高考數學試題情境分析與教學建議
——以2020年高考數學全國卷II理科為例

●劉子麗，謝發超

素養的形成和情境有密不可分的聯系。數學學科核心素養是在復雜的、綜合化的情境中，通過個體與情境的有效互動而生成的[1]。高考評價體系也指出，要通過課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境三類數學試題情境和情境活動來實現考查內容和考查要求。因此，無論是數學學科教學，還是數學命題，情境都是至關重要的載體。以下擬對2020年高考數學全國卷Ⅱ理科試題從情境視角進行分析，并提出教學實踐建議。

一、試題情境的命制關注了數學文化育人的價值

2020年高考數學全國卷Ⅱ理科在保持數學課程學習情境試題占一定比例的前提下，增加了探索創新情境與生活實踐情境的試題比例，更加關注試題情境的育人價值。具體體現在以下幾個方面。

（一）發揮數學文化試題情境的育人功能，滲透德育

2020年高考數學全國卷Ⅱ，以落實立德樹人為根本任務，在培育學生數學學科核心素養的視域下，充分發揮數學文化試題情境的育人功能，滲透德育。

例1（第3題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

評注：本題屬于生活實踐情境，以新冠肺炎期間志愿者參加超市配貨為背景， 從基礎性和應用性的層次上考查概率問題必備知識，以及運算求解能力、邏輯思維能力等關鍵能力和數學文化、數學應用等學科素養。試題設置的配貨情境，從數學角度對現實生活的問題進行再現，反映我國全民團結一致、眾志成城，抗“疫”防控的決心，增強學生社會責任感和愛國主義情懷，體現了對德育的滲透和引導。

（二）發揮數學文化試題情境的美育功能，滲透美育

我國教育的目的是培養德、智、體、美、勞全面發展的社會主義接班人，美育能夠讓學生去發現美、感受美、鑒賞美和創造美。

例2（第4題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）。

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊

評注：本題屬于生活實踐情境，以計算北京天壇圜丘壇鋪設的石板數量為背景，從基礎性和應用性的層次上考查等差數列的通項與求和公式必備知識，以及運算求解能力、邏輯思維能力等關鍵能力和數學文化、數學應用等學科素養。試題設置的北京圜丘壇的情境貼近生活，反映了我國古代的文明成就，有利于激發學生對中華傳統建筑的熱愛，增強民族自豪感，同時感受數學的對稱美、和諧美。

二、試題情境的命制突出了理性思維，考查關鍵能力

從試題中可看到，無論是課程學習情境試題還是探索創新情境和生活實踐情境試題，都突出了對學生理性思維和關鍵能力的考查。通過讓學生在具體的情境中對已有知識與方法的回憶、再現、關聯、應用，感悟數學的本質，體會數學的基本思想與方法，積累數學基本活動經驗。

例3（第12題）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用。若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…)，且存在正整數m，使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立，則稱其為0-1 周期序列，并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數m為這個序列的周期。對于周期為m的0-1 序列a1a2…an…，C(k)=是描述其性質的重要指標，下列周期為5 的0-1 序列中，滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是（ ）。

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

評注：本題屬于數學探索創新情境，以通信技術、周期序列為背景，從綜合性和應用性的層次上要求判斷試題給出的4個周期序列是否滿足題設條件；從創新性的層次上考查學生對新概念的理解、試驗探究能力， 創新能力和邏輯思維能力等關鍵能力，以及數學探究、理性思維等學科素養。

三、試題情境的命制注重了數學探索和數學應用

在2020年高考數學全國卷Ⅱ理科試題情境中，探索創新情境和生活實踐情境試題共計約有26%的題目重點考查了數學探索和數學應用學科素養。主要在綜合性、應用性和創新性的層次上考查已有知識與方法的遷移和拓展； 讓學生在數學探索創新情境中，利用已有的數學知識和經驗，主動探索、發現素材中隱含的知識與方法的關聯， 通過對材料的分析， 對相關方法創造性的遷移和運用， 提高實踐能力，提升創新意識。

例4（第14題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有 種。

評注：本題屬于生活實踐情境，以垃圾分類宣傳活動為背景，設計了計數問題的情境，從綜合性和應用性的層次上考查學生對排列組合計數原理、分組分配必備知識，以及邏輯思維能力和運算求解能力等關鍵能力，數學應用、數學探索等學科素養。試題設置的分配情境，要求學生能利用數學知識解決生活中的實際問題，感受數學的應用價值，同時向學生滲透關注環境保護、愛護大自然的意識。

例5（第18題）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加。為調查該地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊， 從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數量，并計算得=9000，=800。

（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）；

（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數（精確到0.01）；

（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大。為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計， 請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由。

附：相關系數

評注：本題屬于數學探索創新情境，以沙漠治理和動物保護為背景， 從應用性和創新性的層次上考查統計中平均數的估計值、相關系數的計算以及抽樣方法的選取必備知識， 考查學生分析和解決問題的能力、數據處理的能力，以及運算求解、邏輯思維和創新關鍵能力，數學應用、數學探索等學科素養。試題設置的植物覆蓋面積與野生動物數量關系的情境， 可讓學生在用統計知識解決實際問題的過程中體會用樣本估計總體的統計思想， 體會數學知識在實際科研問題中的應用， 同時引導學生保護生態環境，體現了“立德樹人”的教育理念。

四、教學建議

2020年高考數學全國卷Ⅱ理科試題情境，以落實立德樹人為根本任務，緊密聯系社會實際，通過設置真實的問題情境，關注數學文化育人的價值；突出理性思維，考查關鍵能力；注重數學探索和數學應用，著重考查了高考數學的必備知識、關鍵能力和學科素養，充分發揮數學學科在深化中學課程改革中的引導作用。在實際教學中，我們應重點關注以下幾點：

（一）注重“情境教學”的理論學習與教學實踐

情境試題和情境教學的功能一致，都能讓學生在利用數學解決實際問題的過程中，認識數學的本質，促進學生學科核心素養的形成和發展。數學學科核心素養是在學生與情境、問題的有效互動中得到提升的。在實際教學中，我們應當注重情境教學的理論學習并結合教學的任務， 思考相應素養在情境教學中的孕育點、生長點，設計貼近時代、貼近社會、貼近生活，切合學生實際的情境和問題，引導學生用數學的眼光去觀察現象、發現問題，并用數學的思想和方法解決問題。

（二）注重“情境試題”的命制與練習

在命題中，選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體，情境試題對測試學生核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識具有重要價值。

在實際教學中，應注重“情境試題”的命制與練習。

情境試題的命制應從數學本質出發，突出理性思維、數學探索、數學應用、數學文化的引領作用，設計自然、合理，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識；情境試題的練習，應從學生的認知特點出發，教會學生數學式閱讀，能從不同背景中提取有效的數學信息，建立數學模型，積累解決實際情境問題的經驗。

（三）關注數學文化在“情境教學”“情境試題”中的育人價值

數學是人類文明的重要組成部分，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在“情境教學”和“情境試題”中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術發展中的作用，感悟數學的應用價值；了解中國古代數學成就，增強學生的民族自豪感；了解數學圖形的對稱美、符號的簡單美、邏輯的和諧美、思維的奇異美，激發學生的數學學習興趣，提升學生的科學精神和人文素養，充分發揮數學文化在數學教學中的育人價值，真正做到素養立意，育人為本。