2021年高考概率與統計試題評析

●程雪蓮，趙思林

根據《中國高考數學評價報告》可以知道，2021年高考數學全國卷命題落實高考內容改革總體要求，貫徹德智體美勞全面發展教育方針，聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，體現了高考數學的科學選拔功能和育人導向。概率與統計是高考考查學生數學建模素養和數據分析素養的重要載體，也是高中數學課程內容的重要部分。概率主要研究隨機現象，統計主要研究數據，進行數據分析。概率與統計不僅是高中必修的內容， 也是大學學習概率與統計的基礎。在高考中， 概率與統計占有不可或缺的地位。本文對2021年全國高考數學試卷中的概率與統計試題進行評析。

一、高考試卷考查“概率與統計”試題統計

2021年全國高考卷包括全國甲卷（原有的全國III卷）文理科各一套、全國乙卷（原有的全國I、II卷合并）文理科各一套、新高考I卷（新課標I卷）、新高考II卷（新課標II卷），其中全國甲、乙卷共計23題，必做22題；新高考I、II卷不分文理科，共計22題。每套試卷都對概率與統計的知識進行了考查，現將6套試卷中考查概率、統計知識的試題按照題型、分值、考查內容、交匯章節及難度進行統計，結果如表1所示。

表1 2021年全國高考數學各套試卷考查概率、統計知識的試題統計

由表1可知，全國甲卷和乙卷文、理科對概率、統計的考查題型有選擇題和解答題兩種，其分值分別為10分、12分，總分值為22分，占試卷總分的14.6%；乙卷文、理科對概率、統計的考查題型有選擇題和解答題兩種，其分值分別為5分、12分，總分值為17分，占試卷總分的11.3%；新高考I、II卷對概率、統計的考查題型有單選題、多選題和解答題三種，其分值分別為5分、5分、12分，總分值為22分，占試卷總分的14.6%。

通過對試卷考查內容進行分析，可以發現6套試卷考查的概率與統計的知識涉及幾何概型、古典概型、頻率分布直方圖、樣本估計總體、數據的數字特征(平均數、中位數、標準差、極差)、2×2列聯表、分層抽樣、計數原理、組合、獨立事件概率乘法公式、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列，內容多，覆蓋面廣。2021年的高考數學試題結構穩中出新，大題布局動態調整。在概率與統計方面的考查體現為概率、統計題目位置提前至17題，考查數據分析及應用，難度較往年有所降低，重在考查學生靈活應變的能力和主動調整適應的能力[1]。

二、2021年高考考查概率與統計的試題與評析

（一）隨機事件的獨立性

隨機事件的獨立性需要在有限樣本空間中實現，是指對兩個隨機事件之間如果其中任何一個事件發生的概率不受另外一個事件發生與否的影響的關系的描述。

以新高考卷I第8題為例，該題以有放回的隨機取球事例為背景，考查獨立事件的定義。題目中對事件甲、乙、丙、丁的描述中，只有事件甲和事件丙互不影響其發生的可能性，且滿足P（甲丙）=P（甲）P（丙）的關系，故選A。

（二）幾何概型

幾何概型是幾何中長度、面積或體積與概率形成的概率模型，即是指每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。幾何概型具有無限性和等可能性的特征。2021年高考數學對幾何概型與隨機事件的獨立性的考查，體現了數學的嚴謹性、簡潔性、概括性的特點。

例1（全國乙卷理科第8題）在區間(0，1)與(1，2)中各隨機取一個數，則兩數之和大于的概率為（ ）。

評析：以全國乙卷理科第8題和全國乙卷文科第7題（略）為例，這兩道題直接考查幾何概型，注重考查學生的數據分析和數學運算素養。其中全國乙卷理科第8題難度較大，此題可理解為求x+y>的概率，通過畫圖，利用線性規劃的知識求得兩數之和大于的概率為，故選B。全國乙卷文科第7題的解答關鍵在于明確事件A“取到數小于”對應范圍，再利用幾何概型公式求得P（A）=，故選B。

（三）頻率分布直方圖

頻率分布直方圖是以圖表展示統計信息的一種統計方式，能夠直觀地表示出大量的數據信息，是一種常用、有效的統計模式。

以全國甲卷文、理科第2題為例，該題以我國脫貧攻堅工作取得全面勝利和農村振興為背景， 通過圖表給出了某地農戶家庭收入情況的抽樣調查結果， 考查頻率分布直方圖的基礎知識和考生分析問題和數據處理的能力， 體現了高考對社會與經濟發展的關注。解答該題需利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法判斷出A、B、D選項是正確的， 運用平均數的算法得到平均值為7.68萬元，超過了6.5萬元，所以選項C錯誤，故答案選C。

（四）數據的數字特征(平均數、中位數、標準差、極差)

數據的數字特征是統計的重要內容，2021年高考注重對數據的數字特征的考查。

例2（新高考卷I第9題多選題）有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組樣本數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1,2,…,n），c為非零常數，則（ ）。

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

評析：本題是一道考查數據的數字特征的典型題，改變相對固化的試題形式以多選題的形式呈現，注重考查和發展學生的開放性思維，減少死記硬背和“機械刷題”現象。解答該題需要正確運用4個數字特征(平均數、中位數、標準差、極差)的基本概念和統計意義。利用yi與xi存在的關系yi=xi+c（i=1,2,…,n）可以知道兩組樣本數據的樣本平均數和中位數都不相同，故選項A、B 錯誤；再利用標準差和極差的計算公式可以求得兩組樣本數據的樣本標準差和極差相同，故選項C、D 正確。

此外，全國乙卷文理科第17 題以芯片生產中的刻蝕速率為原型，考查平均數和方差在現實生產生活中的運用，同時考查考生理論聯系實際的能力。解答（1）問關鍵是能夠運用平均數和方差的計算公式進行計算， 分別求得0.4；解答第（2）問可以利用來判斷設備生成產品的該項指標的均值較舊設備沒有顯著提高。

（五）2×2列聯表、頻率、獨立性檢驗

2×2列聯表、頻率和獨立性檢驗是概率與統計的重要內容，將三者綜合考查體現了對學生基礎知識的要求，也體現了對學生建立數學模型、分析與處理數據、數學運算等關鍵能力的考查，倡導學生理論聯系實際，學以致用。

例3（全國甲卷文、理科第17題）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量， 分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如表2所示。

表2

（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？

附：K2=

表3

評析：本題以社會生產中的機床生產為背景設計問題，綜合考查2×2 列聯表、頻率、獨立性檢驗的概率統計知識，解答第（1）小問需運用頻率的計算公式求得甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是；解答第（2）小問需要利用K2的計算公式求得K2≈10.265， 并與表格中的相應數據作比較，得K2>k=6.635，從而得到結論：有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異。

（六）離散型隨機變量及其分布列、相互獨立事件概率乘法公式、期望

離散型隨機變量及其分布列可以一一列舉出隨機變量及其發生的概率，進而得到概率分布列，有利于分析數據； 相互獨立事件概率乘法公式可以反映獨立事件發生的概率； 期望綜合了隨機變量的取值和取值范圍的概率，反映隨機變量的平均水平。

例4（新高考卷I第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題。每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答， 無論回答正確與否，該同學比賽結束，A類問題中的每個問題回答正確得20分， 否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6， 且能正確回答問題的概率與回答次序無關。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？ 并說明理由。

評析：本題以“一帶一路”知識競賽為背景，是一道具有閱讀理解型問題特征的題目，綜合考查考生對概率統計基本知識的理解與應用、學生對信息的梳理能力、對數據的處理能力。利用離散型隨機變量及其分布列的定義和計算方法可以得知X可取0、20、100，求得，P（X=100）=，再填入分布列表格即可求得第（1）小問；要解答第（2）小問，需要利用期望的計算公式，分別求得回答A類問題的期望和回答B類問題的期望，進行比較后得到E（X）

例5（新高考II卷第21題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來， 設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P（X=i）=pi（i=0,1,2,3）。

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）；

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1 時，p=1，當E（X）>1時，p<1；

（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義。

評析：本題以生物學科中微生物群體的繁殖存活率為背景考查概率知識的應用以及對數據結論實際意義的理解，還考查了一元三次方程，體現了學科與學科之間的交叉性，旨在培養和形成學生尊重事實的科學態度和質疑求真的科學精神。解答第（1）小問只需將數據代入期望的計算公式即可求得E（X）=1；解答第（2）小問需將方程的求解轉化為求解函數f（x）=p0+（p1－1）x+p2x2+p3x3的相關問題，運用求導和函數的單調性證明E(X)與p的關系。即當x∈（0,1）時，f′（x）<0，則f（x）單調遞減，又因為f（1）=0，所以當x∈（0,1）時，f（x）>0，即當E（X）≤1 時，X≤3，p=1；當E（X）>1 時，X>3，p<1，得證。第（3）小問的解答需要根據第（2）問的信息，當E（X）≤1 時，X≤3，p=1；當E（X）>1 時，X>3，p<1， 從而得到該種微生物繁殖三代以上后開始臨近滅絕。

（七）排列組合、古典概型

例6（全國甲卷理科第10題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）。

評析：本題是考查排列組合，問題描述簡潔統一，具有高度的嚴謹性，重在考查學生的數據分析能力和運算能力，要求學生把握數學語言，理解數學。解答時需先把位置依次標號為1-6，先計算總共的排法，有15種，再計算符合條件的排法有10種，故算得2個0不相鄰的概率為，故選C。全國甲卷文科第10題與此題是同一類型，其解答思路與此題一致，可算得共有10種排法，符合題意的有6種，所以所求概率為0.6，故選C。

例7（全國乙卷理科第6題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）。

A.60種 B.120種 C.240種 D.480種

評析：本題以北京冬奧會志愿者的培訓為試題背景，弘揚體育精神，關注志愿者勞動。本題主要考查排列組合、學生的邏輯推理能力和運算求解能力，強化學生的理性思維。解答該題時可“先選再排”，共有=240種，故選C。

2021年高考試題注重考查概率與統計的基礎知識，試題的情境真實、設問靈活、難度適中，注重考查隨機思想和統計方法等數據分析和處理素養。

概率與統計是實施情境教學的好素材。概率、統計教學極易設置“學科數學育人”的好情境。“學科數學育人”情境的設置容易滲透中華優秀傳統文化、“五育”并舉教育目標、新時代的中國精神，以幫助學生形成正確的“三觀”。