快速收斂仿射投影算法在稀疏水聲信道的應用

寧小玲, 童繼進, 張林森, 羅亞松, 程 晗

(海軍工程大學兵器工程學院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

淺海中的聲傳播受到水體和上下邊界的共同作用,產生時延、衰減和多個信號疊加等現象。造成這些現象的原因有淺海水聲信道所具有特殊的聲速剖面結構,以及海底介質的衰減特性對聲傳播損失造成的影響,更為重要是由聲波受到海面、海底的單次或多次反復的反射而在接收點疊加所造成的多徑效應[1-2]。水聲通信的進展使人們能夠在淺水信道中進行高速數據應用[3],但如果不特別注意信道的估計與均衡算法,則會使相干接收機過于復雜。通過利用水聲信道的稀疏多徑結構,可以改善信道跟蹤并降低接收器的復雜度[4]。面對稀疏的水聲信道,考慮到線性算法復雜度,出現了基于仿射投影算法(affine projection algorithm, APA)的稀疏算法[5-23]。文獻[5]將改進比例APA(improved proportional APA, IPAPA)成功應用于淺水信道數據鏈。文獻[6-11] 在IPAPA的基礎上進行改進,提出了非均勻范數約束的稀疏水聲信道估計算法。文獻[12-16]提出了IPAPA,在稀疏系統自適應辨識的背景下驗證算法的性能。文獻[17]在最小均方(least mean square,LMS)算法和APA的基礎上,提出了改進的自適應算法,并應用于自適應判決反饋均衡器得到更低的誤碼率。文獻[18-22]在電子回聲消除應用中,為提高自適應算法的收斂速度,提出了改進的APA及其快速實現方法。

本文首先在文獻[5]IPAPA算法的基礎上引入變步長算法,提高算法的收斂速度，并在此變步長比例APA基礎上,引入判決反饋均衡器(decision feedback equalization, DFE)結構,進一步改善算法收斂后的穩態誤差；然后通過對兩種典型的稀疏水聲信道模型采用正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)和16進制的正交幅度調制(16 quadrature amplitude modulation,16QAM)信號對算法收斂性能進行仿真,以驗證算法的有效性。

1 新的比例APA

APA[24-25]重復利用過去的數據信號,以提高自適應濾波算法的收斂速度,是一種數據重用算法,數據重用算法被認為是在輸入信號具有相關性情況下的提高自適應濾波算法收斂速度的方法之一。

與LMS算法不同的是,APA均衡器的輸入是N×L維的輸入信號向量矩陣XNL(k)。將k時刻的前L個輸入信號向量寫為如下的矩陣形式:

XNL(k)=[XN(k),XN(k-1),…,XN(k-L+1)]

式中:XN(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-N+1)]T。

APA權值迭代方程為

(1)

式中:W(k)=[w0(k),w1(k), …,wN-1(k)]T是N×1維的濾波器權值向量;N是均衡濾波器的長度;λ是歸一化因子;μ為算法的步長因子；e(k)為誤差向量。

APA是在歸一化LMS(normalized LMS, NLMS)算法的基礎上以增加計算復雜度的代價進一步提高了收斂速度,在此情況下,為適當減小計算復雜度,又不影響算法收斂速度,文獻[5]提出了IPAPA,該算法通過引進一個對角矩陣G(k),使算法的權值迭代方程變為

W(k+1)=W(k)+μG(k)XNL(k)B(k)e(k)

(2)

對角矩陣G(k)的表達式為

G(k)=diag[g0(k),g1(k),…,gi(k),…,gN-1(k)]

(3)

(4)

式中:參數α為一個小的正數,避免算法的初始收斂階段使算式的分母為零;參數β控制W(k)的稀疏度,對于稀疏水聲信道,β接近 1;對于非稀疏信道,β接近-1,所以β的取值范圍為-1≤β<1;ωi(k)為權向量W(k)中的第i個值。

APA通過數據的重用提高了算法的收斂速度,但是代價之一是增加了算法的失調[18,26-27]。因此,本文通過引進變步長μk來實現最終的失調和收斂速度之間的平衡。權值更新迭代方程為

W(k+1)=W(k)+μkG(k)XNL(k)B(k)e(k)

(5)

μk=ηexp(-ζ|e(k)|γ)|e(k)|γ-1

(6)

式中:γ是形狀參數,算法的收斂快慢依靠參數γ的適當選擇;η是步長參數,控制μk的取值范圍;ζ也是步長參數,控制算法的收斂快慢。這時把新的快速收斂比例APA記為VSIPAPA算法。

在信道失真嚴重的情況下,非線性結構的DFE被廣泛采用[24,28-29]。這種結構的均衡器對信號幅度畸變和噪聲增強具有良好的補償效果,且對信號采樣相位不敏感[25]。基于此,本文在上述VSIPAPA算法的基礎上,引入DFE結構,于是,我們得到VSIPAPA-DFE算法的迭代過程為

(7)

e(k)=d(k)-yi(k)+yb(k)

(8)

(9)

式中:Wi(k)為Ni維的前饋濾波器權值向量，其輸入為Ni×L輸入信號向量矩陣XNL(k);XNL(k)經過前饋濾波器Wi(k)濾波消除多徑效應的影響;Wb(k)為Nb維的反饋濾波器權值向量,與前饋濾波器配合共同完成抗多徑的任務；D(k)為Nb維的向量,表示判決器Qu恢復出的信息；參數μk和ρ分別為前饋濾波器和反饋濾波器的步長因子。

2 算法性能比較與分析

2.1 新算法的收斂性能分析

本文提出的新算法VSIPAPA算法涉及的變量較多,首先分析η、γ以及ζ的選擇對算法收斂性能的影響。仿真初始條件:SNR=25 dB,QPSK調制信號,水聲信道模型采用典型的稀疏多徑水聲信道H1(z)=1-0.5z-14+0.4z-18[30 ],各均衡器抽頭個數取M=82。仿真結果如圖1所示。

(1) 變化η值。分別取η1=0.12,η2=0.08,η3=0.05時,其他參數保持不變(L=4,γ=2,ζ=0.8)時,得到的均方誤差收斂曲線如圖1(a)所示。可以看出,當步長η逐漸增大時,算法的收斂速度逐漸增快。

(2) 變化γ值。分別取γ1=2,γ2=3,γ3=4,γ4=5,其他參數保持不變(L=4,η=0.08,ζ=0.8)時,得到的均方誤差收斂曲線如圖1(b)所示。可以看出,在信道1的環境下,當步長γ逐漸增大時,算法的收斂速度卻逐漸減慢,隨著迭代次數的增加,收斂穩定后的均方誤差相當,所以,在信道1這樣的稀疏多徑信道環境下,取最佳值γ=2。

(3) 變化ζ值。分別取ζ1=1,ζ2=0.8,ζ3=0.5,ζ4=0.2,其他參數保持不變(L=4,η=0.08,γ=3)時,得到的均方誤差收斂曲線如圖1(c)所示。可以看出,當步長ζ逐漸減小時,算法的收斂速度卻逐漸增快,隨著迭代次數的增加,收斂穩定后的均方誤差相當。但仿真發現,步長ζ較小(ζ<0.2)時,算法的收斂曲線將變得發散,所以,一般取ζ∈[0.2,1]。

2.2 APA類算法與LMS和 RLS算法的比較

在信道1仿真條件下,SNR=25 dB,分別采用QPSK和16QAM兩種調制信號,對LMS算法、NLMS算法、APA算法、IPAPA算法、VS-IPAPA算法以及遞歸最小二乘(recursive least square, RLS)算法進行比較。均衡器抽頭個數取M=82。仿真結果如圖2所示。

圖2顯示,在信道1以及兩種調制方式仿真條件下,LMS、NLMS、APA、IPAPA、VSIPAPA以及RLS算法的收斂趨勢相同,都是收斂速度依次增強,且收斂后各算法的穩態誤差幾乎相當,分別為-12 dB和8 dB。在迭代次數為1 000次時,可以得到在QPSK和16QAM調制方式時的各算法的穩態誤差分別如表1所示。從表1也可看出,在迭代1 000次時,LMS、NLMS、APA、IPAPA、VSIPAPA以及RLS算法的穩態誤差依次減小,這也證實了各算法的收斂速度依次增強。

表1 迭代1 000次各算法穩態誤差

NLMS算法的收斂速度通常比LMS算法更快,因為其在使瞬時輸出誤差最小化時,采用了可變收斂因子。APA算法在NLMS 算法的基礎上通過重復利用數據增加計算復雜度的代價進一步提高收斂速度。IPAPA算法在不降低算法收斂性能的基礎上,適當減小計算復雜度。VSIPAPA算法在IPAPA算法基礎上通過引進變步長μk來實現最終的失調和收斂速度之間的平衡,提高了收斂速度。RLS算法即使在輸入信號相關矩陣的特征值擴展比較大的情況下都能實現快速收斂。綜合以上仿真結果可以看出,隨著調制信號的復雜化,VSIPAPA算法的收斂性都與RLS相當,可見,VSIPAPA算法具有很好的收斂性能。

2.3 基于DFE結構的算法性能比較

在信道1和信道2兩種稀疏多徑水聲信道仿真條件下進行DFE結構的算法仿真性能比較,信道2為H1(z)=1-0.5z-16+0.2z-27[31],且SNR=25 dB,采用QPSK信號,對LMS算法、VSIPAPA算法、 RLS算法、LMS-DFE算法、VS-IPAPA-DFE算法以及RLS-DFE算法的收斂性能進行比較。LMS算法、VSIPAPA算法、 RLS算法均衡器抽頭數為M=82,DFE結構均衡器前饋濾波器權值向量Mi=33和反饋濾波器權值向量為Mb=33。仿真結果如圖3所示。

從圖3(a)可以看出, LMS-DFE算法、 VSIPAPA-DFE 算法和RLS-DFE算法相比LMS算法和 VSIPAPA 算法以及RLS算法增加了DFE,對信道1嚴重的頻率選擇性衰落有較好的克服能力,均衡效果要好得多,具體表現為:LMS-DFE算法 和 VSIPAPA-DFE 算法收斂后的穩態誤差相同,均為約-20 dB,RLS-DFE算法收斂后的穩態誤差約為-19 dB,相比非DFE結構的LMS算法和RLS算法收斂后穩態誤差(約-12 dB),分別減小了8 dB和7 dB;且LMS-DFE算法、VSIPAPA-DFE 算法以及RLS-DFE算法收斂速度變化趨勢也是依次增強。

從圖3(b)可以看出,在信道2仿真環境下,LMS-DFE 算法和 VSIPAPA-DFE 算法以及RLS-DFE算法收斂后的穩態誤差約為-20 dB,相比非DFE結構的LMS等3種算法的穩態誤差(約為-17.5 dB),減小了2.5 dB;非DFE結構的LMS 3種算法收斂速度依次增強,DFE結構的LMS-DFE等3種算法收斂速度也依次增強;值得注意的是在信道2環境中,VSIPAPA算法和RLS算法的收斂速度非常接近。

所以,綜合圖2和圖3的結果分析,可以得出結論:在稀疏多徑水聲環境中,VS-IPAPA算法具有和RLS 算法相當的收斂性能,是一種可替代的算法。

3 結 論

本文通過在IPAPA算法的基礎上引入變步長算法,提出了VS-IPAPA算法,以改善算法的收斂速度。在此算法的基礎上,引入DFE結構,得到VSIPAPA-DFE算法,進一步改善算法收斂后的穩態誤差。并通過選擇兩種典型的稀疏水聲信道和兩種調制信號進行了仿真研究,新算法均表現出良好的收斂性能,新算法優于已有的LMS類算法,與RLS算法相比性能相當。且VSIPAPA-DFE算法與LMS-DFE算法和RLS-DFE算法相比,其收斂趨勢與非DFE結構的各算法的收斂趨勢是相同的,VS-IPAPA算法具有和RLS算法相當的收斂性能,是一種可替代的算法。