以“領學”為助力，在數(shù)學實驗中探尋學生的已知與未知— —對“3的倍數(shù)的特征”教學的再思考

江蘇南京市櫻花小學（210042）林 超

陶行知先生指出，“做中學”中的“做”含有三種特征，分別是行動、思想、新價值產(chǎn)生。這里的“做”就是發(fā)明，是創(chuàng)造，是實驗，是建設，是生產(chǎn)，是破壞，是奮斗，是探尋出路。成尚榮先生也指出，智慧常常躲在心靈的深處，而思考是呼喚它的最好辦法和方式。可見，“實驗”與“思維”的融合確實是解決數(shù)學問題的好手段。陳家梅老師倡導的“領學制”，是變“教師教學”為“學生領學”，變“獨學”為“合學”，以“小組群體領學”的學習方式，可將“實驗”與“思維”有效串聯(lián)，能真正還學習者以主體地位，讓學生在學習共同體中汲取養(yǎng)分，從而變革傳統(tǒng)課堂的學習生態(tài)系統(tǒng)。

本文將以“3的倍數(shù)的特征”教學為例，論述如何以“領學”為助力，將“實驗”與“思維”融合。

【教學前測】

由于學生已經(jīng)認識了倍數(shù)和因數(shù)，并學習了2、5的倍數(shù)的特征，因此筆者將在本課教學的猜測環(huán)節(jié)引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生主動探究的欲望。基于此，筆者對任教班級的35名學生進行了前測，結(jié)果如表1所示。

表1 學生前測結(jié)果

可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生已學過相關內(nèi)容，但不排除有些學生是得到了他人的“劇透”，因此60%的“含金量”有待考究；在沒有接觸過相關內(nèi)容的學生中，有8.57%的學生受之前所學特征的影響，猜測3的倍數(shù)的特征可能也是看個位上的數(shù)，認為個位上的數(shù)應該是3，6，9；另有約11.43%的學生應是受到已學特征的干擾，特別是“在‘百數(shù)表’中圈數(shù)”對學生的負遷移影響較大，學生很難將“3的倍數(shù)的特征”和“各位上數(shù)的和”進行聯(lián)系，僅憑直覺進行推測；對3的倍數(shù)的特征有一定感知但表述不清或有其他表述方式的學生占20%，說明其總結(jié)歸納和語言表達能力有待加強。

筆者訪談了部分能正確表述3的倍數(shù)的特征的學生，請其說說“為什么3的倍數(shù)的特征和各位上的數(shù)存在聯(lián)系”。多數(shù)學生根本無法解釋，僅有一位學生給出了自己的理解：“我以10為例，10除以2沒有余數(shù)，除以5也沒有余數(shù)，但除以3就有余數(shù)。我想，這時就需要考慮每個數(shù)位上的數(shù)了。”雖然該學生的表達還需提煉，但其已能結(jié)合數(shù)的特征進行考慮。

有一位學生還提出了自己的困惑：“為什么所有數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)？”這一點引起了很多學生的共鳴。因為教材中并沒有提供“為什么”的說理材料，學生是通過觀察、舉例的方法得出結(jié)論后，將其作為一個結(jié)果加以記憶及應用。雖說教學中常用舉例的方法驗證猜想，但舉例驗證只能說明猜想可能是正確的，并不能得到“一定”的結(jié)論。

受此啟發(fā)，又有學生提出自己的困惑：“為什么2和5的倍數(shù)只看個位就行，不用看所有數(shù)位上的數(shù)的和呢？”

基于此，考慮到本課的學習難點，筆者期望借助“領學”，為數(shù)學實驗提供助力。

【教學片段】

“為什么3的倍數(shù)要考慮各位上數(shù)的和”的數(shù)學實驗。

出示“研習探究單”（如圖1）：

圖1

組內(nèi)“領學者”（組長）根據(jù)前測時掌握的每位學習者（組員）對知識的掌握情況，引導學習者（組員）選擇適合自己的“領學”任務，使得人人都可成為某個實驗環(huán)節(jié)的“領學者”。

A組“領學”：

生1（領學者）：這兩個數(shù)字分別是441和527。我們小組以441為例進行實驗研究。如果參考2和5的倍數(shù)的特征，441個位上是1，1除以3除不盡，我們小組就想，要不再看十位上的4，但4除以3也除不盡，百位上也遇到了相同的問題。

師：明白他們小組的意思了嗎？

生2（學習者1）：我來補充。我們小組的意思是個位上的1除以3有余數(shù)；十位上的4除以3，可以理解為40除以3，也有余數(shù)；百位上的4除以3，就是400除以3，還是有余數(shù)。

生3（學習者2）：這樣的話，每個數(shù)位上都有余數(shù)，這就不像2和5的倍數(shù)，個位上的數(shù)都能整除。這時就要看各數(shù)位上的數(shù)是幾，再把這些數(shù)相加。

師：根據(jù)之前的猜想，3的倍數(shù)的特征是要把各數(shù)位上的數(shù)相加。根據(jù)你們組的想法，這和每個數(shù)位上的余數(shù)有沒有關系？

生（學習者3）：我們小組是從方塊圖（如圖2）中得到了啟發(fā)，可以把每個數(shù)位分開來看。百位上的4不要一下子全分完，可以1個百1個百地分，每個百除以3都余1，4個百就余下4個1；十位上的4也是1個十1個十地分，每個十除以3也都余1，最后也余下4個1；個位上的數(shù)本來就是幾個1，就不用分了，那么多出來的就是4+4+1=9，9能被3整除，這就和3的倍數(shù)的特征一樣了。

圖2

生1（領學者）：也就是把每個數(shù)位上的數(shù)除以3后，多出來的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判斷這個數(shù)能不能被3整除了。要不換個數(shù)再驗證？

B組“領學”：

生1（領學者）：我們小組認為527不是3的倍數(shù)，我們也同意A組的發(fā)現(xiàn)。527百位上是5，因為100除以3余1，5個百就會余5個1；十位上是2，1個十除以3余1，2個十就會余2個1；個位上的7表示7個1。

生（2學習者1）：請大家看我們組的方塊圖（如圖3），只要看多出的部分就行了。5+2+7=14，14不是3的倍數(shù)。

圖3

生3（學習者2）：我們還有一個有趣的發(fā)現(xiàn)。我們一直以為判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，只要把各數(shù)位上的數(shù)加起來就行，但今天才發(fā)現(xiàn)，需要的數(shù)并不是各數(shù)位上的數(shù)的和，而是各數(shù)位上的數(shù)的和除以3之后的余數(shù)。

師：明白他們的意思嗎？

生4（學習者3）：也就是有幾個計數(shù)單位就會多幾個1。比如百位上是8，每個百除以3都余1，8個百就會余8個1。其實我們加的是每個計數(shù)單位上的數(shù)除以3之后的余數(shù)。

師：你們的發(fā)現(xiàn)真了不起！現(xiàn)在大家明白3的倍數(shù)的特征的道理了嗎？

“組際交流”：

生1：通過今天的學習，我想到這個方法也可以用在2和5的倍數(shù)的特征上。我昨天學的時候就一直在想，為什么檢驗是不是2的倍數(shù)、5的倍數(shù)只要看個位，不用看前面的數(shù)，剛才聽了A組和B組的匯報才想通。我和我的組員們還進行了實驗。

生2：以238為例，我們畫了一幅示意圖（如圖4）。百位上的2表示2個百，因為100÷2=50，所以百位上無論是幾，都是2的倍數(shù)；十位上的3表示3個十，10÷2=5，所以十位上的數(shù)也肯定是2的倍數(shù)，都能分完。

圖4

師：照這樣的分法，百位和十位上的數(shù)除以2的余數(shù)肯定是幾？

生3：百位上無論是幾個百，每個百都能分完，余數(shù)是0，十位上也一樣。

師：照這個思路，還有哪些數(shù)位上的余數(shù)也會是0？

生4：千位、萬位……因為更高數(shù)位上的計數(shù)單位都可以看成幾個千、幾個萬，所以都能被2整除，余數(shù)為0。

生5：只有個位的余數(shù)不能確定。因為個位上的數(shù)除以2，要么能整除，要么余1。

師：那個位是什么數(shù)的情況下沒有余數(shù)？

生6：個位上是0、2、4、6、8時沒有余數(shù)，是1、3、5、7、9時有余數(shù)。因此2的倍數(shù)的特征只需要看個位。

生7：5的情況和2一樣，個位之前的數(shù)位余數(shù)肯定都是0，只要看個位就行了。

……

以上教學借助三次互學活動，驅(qū)動學生以自己的實驗生成自己的數(shù)學感悟，解釋了“為什么3的倍數(shù)要考慮各數(shù)位上的數(shù)的和”。在思維聚焦的過程中，有的學生已經(jīng)在反思“為什么2、5的倍數(shù)只需要看個位上的數(shù)字”。可見，在考慮到學生“已知”和“未知”的需求基礎上，通過設置挑戰(zhàn)性的任務，能讓學生在數(shù)學實驗中探究知識的本質(zhì)，生成多元的思考；通過“領學”式的互學，學生能夠?qū)诵膯栴}有個性化的思考和表達；通過延展探究式的推理，學生能夠基于自身的學習基礎及經(jīng)驗進行結(jié)構化展示并形成對問題本質(zhì)的思考。

【教學反思】

1.“做”中見行動，嵌入單項實驗，促“領學”開展

楊九俊先生指出，“領學制”的課堂重構了學習小組的關系，“領學組”與“學習組”之間的交流，不僅僅體現(xiàn)在“領”，更有“引”的意蘊。佐藤學也指出，真正的學習是一種對話與修煉的過程。也就是學生之間的互學，其意義遠勝于教師的教。但是，若是學生的互學始終貫穿于全程，則會脫離教師的指導，容易失去方向。因此，教師可以針對教材中的某個環(huán)節(jié)設計單項實驗：可以圍繞一個知識點開展，引導學生直接指向?qū)δ硞€數(shù)學內(nèi)容的求解。

在A組“領學”時，對于“441是否是3的倍數(shù)”這個數(shù)學實驗，筆者認為最為關鍵的是問題的生成，因為問題是從學生的已知與未知中提煉出來的，對學生而言，提出問題才是學習的開始。

因此，在實驗之前，筆者設計了相應的學習要求，并預設了實驗時的“領學”、互學成效（如圖5）。此時，無論是“領學者”還是學習者，交流的對象由教師轉(zhuǎn)變?yōu)橥椋麄儾槐負膯栴}的質(zhì)量高低，也不必擔心交流受限，更多的時候可以在問題的啟迪下，產(chǎn)生更多的新問題，在心理放松的同時，增進了彼此的學習能力。

圖5

由圖5可知，在互學時，學生可在組內(nèi)先行提出問題并在組內(nèi)解決，以增強組內(nèi)學習的自信心；在組際交流時，可著重交流本組尚未解決的問題。這就需要教師在實施“領學”時重構“群”與“個”的關系，不僅要關注“領學者”的表達過程，還要關注學習者的思考過程。

2.“做”中見思想，建構組塊實驗，促核心聚焦

陳家梅老師指出，“領學制”的實施，讓學生在探究中學習，在提問中學習，在交往中學習。從A組“領學”到B組“領學”的自然過渡，是因為“領學者”在知識的核心處提出了問題“也就是把每個數(shù)位上的數(shù)除以3后，多出來的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判斷這個數(shù)能不能被3整除了。要不換個數(shù)再進行驗證？”，將研究視角從“結(jié)論的字面意義”轉(zhuǎn)向了“各數(shù)位上數(shù)的和”，進而為概括出3的倍數(shù)的特征的真實意義并由此形成的判斷方法埋下伏筆。這樣的教學轉(zhuǎn)化非常契合小學數(shù)學實驗的內(nèi)涵，因其本身就強調(diào)引導學生通過操作、觀察、分析、猜想和推理等數(shù)學活動，經(jīng)歷數(shù)學知識“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”的過程，親身體驗數(shù)學、理解數(shù)學。

學生因受除法運算思維的影響，習慣把一個數(shù)看成整體后進行平均分，而要感悟3的倍數(shù)的特征及2、5的倍數(shù)的特征則需要把每個數(shù)位上的計數(shù)單位進行平均分，如除了個位，每個數(shù)位上的計數(shù)單位都能平均分成2份或5份，因此判斷是不是2、5的倍數(shù)，只需要關注個位。同樣的方法也適用于解釋3的倍數(shù)的特征。溝通這些關系的過程正是教學片段中的三次“領學”。

隨著數(shù)學實驗不斷增加，問題的范圍也不斷擴大，因此在組內(nèi)互學階段，組員需在“領學者”的引導下在小組內(nèi)對問題進行判斷與篩選、組織與聚焦，并在后續(xù)的組際交流中確立核心問題。

3.“做”中見價值，善用“先期學習”，促思維提升

在前測時，60%的學生通過課外的學習已能正確表述特征，俞正強老師將這樣的學習稱為“先期學習”，即以某知識點為對象，在教師還沒有組織全班學生進行系統(tǒng)學習之前，學生在已具備學習能力的基礎上，已經(jīng)以個體的方式對該知識進行了一定程度的學習，從而形成個性化的理解。這種現(xiàn)象其實也是當前學習型社會的必然結(jié)果。因此，陳家梅老師指出，考慮到學生存在“先期學習”的情況，在課程知識的精準掌握階段，由“領學組”承擔教學任務相當于新授課環(huán)節(jié)。教師需指導“領學組“提煉問題、提問以及進行目標檢測等，“領學組”還要篩選目標檢測題（這一環(huán)節(jié)也可以放在課前，由師生共同完成）。

學生的“先期學習”在給教師組織課堂教學提出挑戰(zhàn)的同時，也為教師調(diào)整組織方式、轉(zhuǎn)變學習形態(tài)提供了契機。教師需要接納學生的先期學習成果，要試著對學生的先期學習做出診斷，以完善他們的學習成果，彌合個體之間的差距，而“領學”的方式此刻最能激勵學生的學習熱情，促進學生帶著更多的學習成果來到課堂上交流。

綜上，教師既要關注學生的想法，又要關注學生潛在的、尚未表達的想法。“領學制”可以引領學生把注意力從教師身上轉(zhuǎn)移到其自身，在同伴互助與支持下學習。這種由學生“領學”的模式更能凸顯數(shù)學問題的聚焦性。正如郭慶松老師所指出的：要讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識探究和發(fā)現(xiàn)的過程，體會數(shù)學內(nèi)在的邏輯與結(jié)構，還要讓學生通過對所學知識的闡述，學會有條理地進行數(shù)學表達。