巧用數學圖示 助力幾何直觀
——小學數學圖示的價值新厘定與實踐新視角

福建莆田市城廂區文獻小學（351100）蔡鳳梅

幾何直觀作為十大核心詞之一正式出現在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”），其重要地位是毋庸置疑的。新修訂的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）對幾何直觀的界定與表述更為豐富，也更為清晰，表現為：不僅保留了2011版課標對幾何直觀是理解數學和分析數學問題的重要方法的強調，而且在形成幾何直觀的內涵與外延上的要求更明確、更廣泛；不僅明確突出了數形結合的運用，而且增加了對幾何對象本身的養成要求。關于作為幾何直觀呈現形式之一的數學圖示，2011版課標只停留于學生會用刻度尺和圓規畫簡單的線段、直線、射線、長方形、正方形和圓等，而2022版課標更注重直觀。基于這樣的認知，筆者認為理應對數學圖示的教學價值進行新的厘定，并結合2022版課標的理念探索數學圖示教學的新路徑，致力于讓數學圖示助力于學生幾何直觀素養的培養，促使學生的核心素養全面提升。

一、數學圖示的教學價值新厘定

2022版課標明確指出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。”顯然，幾何直觀指的是通過圖表這種幾何手段達到直觀之目的，實現“描述和分析問題”的目標。圖表是培養幾何直觀素養的有效媒介，用圖表來表征、描述和分析問題稱之為數學圖示，教學數學圖示包括識圖、畫圖與析圖，其價值體現如下。

價值1：數學識圖，讓思維有模有樣。

2022版課標在第一學段強調“形成初步的幾何直觀和應用意識”，第二學段強調“形成量感、空間觀念和初步的幾何直觀”，第三學段強調“形成量感、空間觀念和幾何直觀”，這表明對學生核心素養的培養應彰顯整體性、階段性與發展性。不同的學段，對學生幾何直觀素養的培養的“度”是不一樣的。縱觀當前小學數學整套教材的編排體系，第一學段側重于讓學生能從現實生活情境圖中抽象出簡單的“實物圖”來表示數量關系；第二學段更多的是編排一些簡單圖片、幾何直觀模型圖；第三學段則是借助線段圖、集合圖、數軸等表征數量關系。顯然，教材的編排遵循了學生“表象思維—具象思維—抽象思維”的發展規律。教師要引導學生讀懂教材中的情境圖、實物圖、幾何圖等，把握圖意，將數學圖示轉譯為能看得懂的圖示語言，從圖中找到思維的原型支撐。思維有模有樣后，再借助數學形象思維這個重要抓手，進行圖示與思維的轉化，這樣才能為創造性思維提供肥沃的土壤。

價值2：數學畫圖，讓思維有條有理。

遇到問題時，學生很少主動借助畫圖來描述和分析問題，有的學生甚至認為畫圖是一種“負擔”。2022版課標指出了畫圖的重要價值，還增加了尺規作圖的內容。何謂尺規作圖呢？就是利用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖。正所謂“教材未動，理念先行”。2022版課標在“圖形與幾何”領域中，分別在第二學段與第三學段提到“用直尺和圓規作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點距離的關系，增強幾何直觀”“借助直尺和圓規作圖的方法，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，理解三角形的周長，歸納出長方形和正方形周長的計算公式”“經歷基于給定線段用直尺和圓規畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三條邊，并說出其中的道理”。2022版課標實例中的例29（如圖1），旨在讓學生從三角形的周長入手，直觀理解圖形周長的概念。在學生進行尺規作圖之前，教師可以提出“如何將三角形的周長放在同一條直線上”這個核心問題。當學生會調用自己的知識經驗進行尺規作圖——將三角形ABC的三條邊轉化成線段AA′時，教師可以利用直觀圖（如圖2）提問：“為什么線段AA′是三角形ABC的周長？”引導學生根據作圖過程與直觀具象找到各條線段與周長之間的關聯，并展開邏輯推理：因為AB+BC+CA′=AA′，所以AA′是三角形的周長。學生發現，既然可以從點A開始依次用圓規標出所展開三角形的三條邊，那么還可以從點B依次展開，即BC+CA+AB′=BB′，BB′就是三角形的周長；從點C開始展開三角形的三條邊，那么CA+AB+BC′=CC′，CC′就是三角形的周長。這樣的尺規作圖活動，能讓學生直觀感知圖形周長的內涵，并在作圖時直觀洞察到圖形的邊展開的位置、順序雖然不同，但總長度是不變的，進而深刻領悟線段長度的可加性。

圖1

圖2

顯然，學生的思維在尺規作圖過程中有條有理，不斷地由具體直觀轉化進階為更抽象的空間形式，學生在發展幾何直觀素養的同時，也能有效地訓練邏輯思維能力。

價值3：數學析圖，讓思維有根有據。

數學識圖是讓學生形成辨識圖形外在呈現信息的數學直覺，讓數學思維有一定的直觀模型；數學作圖是促使學生將數學語言轉譯為圖形語言，讓數學思維得到有效的訓練、進階；數學析圖則是讓學生通過直觀的圖形語言進行有根有據的數學語言表達，促使學生的認知從感性層面提升到理性層面。從識圖到作圖，再到析圖，其實質是讓學生經歷從形象思維到動作思維，再到抽象邏輯思維的轉變過程。基于這樣的認識，教師要善于培養學生用數學的眼光、思維來觀察和分析圖形，從而透過直觀的“外形”洞察到內隱其中的數學性質和規律的能力，實現數學語言與圖形語言的相互轉譯，讓學生能有根有據地分析圖意，促進學生數學推理能力、空間觀念等數學素養的發展。

二、數學圖示的教學實踐新視角

1.興趣驅動：有方向識圖，促進學生直觀感知

一直以來，抽象性強、邏輯性強、枯燥無味等詞似乎成了數學的代名詞，顯然，這與教師教學方法不當有關。正所謂“興趣是最好的老師”“興趣是學生學習的重要內驅力”，教師只有立足學生的實際學情，找準學生學習的興趣點，才能有效消除學生對數學學習的恐懼與抵觸心理，促使學生能在一種和諧愉悅的氛圍中輕松地用數學的眼光觀察圖示，在直觀感知中找到數學信息，從而使得幾何直觀素養的培養成為可能。

例如，教學人教版教材二年級上冊“角的初步認識”（如圖3）時，教師先用談話的形式激趣：“孩子們，數學是我們的好朋友，它一直存在于我們的身邊，今天就到校園里找找我們的好朋友吧！瞧！數學在哪里呢？”低年級學生好奇心強，一下子就會被教師的話語吸引。這時如果沒有指向性明確的引導，很多學生的注意力就會分散。于是教師指明識圖的方向，繼續啟發：“孩子們，看看誰的眼睛最亮，看小機器人提示了什么？”學生馬上發現是“你能找到哪些角？”。“大家幫小機器人找一找，這幅圖中有哪些角？比一比，看看誰找得最多最準確。”給小機器人幫忙激發了學生的興趣，加上教師的問題驅動，學生便能有方向地開展“找角”活動。這樣的教學，能讓學生有方向地進行識圖，促使學生趣味盎然地從生活實境圖中抽象出幾何圖形，使得幾何直觀素養得以發展。如果教師沒有進行有針對性的點撥與激趣，想象力強但注意力不能持久的低年級學生會將數學課變為“看圖說話”的語文課，這顯然是“耕了別人的田，而荒了自己的地”。

圖3

2.問題驅動：有目的作圖，促使學生直觀理解

孔子曰：“不憤不啟，不悱不發。”啟發式教學，實質就是用問題驅動學生思考。然而，當前部分數學課堂還存在兩種極端：一是教師“問得多”，卻很少“問得好”；二是教師“講得多”，卻存在“沒得問”。顯然，“問得多”“沒得問”都無法驅動學生積極思考，更不用說深度學習了。課堂上一個好的問題就是一座“寶礦”。課堂教學中應盡量避免提淺顯、過于零碎的問題，而應設置指向性明確、富有挑戰性與啟發性的核心問題，以此激發學生的好奇心，激活學生的高階思維，讓學生能在“憤悱”之際有目的地通過畫圖來描述和分析問題，驅動學生的思維不斷地逼近數學知識的本質，引領學生的學習從“驗證式”向“探究式”轉換，從而讓深度學習發生，使學生走向對數學知識的深度理解。

例如，教學人教版教材四年級上冊“梯形的認識”時，教師通常會先利用教材所編排的幾幅實物圖逐步抽象出梯形，再用課件展示長方形、平行四邊形、正方形、梯形、不規則四邊形等多種圖形，最后讓學生觀察和比較，概括出梯形的概念：只有一組對邊平行的圖形叫作梯形。這樣的課堂教學看似科學合理，讓學生思維經歷了“形象—表象—抽象”的過程，然而，在后測中就會發現，多數學生對梯形的概念存在“梯形上底短、下底長和兩腰相等”這些非本質屬性的錯誤認知。顯然，學生對梯形本質屬性的感知與體驗并不充分，只是停留于直觀感性認知上。基于以上分析，教師應關注變式情境的創設，對梯形的演示應變“教師演示”為“學生畫圖”（如圖4）。在學生從實物圖中抽象出幾何圖（梯形），并給出關于梯形的描述性概念之后，教師應給出一組平行四邊形，并拋出核心問題：“你能根據梯形的特點給這些平行四邊形分別畫上一條線，讓這些平行四邊形變成兩個梯形嗎？為什么？”在這核心問題的驅動下，學生帶著對梯形概念的理解而進行有目的的作圖，使得“思考”與“作圖”同在，用概念印證圖形，以畫圖促進對梯形概念的理解與建構。有了這種多元化的、豐富的感性積累，學生便對“只有一組對邊平行”有了直觀而清晰的理解，而這一點正是梯形的本質屬性。這種在核心問題驅動下的數學作圖，能讓學生有目的、有思考地學習，在動手操作、反思內省中剔除概念中的非本質屬性，理解并建構最本質的概念屬性，助推幾何直觀素養的發展。

圖4

3.任務驅動：有針對析圖，促使學生直觀洞察

傳統的課堂大多是教師單向地進行知識的傳輸，學生被動地接收信息，這種忽視學生主體地位的課堂是不利于培育具有創新精神的新一代的。數學是一門探索性較強的學科，在課堂教學中，教師應根據教學內容的需要和學生的學情，靈活地設置一些具有目的性的探究任務，用任務來驅動學生主動積極地參與學習，發揮學生學習的主觀能動性，使其理解和內化數學知識。同樣，在學生畫圖之后，教師不能止步于畫圖本身，還應啟發學生對所作的圖進行分析、推理，實現數學語言與圖形語言的轉譯，通過深層次的析圖過程，促使學生從直觀感知走向直觀理解，再通過直觀洞察，促使學生的思維不斷地從淺層走向深刻，實現思維的進階。

例如，教學人教版教材三年級上冊“倍的認識”時，在學生對“倍”有了初步的感知之后，教師設置了任務一：“你還能創造出不一樣的3倍關系嗎？”學生給出了不同的畫法（如圖5-1、5-2）。教師還設置了任務二：“以小組為單位，說一說各個圖為什么是表示兩個數的3倍關系，以及為什么數量不一樣，表示的卻都是3倍關系？”正所謂“理越辯越清”，在思辨任務的驅動下，有一個小組總結道：“不管第一行的1份數是多少，只要第二行里含有3份第一行的數量，那么就可以說第二行的數量是第一行的3倍。”有一個小組說道：“是的，第一行的1份數可以表示任意數量的某一物體，只要第二行里含有3份第一行的物體的數量，那么第二行的數量就是第一行的3倍。”在指向性明確、針對性強的任務的驅動下，透過幾何圖形的直觀，經過對圖示的辨析，學生的洞察力越來越強，從數學語言到圖形語言，又從圖形語言到更深刻的數學規律，學生的思維不斷地從形象直觀走向邏輯抽象，高品質地發展了幾何直觀素養。

圖5 -2

圖5 -1

數學之美，不僅僅美在它的“抽象簡約”，更美在它的“直觀多姿”。在2022版課標的大背景下，教師要保持與時俱進的思想，厘定數學圖示的新價值，充分挖掘數學圖示對幾何直觀素養培養的作用，讓學生能從識圖、畫圖與析圖中，由直觀感性的認知提升到具體形象的操作，繼而實現理性邏輯思維的進階，讓核心素養的培養能真正落地。