高考試題中運算求解關鍵能力的考查分析
——以2019-2021年高考全國卷中解析幾何試題為例

●原坤，吳智敏，謝發超，周先華

一、問題提出

2020年1月，教育部考試中心發布的以“一核四層四翼”為基本內涵的《中國高考評價體系》，成為核心素養價值導向下高考命題改革的根本遵循。根據高考評價體系對關鍵能力的創新認識， 數學學科的關鍵能力可以分解為知識獲取能力群、實踐操作能力群和思維認知能力群三個層次[1]。值得注意的是，《普通高中數學課程標準 （2017年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）提出的能力要求也較為明顯地體現了這種能力群的學科化要求。根據高考評價體系的整體框架，結合《數學課程標準》提出的學科核心素養，高考數學學科提出5 項關鍵能力：邏輯推理能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力[2]。其中運算求解能力是五大關鍵能力之一，它幾乎貫串于其他四大關鍵能力之中，是高考中考查比例最大的一種關鍵能力。章士藻教授認為：“作為數學能力之一的運算求解能力對培養其他的數學能力起到了基礎作用，如果不以運算能力為基礎培養學生的數學能力，那將不利于高中學生的數學學習。”[3]本文選擇2019—2021年高考全國卷中的解析幾何試題為對象，分析運算求解能力的考查特征，提出運算求解能力提升的些許建議，供廣大數學教育工作者參考。

二、分析框架的取向

（一）運算求解能力的內涵

《數學課程標準》指出：“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求解運算結果等。數學運算是解決數學問題的基本手段；是演繹推理；是計算機解決問題的基礎。”[4]《高考評價體系解讀》指出：“運算求解能力就是會根據概念、法則、公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；根據要求對數據進行估計和近似計算。”運算求解能力是數學運算素養的外顯，便于設置試題考查，而數學運算素養是運算求解能力的內隱，不便于設置試題考查[5]。

（二）運算求解能力的水平劃分

《數學課程標準》中要求的數學學業質量水平其實指的是六個數學核心素養的綜合表現，每一個數學核心素養被劃分為三個水平，而每一個水平都是通過情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思這四個維度進行表述的（如表1）。

表1 數學課程標準中運算素養表現的水平劃分表

情境與問題這一維度中的情境主要是指現實情境、數學情境、科學情境，問題指在具體的情境中提出的具體的數學問題； 知識和技能這一維度主要指能夠幫助學生形成相應數學學科核心素養的知識與技能； 思維與表達這一維度主要是指在數學活動過程中所反映出來的學生的思維品質、表述的嚴謹性和準確性； 交流與反思這一維度主要是指能夠用數學語言直觀地解釋和交流數學概念、結論、應用和思想方法，并能進行評價、總結與拓展。

（三）分析對象的選擇

將2019—2021年教育部考試中心命制的16 套數學試卷，包括文理科全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，及全國甲卷、乙卷納入分析對象。統計過程中，以題號為單位，若一道試題包含若干小題，按問題數計數。

三、運算求解能力的考查特征

（一）考查內容的題號分布及特點

對2019-2021年高考全國I、II、III 卷文、理科數學試卷中的解析幾何試題進行整理、分類和分析，整理結果如表2、表3、表4 所示。

表2 2019年解析幾何試題的題號分布情況表

表3 2020年解析幾何試題的題號分布情況表

表4 2021年解析幾何試題的題號分布情況表

從表2 至表4 可以看出，解析幾何的知識內容基本上是以兩道客觀題（10 分）加上一道解答題（12分）的固定模式進行考查，只有2020年全國I 理科和全國III 文科在客觀題上有所增加。客觀題題目所處的位置變動幅度比較大，不穩定，考查基礎性的試題有15 道，占比42．86%，考查綜合性的試題有20道，占比57．14%。客觀題不僅考查解析幾何在簡單情境下的基本知識和基本技能， 而且要考查關聯和綜合情境問題下學生對同一層面的知識、能力、素養的橫向融會貫通。但解答題題目所在的位置基本上變化不大，都處在20 和21 壓軸試題的位置，只有3套試題是放在19 題的位置，考查基礎性的試題只有3 道，占比18．75%，考查綜合性的試題有13 道，占比81．25%。所以解答題主要是考查綜合情境下學生對不同層面的知識、能力、素養縱向融會貫通的情況。

（二）考查內容的水平劃分

根據表1 中對運算能力的表現水平劃分以及各個水平的質量描述，對客觀題和解答題整體考查情況進行量化分析，其中對每道試題進行水平劃分的時候，都是嚴格遵守四個維度下各水平的要求。量化后的詳細數據利用Excel 辦公軟件做成柱形圖（如圖1 至圖4 所示）。

由以上數據分析得出以下結論：

1．情境與問題的特征包括直接性關聯（水平一）、一般化關聯（水平二）和綜合性關聯（水平三）。從圖1 中可以看出客觀題在水平一和水平二的試題數基本相同，而解答題在水平二的問題數遠超水平一。所以從情境與問題維度來看，高考中解析幾何解答題更難以從情境中抽象出數學對象，學生必須具備探索與創新精神才可以識別問題。

圖1 解析幾何試題在情境與問題維度下不同能力水平統計

2．知識與技能的特征包括基礎性理解（水平一）、關聯性理解（水平二）、綜合性理解（水平三）。從圖2 中看出客觀題與解答題在水平一和水平二的試題數和問題數基本相同，只是水平二比水平一稍微多一些。所以從知識與技能維度來看，解析幾何試題的運算求解能力不僅要利用概念、公式和運算法則進行正確的表示、計算和簡單的應用，而且要能夠從不同視角理解和解釋數學對象，建立不同知識之間的聯系，正確運用相關數學知識，選擇恰當的數學方法探索、分析和解決問題。知識上主要考查直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程與它們的簡單幾何性質，還綜合考查向量、函數和不等式等知識在解析幾何中的應用， 技能上主要是從幾何問題代數化和代數問題幾何化的角度出發，將復雜的幾何問題用代數的思想處理，復雜的代數問題用幾何思想處理。

圖2 解析幾何試題在知識與技能維度下不同能力水平統計

3．思維與表達的特征包括基礎性運用（水平一）、關聯性運用（水平二）、本質性應用（水平三）。從圖3 中看出客觀題與解答題在水平一和水平二的試題數和問題數基本相同， 只是客觀題水平一多于水平二，而解答題水平二多于水平一。所以從思維與表達維度來看，解析幾何試題的運算求解能力不僅要能夠運用基本的數學思想方法構建簡單的數學模型和解決簡單的問題，而且要能夠從不同視角運用不同的思想方法推理和論證多種關聯的數學關系，構建復雜的數學模型和解決較為復雜的問題。思維主要涉及數形結合的思想、函數與方程的思想、分類討論思想、整體代換思想、轉化與化歸思想；表達上主要進行問題的轉化， 將較為復雜抽象的數學問題轉化為直觀容易理解的數學問題。

圖3 解析幾何試題在思維與表達維度下不同能力水平統計

4．交流與反思的特征包括基本性解釋（水平一）、一般化解釋（水平二）、綜合性解釋（水平三）。從圖4中看出客觀題側重考查水平一， 而解答題在水平一和水平二的問題數基本相同。所以從交流與反思來看，客觀題的運算求解能力主要是解釋基本的數學對象及其數學關系， 并能對其中的數學方法進行基本評價和總結， 而解答題的運算求解能力還需要探討不同數學問題之間的一般化關系， 并能夠對其中一般化的數學方法進行評價和總結。在交流上可通過試題的探究來達成師生、生生對知識、方法和思想的交流；反思上可通過試題的歸類與總結，形成結構化的知識和方法體系。

圖4 解析幾何試題在交流與反思維度下不同能力水平統計