“問題引領”下的一類圓錐曲線定點問題的探究

?廣東省廣州市從化區第四中學 黃 強

數學探究是圍繞某個具體的數學問題，開展探究活動，突出通過問題引領，培養學生解決問題的能力.筆者嘗試以兩條主線來組織一次課堂探究活動.第一條線是從一個問題抽象到一般問題；第二條線是基于學科知識發展邏輯.設計如下.

首先，教材中有很多結構相似的習題，因此先選擇一個具體問題作為探究起點，確定探究方向.如，2003年人教版選修2-1復習參考題B組第3題和習題2.4的A組第6題，對比兩題，B組第3題的點D容易使學生聯想到定點問題，所以把B組第3題作為探究起點，把定點問題作為探究方向.

其次，平面解析幾何知識的發展邏輯在于它的整體性，這有助于培養學生運用類比思維、數形結合思想解決問題，同時也有助于學生從整體上把握局部知識.

最后，由于是探究一些未知的知識，筆者與學生共同使用《幾何畫板》和Maple2019，特別是用Maple-2019解決一些復雜的推導過程時，學生對此表現出極大興趣，這出乎筆者意料.下面筆者以“問題-證明-性質”形式呈現活動過程.

1 課本習題

圖1

原題(2003人教版選修2-1復習參考題B組第3題)如圖1，已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為(2,1)，求p的值.

2 拋物線定點問題的探究

問題1D是定點嗎？(答案顯然是否定的.)

問題2已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，OA⊥OB，且直線OA,OB存在，直線AB是否恒過定點？

由此得到以下性質：

性質1已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，OA⊥OB，則直線AB恒過定點(2p,0).

問題3原題中拋物線上的定點為原點，比較特殊，如果一般化會怎樣？(因此有如下問題.)

問題4已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，P為拋物線上一定點，PA⊥PB，直線AB是否恒過定點？

解析：設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0).因為PA⊥PB，所以

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.

當直線AB斜率不存在時，直線AB也恒過該定點C，過程略.

因而得到以下結論：

性質2已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，P(x0,y0)為拋物線上一定點，PA⊥PB，則直線AB恒過定點C(2p+x0,-y0).

容易證明性質2的逆命題成立，因此有以下性質：

性質3已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，P(x0,y0)為拋物線上一定點，C(2p+x0,-y0)，若過點C的直線交拋物線于A，B兩點，則PA⊥PB.

以性質3為依據，非常容易判斷課本習題2.4A組第6題，原題如下:

已知直線y=x-2與拋物線y2=2x交于A，B兩點,求證：OA⊥OB.

證明：因為直線y=x-2過點(2,0)，由性質3可得OA⊥OB.

利用《幾何畫板》進行探究，通過移動點A，發現線段PA，PB的中點軌跡呈現一定的規律.因此提出以下問題：

問題5已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，P(x0,y0)為拋物線上一定點，C(2p+x0,-y0)，若過點C的直線交拋物線于A，B兩點，則線段PA中點的軌跡是什么？

因此，得到下面的結論：

利用《幾何畫板》繼續探究，方法同上，提出以下問題：

問題6已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，P(x0,y0)為拋物線上一定點，PA⊥PB，PD⊥AB交AB于點D，求點D的軌跡方程.

因此得到下面的結論：

問題1至問題6，其過程是對特殊點O的一般化，從而把具體問題抽象為一般問題，體現了對問題本質的探究.另外，也可以將習題2.4A組第6題中的直線一般化，又可以生成一個對斜率的探究活動.我們知道，高中圓錐曲線主要包含橢圓、雙曲線和拋物線三部分.從學生學習的視角看，三種曲線的方程形式、性質和圖形各不相同，學生容易認為三部分是獨立的.下面從數學思想的角度，把三部分的有機聯系呈現給學生，予他們以“整體”觀感.

3 活用性質解決高考真題

(2021年全國甲卷第20題)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，已知點M(2，0)，且⊙M與l相切.(1)求C，⊙M的方程；(2)略.

下面運用性質1求第(1)問中拋物線C的方程.

4 結語

在新課程教學理念背景下，如何促使學生真正參與到“發現”數學知識和運用數學知識解決問題中，改變學生只會被動接受現成結論的習慣，從而真正學會學習，這是一個重要的問題.通過這次課堂探究活動，筆者感到，課堂教學做好“三足”是有益的.首先是教學要立足學科思想的引領， 立好這個“足”，提升課堂教學立意；其次是教學要立足教材中的資源，善用、活用教材中的例題、習題等，既可以避免效率低下的“刷題”“題海”，又可以真正做到激發學生思維；最后是立足改變教學方式，以數學家發現數學規律的方式去學習，改變學生只會接受現成結論的現狀，從而培養學生的創新意識.