三維非線性預設性能制導律設計

唐 驍, 葉繼坤, 李 旭

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

在對高速機動目標攔截的末制導段,常把導彈與機動目標之間的最終脫靶距離作為設計制導律的一個重要指標。除此之外,還要實現對目標的直接碰撞攔截,這就要求攔截彈以特定的攻擊角度攻擊目標,以提高直接碰撞的成功率,所以需要設計出滿足攻擊角約束的三維制導律。

在對滿足攻擊角約束的制導律的研究中通常把攻擊角約束轉化為相應的終端視線角約束，因為滑模控制對系統不確定性具有魯棒性和易于實現的特點,許多具有終端視線角約束的制導律都是基于滑?？刂苼碓O計的。基于滑?？刂频闹茖稍O計包括兩個部分:滑模面的設計和趨近律的設計,設計滑模面來保證構成滑模面的各項可以收斂到預定的值,如系統狀態和跟蹤誤差,滑模面的形式是多樣的,常用的有線性滑模、非奇異終端滑模、積分滑模、分數階滑模,滑模趨近律主要有等速趨近律、指數趨近律和一般趨近律,其目的是使滑模變量快速收斂以保證系統狀態快速到達滑模面。

在滑模制導律的設計中,滑模變量的收斂性能可以通過調整趨近律的參數實現,但是基于李雅普諾夫理論和有限時間收斂理論設計的趨近律在不同攔截條件下同一組參數無法保證同樣的收斂效果,找到合適的參數來保證滑模變量的瞬態收斂性能并不容易,特別是在末制導開始的階段。

近年來,預設性能控制(prescribed performance control, PPC)已被廣泛應用于制導控制系統設計中,文獻[14]利用預設性能方法將航天器姿態跟蹤誤差限制在預設范圍內,文獻[15]針對高超聲速飛行器高度控制提出PPC方法,保證了期望的動態性能和穩態精度。

基于PPC理論,跟蹤誤差可以按性能函數預先定義的收斂范圍去收斂,為誤差收斂的瞬態與穩態性能提供了一種簡便的方法,本文將一種改進的性能函數應用于具有視線角約束的三維制導律設計中,使滑模變量按預設性能收斂。

為了提高制導律在實際應用中的性能,設計了有限時間觀測器,結合微分跟蹤器,在存在測量噪聲的情況下精確估計目標信息,補償制導律中由目標加速度引起的不確定項,保證制導律的有效執行。

本文首先建立了視線坐標系和三維攔截模型。然后,介紹了PPC理論,并給出所使用的性能函數形式。其次,詳細推導了預設性能制導律(prescribed performance control guidance law, PPCG),分析制導律的穩定性。最后,介紹了干擾觀測,并進行了數值仿真。

1 三維空間內彈目相對運動模型

相對于二維彈目運動模型,三維彈目相對運動的描述需要建立更復雜的空間坐標系,如圖1所示。

圖1 三維彈目相對運動示意圖Fig.1 Schematic diagram of three-dimensional relative motion of projectile

(1)

三維空間內描述導彈與目標相對運動的矢量方程如下:

(2)

(3)

式中:和分別表示導彈與目標的速度與加速度矢量。對式在視線坐標系下投影可得

(4)

將式(4)代入式(3)可得到三維空間的彈目相對運動方程:

(5)

(6)

2 PPC基礎理論

2.1 性能函數

通過引入性能函數,對跟蹤誤差()的瞬態和穩態性能進行設定,性能函數定義如下。

連續函數:→稱為性能函數,滿足:

(1)()是正的且嚴格遞減;

在初始誤差(0)已知的前提下,給出如下形式的不等式約束:

(7)

式中:∈[0,∞);∈[0,1]。

本文選取性能函數的形式為

()=(-)exp(-)+

(8)

如果不等式(7)成立,則誤差曲線將被限制在-() 和()之間;另外,結合()的遞減特性可知,誤差()將在-() 和()的夾逼作用下迅速收斂到0的一個小領域內。常數表示預先設定的穩態誤差上界,()的衰減速度為跟蹤誤差()收斂速度的下界,同時跟蹤誤差的最大超調量不會大于(0),因此可以通過選擇適當的性能函數()和常數對跟蹤誤差的穩態和瞬態進行限制。

2.2 誤差轉換

在系統設計過程中,直接對不等式約束進行處理的難度非常大,均采用如下形式的誤差變換函數(),將不等式約束轉換為等式約束再進行處理,定義誤差變換函數為

(9)

式中:,為設計的正常數。式(9)滿足:

-<()<

(10)

(11)

函數()除具有誤差變換函數所要求的所有性質外,又因為?∈(-∞,+∞),d()d>0是有界的,所以()是充分光滑的且嚴格單調遞增有界。

跟蹤誤差和變換誤差的關系可以表示為

()=()()

(12)

對誤差變換函數()進行化簡:

(13)

可以得到()的逆函數:

(14)

令=表示函數的逆函數,則式(12)可以等價表示為

=()

(15)

={∈∶-<()<}

3 制導律設計

帶攻擊角度約束的三維PPCG分別在視線俯仰平面和視線偏航平面內設計滑模變量和:

=++

(16)

=++

(17)

式中:、、、分別為大于零的常數且滿足Hurwitz穩定。當=0,=0成立時,、、、在有限時間內趨近于0。

3.1 視線俯仰平面制導律設計

在視線俯仰平面內設計制導律,針對滑模變量,設跟蹤誤差為=-0,對跟蹤誤差求導可得

(18)

利用誤差轉換函數:

(19)

()=(-)exp(-)+

(20)

對進行誤差轉化,,為設計的正常數,為性能函數,、、為設計的正常數。

(21)

對式(21)兩邊對時間求導,得到

(22)

結合三維制導模型式(6)和轉換后的誤差方程式(22),可以得到視線俯仰平面內的制導系統模型為

(23)

(24)

式中:=dd()>0;>0。

(25)

3.2 視線偏航平面制導律設計

在視線偏航平面內,針對滑模變量,設跟蹤誤差為=-0,對求導可得

(26)

利用誤差轉換函數:

(27)

(28)

對式(28)兩邊對時間求導,得到

(29)

視線偏航平面內的制導系統模型為

(30)

將式(26)代入式(29),得到

(31)

(32)

3.3 制導律穩定性證明

選取Lyapunov函數為

(33)

對式(33)兩邊對時間求導,得到

(34)

將式(24)和式(31)代入式(34),得到

(35)

(36)

(37)

對于視線俯仰平面內,由于有界,所以由誤差函數的性質可得誤差狀態量滿足預設的瞬態和穩態性能,將在有限的時間內以預設性能收斂。

以此類推,對于在視線偏航平面內,有界,將在有限的時間內以預設性能收斂。

4 目標信息估計

在對目標的攔截過程中,導引頭獲取的目標信息有限且帶有測量噪聲,視線角的微分信號難以提取,目標加速度更無法測量,通常利用觀測器進行估計。本文采用有限時間觀測器進行估計,本節只給出視線俯仰平面中的有限時間觀測器具體形式。

根據第1節給出的含攻擊角度約束的制導模型:

(38)

構建狀態估計方程:

(39)

為的估計值,估計誤差為

=-

(40)

構建終端滑模面:

(41)

(42)

選擇Lyapunov函數:

(43)

對式(43)求導可得

(44)

將式(41)、式(42)代入式(44)可得

(45)

取擾動估計值為

(46)

代入式(45)可得

(47)

(48)

式中:>0,>0為目標加速度的上界;max、max分別為目標和導彈最大速度,彈目距離滿足≥,為導引頭盲區距離,在盲區內,導彈依靠慣性飛行,由此可得

(49)

(50)

利用跟蹤微分濾波器,可得濾波后的視線角速率以及視線角速率的微分信號:

(51)

(52)

5 仿真分析

為驗證PPCG的有效性,本節將設置目標圓弧機動和螺旋機動兩種模式下對PPCG進行仿真;為了突出PPCG的特點,在相同仿真條件下與快速終端滑模制導律進行了對比,最后驗證了有限時間觀測器對目標信息的估計性能。

5.1 不同機動模式對比仿真

(53)

預設性能參數設置如表1所示。

表1 預設性能參數

目標在縱向和側向平面分別做 =2, =2的圓弧機動,仿真結果如圖2所示。

圖2 圓弧機動彈道軌跡曲線Fig.2 Arc maneuver ballistic trajectory curve

仿真結果如圖2～圖7所示,整個攔截過程持續時間為21.515 s,最終脫靶量為0.018 m,說明本文所設計的三維PPCG能夠滿足對常值機動目標的精確打擊需求。圖4表示視線俯仰和視線偏航平面的滑模變量變化曲線,可以看出在PPCG的作用下滑模變量可以在預設性能范圍內實現收斂,收斂時間約為2.8 s,滑模變量在收斂過程中變化平緩,且收斂之后能繼續保持光滑且無抖振。由圖5可以看出,視線俯仰和視線偏航平面內視線角速率的收斂特性與滑模變量基本一致。由圖6可以看出,視線傾角和視線偏角都能在有限時間內收斂到期望值附近,滿足攔截的末端視線角約束要求。圖7為導彈在視線俯仰和視線偏航平面過載變化曲線,在制導初始階段過載出現短暫的飽和,但隨著滑模面的收斂,兩個平面內的過載曲線也都快速收斂,這反映了PPCG在攔截機動目標時的有效性。

圖3 圓弧機動彈目距離曲線Fig.3 Arc maneuver curve of projectile distance

圖4 圓弧機動滑模面變化曲線Fig.4 Arc maneuver change curve of sliding surface

圖5 圓弧機動視線角速率曲線Fig.5 Arc maneuver angular rate curve of line of sight

圖6 圓弧機動視線角曲線Fig.6 Arc maneuver line of sight Angle curve

圖7 圓弧機動導彈過載曲線Fig.7 Arc maneuver missile overload curve

目標在兩個平面分別做 =5sin(π4), =5cos(π4)的螺旋機動。

圖8～圖12給出了三維空間中攔截螺旋機動目標的仿真曲線,攔截時間為16.183 s,命中目標時脫靶量為0.250 m,不難看出,在預設性能制導律的作用下,即使攔截螺旋機動目標,也能保證滑模變量在預設性能范圍內收斂,同時也能使視線角收斂到期望值,視線俯仰和視線偏航平面的過載曲線也都快速跟蹤上各自平面內的目標機動,體現了預設性能制導律良好的制導穩定性。

圖8 螺旋機動彈道軌跡曲線Fig.8 Spiral maneuve ballistic trajectory curve

圖9 螺旋機動滑模面變化曲線Fig.9 Spiral maneuve change curve of sliding surface

圖10 螺旋機動視線角曲線Fig.10 Spiral maneuver line of sight Angle curve

圖11 螺旋機動導彈過載曲線Fig.11 Spiral maneuve missile overload curve

圖12 螺旋機動視線角速率曲線Fig.12 Spiral maneuve angular rate curve of line of sight

5.2 不同制導律性能對比

為進一步說明本文設計的PPCG的優越性,將其與文獻[22]提出的基于非奇異快速終端滑模和改進超螺旋算法的超螺旋終端滑模制導律(finite time superspiral sliding mode guidance law, FTSSMG)進行仿真對比,仿真條件同情境2,仿真結果如圖13～圖15所示。

圖13 彈道軌跡曲線對比Fig.13 Ballistic trajectory curve comparison

圖14 導彈過載曲線對比Fig.14 Missile overload curve comparison

圖15 滑模面變化曲線對此Fig.15 Change curve of sliding surface comparison

由仿真結果可以看出,整體而言,FTSSMG和PPCG都具有良好的有限時間收斂特性,攔截時間和脫靶量相差不大,能夠滿足機動目標攔截要求。但具體來看,FTSSMG的滑模變量收斂的暫態性能和穩態性能都不如PPCG, PPCG滑模變量按預設性能收斂,收斂精度要高于FTSSMG(見圖15),在收斂速度方面,PPCG也要快于FTSSMG,FTSSMG在制導初始階段的滑模變量變化和過載變化都不如PPCG平滑,FTSSMG的過載在正負飽和值之間出現跳變,而且飽和值持續時間更長,相比之下PPCG更有利于彈上執行。

5.3 目標信息估計仿真分析

為了驗證第4節設計的有限時間觀測器的有效性,給視線角速率加均方差為1.06×10rad/s的高斯白噪聲,有限時間觀測器參數設置為=3,=0005,=1,=01,=3,=5,其余仿真條件同情境2,由于仿真結果相似,因此這里僅給出視線角速率及目標加速度估計曲線,如圖16和圖17所示。

圖16 目標螺旋機動視線角速率Fig.16 Angular line of sight rate of target spiral maneuver

圖17 目標加速度估計曲線Fig.17 Estimation curve of target acceleration

由圖18可知,估計誤差能夠在1.8 s內收斂,利用有限時間觀測器輸出的目標信息補償PPCG中的不確定項,在有測量誤差的情況下仍能成功攔截目標,目標做螺旋機動時的脫靶量為0.361 m,攔截時間為16.333 s。因此,有限時間觀測器具有良好視線角速率濾波特性及不確定性補償能力。

圖18 估計誤差曲線Fig.18 Estimation error curve

6 結 論

針對機動目標攔截攻擊角度約束制導問題,本文基于預設性能控制理論,考慮三維空間內的耦合制導模型,提出一種三維PPCG,并基于二次型Lyapunov函數證明了穩定性。PPCG能夠提高制導指令的瞬態性能,避免了過載劇烈變化;滑模變量的收斂參數可以根據預先設計的性能函數進行解析確定;同一組參數,在不同攔截條件下,滑模變量仍能達到規定的收斂效果。其次,PPCG的實現需要較多的彈目運動信息,為了提高目標攔截精度,提出了一種新的有限時間狀態觀測器來估計目標加速度并對滑模制導律進行補償,用Lyapunov函數證明了觀測器閉環系統的穩定性,仿真結果驗證了所提方法的有效性。