“學科育人”視角下的教學設計

陳華曲

如何更好地落實數學學科育人目標？我們嘗試以“思維育人、史料育人、審美育人、活動育人”四個維度為抓手，在數學教學各環節挖掘學科育人內涵，努力使數學教學從形式到內容都有“立德樹人”目標的引領。本文以“數系的擴充和復數的概念”一課為例，談談自己的思考與實踐。

一、新課引入

“新課引入”是一節新授課的基礎，它的立意對調動學生學習的積極性十分重要，會影響整節課學生的關注度和參與度。本課以數學史為切入點，融入中外數學家的經典數學故事，以史料育人。

《道德經》有言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！?/p>

古希臘數學家畢達哥拉斯提出“萬物皆數”，這節課我們就從數字“1”開始。

歷史追溯到五萬年前，人類在認識自然界的過程中，用手指、木棒、小石子來計數。隨著語言的發展、生產和交換的增多，古人漸漸把數從具體事物中抽象出來，就有了數字“1”，以后逐次加1，就得到2，3，4，5，6……用“0”來表示“無”，“1”就是從無到有。這樣就有了自然數集，自然數集包括正整數和零。

在歷史的發展中，人們逐漸認識到僅有自然數是遠遠不夠的，例如，1份獵物要平均分給2個人，每個人分到的獵物數該怎么表示呢？于是人們提出了分數的概念 。

隨著生產的發展，產生了借貸關系中量的不同意義的需要。我國三國時期數學家劉徽曾說：“今兩算得失相反，要令正負以名之?！笔紫冉o出了負數的定義、記法和加減運算法則。古代數學家們在研究中也常常遇到小數減大數的情況，負數的概念應運而生。于是數系從自然數、分數擴充到了有理數 （見圖1）。

在公元前500年的古希臘，數學受到了前所未有的尊崇。畢達哥拉斯認為，萬物發展的規律和秩序都遵循一些數學原則。這些秩序就是美的根源。他在音樂的世界里，通過測量音階振動的弦長，發現最美的三個音階的弦長分別是2∶1，3∶2，4∶3。他興奮地認為世界的秩序都能由整數和整數之比來掌控、調節。畢達哥拉斯還在有理數的世界中證明了畢達哥拉斯定理（即揭示直角三角形三邊關系的勾股定理）。但是，他的學生希帕索斯發現邊長為1的正方形，對角線卻無法用整數或分數來表達，于是無理數開始登上歷史的舞臺。數系擴充到了實數。

【設計意圖】本節課是高中階段完成的最后一次數系的擴充，復數是高中數學非常重要的一個知識點。我們從數學的起源開始，用大量的史料引入，讓學生回顧每一次數系擴充的歷史背景，使數學教學與數學學習不枯燥、不乏味，在擴充學生的眼界、提高學生學習熱情的同時，也增強了數學課堂的文化體驗。加入史料教學可以使學生不走彎路，更深刻地理解教材中的知識點以及文化內涵，明白自己解決不了的問題與前人不解的問題有一致性，從而不懼怕數學。以史料怡情，以史料育人。

二、概念形成

“概念形成”是一節課的重點，它對學生構建自身的認知結構起關鍵作用。這一環節的重要任務就是讓學生理解概念形成的合理性。本環節通過六個問題的層層推進，讓學生經歷發現問題、思考問題、解決問題的過程，一步一步接近復數。

我們用一個解方程的過程再次演示數系擴充的必要性。

方程x+1=0在自然數集中無解，添加新數（負數）后，解為x=?1，自然數集擴充到整數集。方程2x?1=0在整數集中無解，添加新數（分數）后，解為x=，整數集擴充到有理數集。方程x2?2=0在有理數集中無解，添加新數（無理數）后，解為x =±，有理數集擴充到實數集。

問題1：幾次數系的擴充有什么共同點？

共同點有以下幾個方面。

擴充的方法：在原有的數系中添加新數。

擴充的規則：添加新數后，原來的運算和性質仍然適用。

擴充的效果：解決了原數系中不能解決的運算。

通俗地說，每一次數系的擴充都是因為原數系中的數“不夠用”了。

【設計意圖】問題1意在幫助學生重新構建數集的擴充過程，是本節課的生長點。教師要讓學生了解每個數的產生并不是從天而降，而是數學內部發展的需要。教師通過對前幾次數系擴充的梳理，讓學生感受到數系擴充的合理性，并歸納、概括、提煉出數系擴充的一般原則，為數系的進一步擴充以及如何擴充打下堅實的基礎。

問題2：在方程運算中，實數系是否“夠用”？你能舉一個例子嗎？

生：不夠用。如在實數范圍內，方程x2+1=0，x2=?2，x2=?3無解。

師：所以數系還需要擴充！接下來我們就以一元二次方程為背景，一起來研究數系應該如何進一步擴充。請大家通過配方法把以下一元二次方程轉化為的形式。

① x2? + 2x + 1= 0（x+1）2 =0x=?1。

② x2? ? 2x + 5= 0（x ? 1）2 =?4在實數集中無解。

③ x2? + 2x ? 8= 0（x+1）2 =9x1=2，x2=?4。

問題3：所有的一元二次方程都可以轉化為（x?a）2=k的形式，通過這個形式，如何判斷一元二次方程在實數范圍內無解？

生：只需要關注k的取值就可以了，k<0時，方程在實數范圍內無解。

師：當k<0時，方程在實數范圍內無解。為了解決這個問題，我們需要對數系進一步擴充。根據數系擴充的方法，首先，我們得添加一個新數。

【設計意圖】問題2的設問生活化、平易近人，減輕了學生的畏難情緒。問題3精準設問，以在實數范圍內無解的一元二次方程為背景，尋找出最簡單的條件，歸納出無解的原因。數學學習需要尋根溯源，不能脫離背景孤立地學習某一個知識點，而要想方設法呈現與這個知識點相關聯的東西，挖掘隱含在背后的數學本質，讓學生的認知形成一個整體。在生活中遇到難題也要學會從源頭找原因，這樣才能想出最簡單、最有效的解決方法。以數學理性思維育人。

問題4：數系的擴充需要添加“新數”，要使（x?a）2=k（k<0）有解，我們添加的“新數”要具備什么功能？

生：要使新數的平方等于一個負數！

師追問：如果我們要定義某個數的平方等于一個負數，當k取不同的值時，我們是否需要定義無數次呢？

生甲：好像是需要添加無數個新數才行。

生乙：不需要添加無數個新數。當k取不同的負數時，我們都可以把k寫成?1×（?k）的形式，然后方程x2 =k（k<0）可以轉化為=?1（k<0），我們只需要定義一個新數的平方等于?1就可以了。

師：數學定義應該簡明，同學乙給出了一個很好的思路。我們只需要定義一個數的平方等于?1就可以了。那么這個數應該用什么符號來表示呢？

生：既然是符號，就沒有特別的規定，如果讓我穿越到過去，我希望用一朵小花來表示這個數，不知道可不可以。

師：我想應該沒有大問題。引入新數，我們尊重歷史習慣吧。這個新數用一個字母符號“i”來表示。歷史上，新數i是瑞士數學家歐拉在1777年首次提出使用的，他用了“imaginary（本義是虛幻的）”一詞的首字母。

【設計意圖】問題4培養學生的類比和遷移能力。“追問”意在沿著“專注—直覺—分析—權衡”的思維路線，讓學生突破直覺，尋找出更全能的解決辦法。教師要讓學生體會到引入一個新數，不是要解決一個問題，而是要解決一類問題。最有價值的知識，是方法的知識。數學問題的設置要從學生的最近發展區入手。最近發展區有利于發展學生思維品質，培養學生知識遷移能力，引導學生從新的角度看問題，培養創造性思維。

問題5：定義了i2=?1，你能否寫出方程（x?1）2 =?4的解？

解法如下：

=i x=12i

追問：定義了i2=?1，你能否寫出方程（x?a）2= k （k<0）的解？

解法如下：

師：在表達式中，a為實數，也是實數，那么我們就可以把表達式記為x=a+bi，這樣在結構上能夠更簡潔，數學就講簡潔美。

【設計意圖】學生在參與和體驗數學知識的發生和發展過程之后，就可以運用數學知識及其思想方法對具體問題進行分析研究，對數學結論產生頓悟和靈感，提高運算求解能力，增強成功的體驗。

問題6：實數a能否寫成a+bi的形式呢？

生：b=0時，a+bi=a，即a=a+0i。

師：由于i的加入，實數集可以擴充到一種新的數集，我們把形如a+bi（a，b∈R）的數叫作復數。把集合叫作復數集。

【設計意圖】從實數表達式過渡到復數表達式，如何才能滿足代數表達式在結構上的統一性？這是一個看似簡單卻需要點撥突破的問題。數學的內在本質是統一、和諧的。教師在學生豁然開朗的同時給出新概念，讓學生自然而然地習得新概念。

三、概念深化

“概念深化”是一節新授課的靈魂，它直接影響了學生能否以更高的觀點去看待問題。這個環節要善于挖掘概念的內涵、外延，培養學生的數學核心素養。

根據數系擴充的“包容性”原則，添加的新數i也可以跟實數進行四則運算。

問題7：你能從運算的角度解讀復數a+bi（a，

b ∈R）的結構特征嗎？

生：從結構上看，復數可以看作由兩部分組成，一部分是一個實數a，另一部分是一個實數b與i相乘，那么a+bi就可以看成一個實數a加上實數b乘i。

師：復數通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈

R），這一形式叫作復數的代數形式。a叫作復數的實部，b叫作復數的虛部，i叫作虛數單位。

問題8：把實部和虛部特殊化，復數如何分類？

師：我任意寫出6個復數，兩兩分成一組，你會怎么分組呢？例如，3，4+5i，3i，?2i，?2?4i，6。

生：3和6為一組，4+5i和?2?4i為一組，3i和?2i為一組。

根據分組，學生很快就能總結出復數的分類。

顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC。（在黑板上畫出韋恩圖）

類比實數的性質，我們一起來研究復數的性質。

【設計意圖】問題7讓學生剖析復數的代數形式，透過結構特征揭示數學本質，體會數系擴充后其內在方法和思想的一致性。問題8通過復數的分類，揭示出統一的數學結構中不同的數學個性。在強化新知的同時，培養學生個性和共性的辯證統一思維：一個有人格的人，必定是社會化和個性化相統一的人。再次滲透數學思維育人。

問題9：如何確定一個復數？

我們可以從兩個維度來看兩個復數是否相等：實部是否相等，虛部是否相等。也就是說，當兩個復數的實部、虛部都相等了，這兩個復數就相等，即復數由它的實部和虛部來確定。因此可以說復數是一種二維數。

追問：如何判斷兩個復數相等？

在復數集C中，任取兩個數a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），我們規定a+bi和c+di相等的充要條件是a=c且b=d。

追問：復數能比大小嗎？

生：不能比，因為復數是“二維”的數，“二維”的數不能比大小。

師：如果復數的虛部為0，那么復數就是實數了，實數能比大小嗎？

生：應該補充一下，當復數是實數時，可以比大小;但當復數是虛數時，就不能比大小了。

【設計意圖】問題9以及“追問”引導學生學會多角度思考和理解概念的本質特征，引導學生找出微小的不同點加以分析。這對培養學生思維的深刻性有著很高的價值。教師在教學時使用對比效應可以刺激學生的大腦，讓學習更輕松。

問題10：實數是一維的，它與數軸上的點一一對應。復數是二維的，它的幾何意義是什么？

師：這個問題請同學們課后思考，這是我們下節課需要研究的內容。

【設計意圖】從幾何意義的角度給學生拋出問題。小小的遺憾能帶來大大的思考，也為后續知識的連貫性做好鋪墊。

師：經過這幾個問題的研究，相信同學們對復數有了進一步的認識，接下來我們通過幾個例題來檢驗強化新知。

四、應用探索

“應用探索”是新授課的關鍵，也是學生數學學習的根本目的之一，它對學生能否靈活運用知識關系重大。這一環節教師要教會學生從正確的解題思路中總結方法，提高對數學思想的理解能力。

練習1：實數m取何值時，復數z=m+1+（m?1）i是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

練習2：說出下列復數的實部和虛部。

i，i，，，i，0

練習3：指出下列各數中，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，為什么？

2+，0.618，i，0，i，5i+8，3?，

i（1?），

練習4：如果（x+y）+（y?1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求實數x，y的值。

【設計意圖】數學解題中學生時而“驚心動魄”，時而“深陷絕境”，時而“絕處逢生”。只有經歷了解題的過程，學生才能提高解題能力。學生在快速解答的過程中，很容易出現“想當然”的錯誤，及時糾正，實現數學教學的知行合一，踐行數學課堂實踐育人。

五、總結歸納

“總結歸納”是一節新授課的升華 ，它對學生能否深入理解新知識的重點、能否構建起知識網絡，起著十分重要的作用。教師要精心設計課堂總結，讓學生真正獲得提高，從而對整節課產生充實、愉悅的感受。

師生共同完成了一次新的數系擴充，學習了復數的結構特征（見圖2）。

圖2 復數

師總結：短短40分鐘我們就完成了數系擴充，那是因為我們站在了前人的肩膀上，接下來我們一起看看復數的發展歷史。

1545年，意大利數學家“怪杰”卡當第一次開始討論復數開平方的問題，當時復數被他稱為“詭辯量”。

1637年，法國數學家笛卡爾才把這種虛幻的數命名為“虛數”。

1777年，歐拉說這種數只存在于“幻想之中”，并用“i”來表示它的單位。

1832年，德國數學家高斯把復數看作復平面的點，使之通行于世。

現在看起來簡單的數系，它的發展卻經歷了各種艱難，數學的發展如同數系的發展一樣，需要幾代數學家長時間的努力才得以完善！

任何新事物的產生都不能迅速地被人們接受，它必然會受到舊事物的阻撓。數學家們追求真理、獻身科學的精神深深地影響著我們！

【設計意圖】回顧數系擴充的發展順序，讓學生對本節課究竟學習了什么內容有一個更充實、飽滿的認識。展示復數近三百年的發展歷史，能夠讓學生體會到在漫長的歷史時期，復數的創立是需要創新精神的，數學家們要敢于向傳統觀念挑戰，更要有鍥而不舍的精神。課堂最后再次加強數學文化育人，讓學生回味無窮。

（作者單位：廣西壯族自治區南寧市第三中學）

責任編輯：趙繼瑩