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(bcosC,bsinC)，B(a,0)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得AB=

上面分別從解三角形、向量法、解析法三個(gè)不同的角度推導(dǎo)余弦定理，這三種方法也是高中階段求解距離問題的常用方法.從不同的角度，不同的思路引導(dǎo)學(xué)生思考問題，把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)蘊(yùn)含在解題過程和學(xué)習(xí)過程，蘊(yùn)含在每一節(jié)課中，學(xué)生自然而然的就會(huì)養(yǎng)成從多角度，多層次，多方法分析問題的習(xí)慣，從而擴(kuò)充思維領(lǐng)域，提高思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.基于核心素養(yǎng)的教學(xué)思考

(1)在教學(xué)中尋找核心素養(yǎng)與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián).高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何將知識(shí)技能的掌握與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成有機(jī)結(jié)合，是我們高中數(shù)學(xué)教師所要思考的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，蘊(yùn)含在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂中.每一節(jié)數(shù)學(xué)課的內(nèi)容都是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，教師要樹立數(shù)學(xué)的整體觀，站在整體的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的高度來設(shè)計(jì)每一節(jié)課.同時(shí)還應(yīng)閱讀與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)背景，結(jié)合教學(xué)實(shí)際思考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，在教學(xué)中尋找核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn)與生長點(diǎn)，如通過問題2啟發(fā)學(xué)生思考，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，另一方面還可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題的素養(yǎng).

(2)在教學(xué)中改變教師的教學(xué)方式.在課堂上學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要通過改變教學(xué)方式來落實(shí)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)提問、主動(dòng)思考、主動(dòng)探究、主動(dòng)反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣.本節(jié)課采用“教師問題引領(lǐng)，學(xué)生自主建構(gòu)”的課堂模式，在教師問題串的引領(lǐng)下，讓學(xué)生自主地感受問題、發(fā)現(xiàn)問題、探究問題，為學(xué)生提供自由表達(dá)、探究、討論的機(jī)會(huì)，學(xué)生通過個(gè)人研究、小組討論等多種活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.如在教學(xué)中筆者并沒有直接告訴學(xué)生利用向量推導(dǎo)余弦定理，而是通過一步一步地啟發(fā)引導(dǎo)、辨別反問，讓方法從學(xué)生心中生長出來.