一道“導(dǎo)數(shù)雙變量問題”多角度解法探究*

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 卓曉萍

福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 (350025) 蔡海濤

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題是高考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)問題，它常以壓軸題的形式出現(xiàn).由于題目中涉及變量較多,學(xué)生往往不知所措,無從下手.本文以一道泉州市2021屆高三質(zhì)檢題為例，多角度分析解法，旨在探析此類問題的一般求解策略.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=alnx+x+a，g(x)=xex.若f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，求a的取值范圍，并證明x1·x2>1.

二、解法賞析

綜合①②得，若f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為(-∞,-1).

三、解題反思

雙變量問題主要解題策略是利用已知條件把多變量不等式f(x1,x2)>0轉(zhuǎn)化為單變量不等式g(x)>0，轉(zhuǎn)化的方式有如下策略.

1.策略一：”二消一”.

(1)尋找關(guān)系，直接消元：利用已知條件尋找x1,x2滿足的等量關(guān)系，代入不等式f(x1,x2)>0，實(shí)現(xiàn)消元，把問題轉(zhuǎn)化為g(x1)>0或者h(yuǎn)(x2)>0，即單變量不等式.

(2)主動(dòng)設(shè)元，間接消元：利用已知中x1,x2的等量關(guān)系不易直接消元，也不能用①的操作流程，引入第三元t，使得不等式f(x1,x2)>0中的x1,x2都可以轉(zhuǎn)化為t，即x1=f(t),x2=g(t)，從而把問題轉(zhuǎn)化為單變量不等式h(t)>0.

3.策略三：“二分一”.

(1)結(jié)構(gòu)一致，構(gòu)造函數(shù)：把不等式f(x1,x2)>0中的x1,x2分到不等式的兩邊，發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)一致，即f(x1,x2)>0?g(x1)>g(x2)，從而把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性問題.

四、跟蹤訓(xùn)練

解析：(1)a=3或-1(過程略)；(2)類似上述解法；請(qǐng)讀者自證.

解析：(1)略；(2)①a的取值范圍是(e2,+∞).②證明略.請(qǐng)讀者自證.