兩個不等式的簡證

山東省鄒平雙語學校 (256200) 姜坤崇

山東省鄒平市臨池鎮古城小學 (256220) 孟凡慎

文[1]以鮮明的觀點闡述了化分式不等式為整式不等式是證明分式不等式的一條重要途徑，并舉出了若干例子加以說明.同時，文中絕大部分例子證明得都很簡潔，但其中的兩例用化為整式不等式的方法來處理給人以繁冗之感，本文給出這兩例的幾個簡證.

例1 (文[1]例7)已知a,b,c>0,abc=1,求證：

評注：以上簡證使用的方法是配湊項(也稱添加項)法，它是證明分式不等式的一種常用技巧.

將不等式(*)化為整式不等式得x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2≥6xyz?x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2≥0,由于以上最后一個不等式顯然成立，所以所證不等式成立.

評注：以上簡證將所證不等式轉化為不等式(*)來證明，使用的方法技巧是齊次化和等價反向轉化，這兩種方法也是證明不等式的常用方法.