錯(cuò)題正解 小題大做
——一道面試題的教育教學(xué)價(jià)值

●李寶

2016年5月，網(wǎng)易新聞[1]和搜狐教育[2]先后報(bào)道了國外一程序員參加微軟招聘慘遭淘汰的經(jīng)歷， 引發(fā)了國內(nèi)網(wǎng)友的極大關(guān)注。時(shí)至現(xiàn)在，共有2200多網(wǎng)民跟帖討論。之所以會(huì)引起公眾的關(guān)注，是因?yàn)槲④洺龅拿嬖囶}是一道數(shù)學(xué)題：

有一個(gè)直角三角形，斜邊長10cm，從頂點(diǎn)到斜邊作垂線，垂線長6cm，求直角三角形的面積（為了行文的方便，以下將此題稱為“原題”）。

筆者曾就原題考查了一部分中學(xué)生、中學(xué)數(shù)學(xué)教師和在校的大學(xué)生，絕大多數(shù)人都和“程序員”的遭遇一樣，被這道題“坑了”：直接用三角形的面積公式（底×高÷2）算得三角形的面積為30。他們?yōu)槭裁村e(cuò)了？ 因?yàn)檫@是一道“錯(cuò)”題。當(dāng)然，許多人是“不知錯(cuò)” 而錯(cuò)答。下文首先從數(shù)學(xué)的角度證明原題是錯(cuò)題，然后從解題教學(xué)的角度給出原題的變式。

一、錯(cuò)題正解，一題多解

數(shù)學(xué)題可分為兩種，即求解題（或解答題，包括計(jì)算題）和證明題。波利亞在其《怎樣解題》一書中討論了“求解題”和“證明題”的主要部分、目標(biāo)及解的方法。求解題的主要部分是“未知量”“已知數(shù)據(jù)”和“條件”，目標(biāo)是要找到某個(gè)對(duì)象，即該題的未知量。“證明題”的主要部分是“題設(shè)”以及要求證明或推翻的定理的“結(jié)論”，其目標(biāo)是要確定地表明某個(gè)清楚陳述的論斷是正確的還是錯(cuò)誤的[3]。但無論是哪一種，數(shù)學(xué)題都包括兩個(gè)部分：條件（已知）和待求解或待證明的結(jié)論。求解題中，一般只給出條件（一個(gè)或多個(gè)），結(jié)論需要通過解答（運(yùn)算、推理等）探求。證明題中，條件（一個(gè)或多個(gè)）和結(jié)論同時(shí)給出，（命題）結(jié)論成立與否，需要利用條件用“證明”的方法加以說明。

要解題，需先“辨題”——辨別題型及題是否有解，明確解的方法和解的個(gè)數(shù)。而要說明一道題是錯(cuò)題或無解，一般有兩種方法，一是舉反例，二是推矛盾。原題是一道求解題，背景是“直角三角形”，聯(lián)想與直角三角形有關(guān)的幾何性質(zhì)，可利用“幾何直觀”推矛盾。

解法1 以AB為直徑作圓，在圓上取不同于A、B的點(diǎn)C，連接AC和BC，則頂點(diǎn)C到AB的最大距離為半徑（見圖1），即斜邊長為10cm的直角三角形其斜邊上的高的最大值為5cm，與題設(shè)的高為6cm矛盾，因此滿足題設(shè)條件的直角三角形不存在。

圖1

注 此解法用到了圓的一條性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角。同時(shí)，本解法可以直接用數(shù)學(xué)教學(xué)類軟件如幾何畫板、超級(jí)畫板、Geogebra等演示，比較直觀。

在肯定了原題為錯(cuò)題的情況下，又可以綜合利用幾何知識(shí)推矛盾，實(shí)現(xiàn)一題多解。

解法2 若ABC為直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)E，連接CE。那么，CE=5。而CD是斜邊上的高，則在直角三角形CDE中，有5=CE>CD=6，矛盾。或者，從點(diǎn)到直線的距離的定義可知，6=CD≤CE=5，矛盾。故滿足條件的直角三角形不存在。

圖2

注 此解法用到了直角三角形的兩條性質(zhì)：一是“直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”；二是“直角三角形中，斜邊最長”。而第二條性質(zhì)是由點(diǎn)到直線的距離邏輯導(dǎo)出的。

解法3 若ABC為直角三角形，如圖3，則由勾股定理和面積等積公式可得方程組：

圖3

由（1）（2）得

因此滿足條件的直角三角形不存在。

另解：由（1）（2）得（AC+BC）2=220，即有：

由（1）（4）可知，AC和BC是一元二次方程

注：此解法用到了勾股定理和等積公式，而在求解二元二次方程組的過程中， 用到了整體思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，由（1）（2）變換得到（3）較為簡單，但“另解”可訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，并且是求解此類方程的通法。

解法4 若ABC為直角三角形，如圖3，則根據(jù)三角形的相似或射影定理可得：

所以AD2－10AD+36=0， 因?yàn)棣?（－10）2－4×1×36=-44<0，所以方程無解，即滿足條件的直角三角形不存在。

注：此解法用到了三角形相似的知識(shí)（或直角三角形中的射影定理）和一元二次方程。

二、一題多變，小題大做

就解題教學(xué)而言，不僅要教會(huì)學(xué)生“辨題”，還要教會(huì)學(xué)生“變題”，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。對(duì)于求解題，可通過改變（增加、減少、替換）條件變題。對(duì)于證明題，可通過“四種命題”的關(guān)系變題，也可以通過替換條件或結(jié)論變題。

原題是關(guān)于三角形中的線段的關(guān)系問題， 可通過改變條件變題（篇幅所限，以下各題只給出解答思路），實(shí)現(xiàn)一題多變、小題大做。

（一）保留“直角三角形”這個(gè)條件，弱化條件，將具體數(shù)字變?yōu)樽帜福鲆话慊幚?/h3>

變式1 設(shè)直角三角形的斜邊長為c， 斜邊上的高為h。求三角形的面積。

注：若h≤c/2，面積可求。否則，面積不可求，因?yàn)闈M足條件的三角形不存在。

根據(jù)前文所述的解題過程和解題方法， 可在此題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變式，得到：

變式2 設(shè)直角三角形的斜邊長為c， 斜邊上的高為h。求直角邊長。

注：若h≤c/2，利用前文的解法3或解法4，可求得AC和BC。否則，若h>c/2，滿足條件的直角三角形不存在，因此無解。

變式3 設(shè)直角三角形的斜邊長為c， 斜邊上的高為h。求周長。

注：若h≤c/2，利用式（1）和（2）可求出AC+BC，從而周長可求。否則，若h>c/2，滿足條件的直角三角形不存在，因此無解。

變式4 設(shè)直角三角形的斜邊長為c， 斜邊上的高為h。求作三角形。

注：分三種情況討論，h>c/2、h=c/2或h

（二）弱化條件，將“直角三角形”變?yōu)椤耙话闳切巍保鲆话慊幚?/h3>

變式5 已知三角形的一邊和這邊上的高，求三角形的面積。

（三）弱化條件，將“直角三角形”變?yōu)椤耙话闳切巍保⑻鎿Q條件或問題

變式6 已知三角形的一邊和一邊上的高，求三角形的面積。

注：本題需討論，若高是給定邊上的高，同變式5；若高是給定邊鄰邊上的高，而三角形是直角三角形，面積可求，否則三角形的面積不可求。

變式7 已知三角形的一邊和這邊上的高，求三角形的周長的取值范圍。

注1：當(dāng)高在三角形外時(shí)，周長不可求。

注2：當(dāng)高在三角形內(nèi)（含同三角形的邊重合），設(shè)已知邊長為c、高為h，則當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，周長取得最大值當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，周長取得最小值本題可從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度求解， 代數(shù)求解需用到均值不等式或兩次平方且運(yùn)算量較大，幾何求解需用到變換，簡單且直觀。

注3：當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，可獲得一個(gè)結(jié)論：在同底等高的三角形中，等腰三角形的周長最小。

想到三角形中不僅有高，還有中線和角平分線，又可以將題變?yōu)椋?/p>

變式8 已知三角形的一邊和這邊上的中線，求三角形的面積。

注：此時(shí)的三角形不確定，通過設(shè)參可求得面積表達(dá)式，面積有最大值（當(dāng)中線變成高時(shí)）。

變式9 已知三角形的一邊和對(duì)角的平分線，求三角形的面積。

注：此時(shí)的三角形不確定，通過設(shè)參可求得面積表達(dá)式，面積有最大值（當(dāng)角平分線變成高時(shí)）。

三、一題多思，教學(xué)雙贏

原題乍一看很簡單，似乎小學(xué)生都會(huì)做，是一道“小題”。而從前文的探討中可以看到， 對(duì)原題的正解，綜合運(yùn)用了平面幾何與代數(shù)的知識(shí)和方法，涉及一元二次方程、一元二次函數(shù)、三角形、相似、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓、周長、面積等，因此這是一道典型的“大題”。

對(duì)數(shù)學(xué)問題的求解，一般來說，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：①判斷解的存在性，在有解的情況下還需探討解的個(gè)數(shù)（不至于漏解）。②探索求解的方法，盡可能綜合考慮代數(shù)法、幾何法，做到一題多解。③求解，保證運(yùn)算、推理準(zhǔn)確無誤。④回顧與檢查，做到一題多思、一題多變。遺憾的是，長期的“掐兩頭、燒中段”式的教學(xué)及“題海”式訓(xùn)練，早已讓一些教師和學(xué)生忘記了題的“解的存在性”，拿到題就做，找到答案就行。至于答案是否正確，由于沒有“回顧”，致使對(duì)明顯的錯(cuò)誤視而不見。

回到文章開始的情境，為什么有那么多的人會(huì)掉進(jìn)陷阱呢？對(duì)面試者“為啥我的答案錯(cuò)誤”的問題，面試考官回答：“如果你稍微認(rèn)真地想想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的三角形是不存在的。”這樣的回答暴露了出題者的初衷：他們真正的意圖是考察面試者是否有冷靜的頭腦以及良好的分析問題的能力。因此，此題是出題者有意出的“錯(cuò)題”。

盡管中、高考考試一般不出錯(cuò)題（曾經(jīng)有），但教學(xué)中我們應(yīng)時(shí)不時(shí)地有意出錯(cuò)題。因?yàn)椋阱e(cuò)題正解的過程中，能培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”“直觀想象”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等學(xué)科核心素養(yǎng)；在錯(cuò)的陣痛中，能培養(yǎng)“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”提出的“理性思維”“批判質(zhì)疑”“勇于探究”“勤于反思”等核心素養(yǎng)。