光滑水平圓形管道內兩球碰撞的速度規律剖析

洪英蘭 王偉民

（1.福建省三明市第二中學，福建 三明 365000；2.安徽省太和縣宮集鎮中心學校，安徽 太和 236652）

從一道碰撞題目涉及的物理情景說起——

例1.如圖1所示，在水平面上固定著一個半徑為R的內壁光滑的圓管軌道（R遠大于圓管直徑）A、B、C、D4個點將圓軌道等分為4等份，在軌道的A點靜止放著一個甲球，某一時刻另一個乙球從D點以速度v沿順時針方向運動，與甲球發生彈性碰撞，小球（可視為質點）直徑略小于軌道內徑，已知m甲=7m乙，從第1次碰撞開始計數，試確定甲乙兩球第2022次碰撞的位置及這次碰撞后兩球的速度.

圖1

因為管道是水平光滑的，兩球發生的是正向完全彈性碰撞，所以，從第1次碰撞開始，在每次碰撞前后，兩球組成的系統不僅動量和動能分別守恒，系統的機械能也守恒，因此，無論經過多少次碰撞，一定不存在兩球都靜止的情況.又因為兩球發生彈性碰撞之后，不存在二者等速且同方向運動的情形（只有這樣的情形，兩球在管道內才不會繼續碰撞），所以，兩球在水平光滑管道內的碰撞會無止境地進行下去.

題目給出的問題是確定2022次碰撞后兩球的速度情況，如果以兩球的初始速度為條件，根據彈性碰撞的兩球組成系統碰撞前后動量守恒，動能也守恒的規律，可以建立方程組求解第1次碰撞后兩球的速度，再以第1次碰撞后兩球的速度為條件，用同樣的方法可以求解第2次碰撞后兩球的速度……，但是，用這樣依次遞推的方法去求解第2022次碰撞后兩球速度的做法顯然是不現實的，只有探尋出兩球在水平光滑管道內的碰撞運動規律，特別是碰撞過程中兩球速度的變換規律，才可以對問題進行求解.

先探討前面兩次碰撞后兩球的速度變化規律.

設m乙=m，則m甲=7m，設第1次碰撞之后甲乙兩球的速度分別是v1和v2，根據兩球在碰撞前后組成系統的動量守恒和動能守恒的規律，可得

顯然，第1次碰撞之后，質量大的甲球順時針方向運動，速度大小是，質量小的乙球以的速度按逆時針方向運動，所以，第2次兩球的碰撞點位于B點，如圖2所示.設第2次碰撞后甲球和乙球的速度分別是v3和v4，以圖2中B點向右的方向為速度的正方向，根據彈性碰撞的規律，

圖2

所以，兩球第2次碰撞之后，甲球相對管道靜止，而乙球以速度v在管道內順時針方向運動.因此，第3次碰撞的情形跟第1次碰撞時兩球的速度情形完全相同，只是碰撞位置不同（第3次碰撞發生在圖2中的B點）.

這樣看來，光滑水平管道內，初始狀況以速度v順時針方向運動的乙球與靜止的甲球發生正向完全彈性碰撞，之后的無數次碰撞是有規律的，如果從第1次碰撞開始進行碰撞次數計數的話，那么，兩個球在管道內的運動規律是，第奇數次撞擊后，甲球在水平光滑圓形管道內以的速度按順時針方向運動，乙球以3倍甲球的速度按逆時針方向運動，乙球運行管道長度之后，發生與其碰撞次數序號相鄰的第偶數次碰撞，而每個偶數次碰撞之后，甲球相對管道保持靜止，乙球以原來的初始速度大小沿順時針方向去撞擊它.這種撞擊運動將永不停息、周而復始的循環下去.如果以兩次碰撞為一個碰撞循環的話，那么，在每個碰撞循環內，甲球在水平光滑管道內按順時針方向運動管道長度，因此，如果從第一次撞擊開始計數，那么，第8k次和8k+1（k為非負整數）次撞擊位置位于圖1中的A點.

由于2022=8×252+6，所以，第2022次碰撞發生在圖1中的D點，這次碰撞之后，甲球速度為零，乙球以速度v在管道內順時針方向運動.

因為兩個物體發生完全彈性碰撞的過程，在任意慣性參考系內動量和動能都分別守恒，所以，對于上述問題甲乙兩球第2次碰撞后速度的求解，無需再一次建立方程組進行解答（解二元方程組的過程是一個相對比較麻煩的過程），變換慣性參考系之后根據速度的相對性原理和彈性碰撞的規律，即可方便快捷地確定二次碰撞之后甲乙兩球的速度.

如圖2所示，兩球第2次碰撞時，在臨近碰撞前的瞬間，它們的相對速度為v，這就是說，如果以甲球為參照物，那么，乙球在臨近撞擊前的運動速度為v，因此，如果在兩球碰撞時，選擇圖2中相對水平管道向右以的速度勻速運動的空間為參考系（慣性參考系），則在此參考系中，甲球靜止不動，乙球以大小為v的速度按逆時針方向與甲發生正向完全彈性碰撞，這與例題1給出的兩球初始運動情形變得完全一樣了，區別僅僅是撞擊的方向和兩球在軌道內的撞擊位置不同，因為在新的慣性參考系中，兩球碰撞過程中它們組成系統的動能和動量也都分別守恒，所以，兩球第2次碰撞之后，于新參考系中甲球在圖2的B位置以的速度逆時針運動，乙球以的速度順時針方向運動，因此，相對于原參考系（即相對水平管道），甲球保持靜止，乙球以速度v順時針方向運動，所以，兩次撞擊之后，在要發生第3次撞擊之前，這種運動規律又“退回”到例題1初始的物理情景，區別是質量大的甲球不是靜止于水平管道的A點去“等待”質量小的乙球以速度v按順時針方向去撞擊它，而是質量大的甲球靜止于管道的B點“靜候”乙的撞擊，撞擊的方向和速度都沒有發生變化.

顯然，對于例1給出的問題，兩球速度的這種周期性變換規律是一種非常奇妙的規律，我們不禁要問，這種看似神奇的撞擊運動規律原因何在？題目給出兩球質量關系等式m甲=7m乙中的倍數7如果發生變化，對兩球撞擊之后速度變化規律有什么影響呢？

我們看下如果將題目中的質量關系條件m甲=7m乙，式中的質量倍數7更改為任意正實數之后，兩球的碰撞規律是怎樣的情形.

設m甲=km乙（k是任意正實數），碰撞之后甲乙兩球的速度分別為v1和v2，設m乙=m，則m甲=km，由碰撞前后系統的動量守恒和動能守恒可得

下面按k的大小分類討論兩球碰撞時速度的變化規律.

當k=1時，v1=v，v2=0，這剛好是質量相等的兩球發生正向完全彈性碰撞后，兩球彼此交換速度的情形（這也間接說明我們推理結果的正確性）.這種情況下兩球碰撞的規律是——如圖1所示，乙球在A點以速度v按順時針方向撞擊甲球（第1次碰撞）之后，乙球靜止，甲球則以速度v在管道內順時針方向勻速轉動，運動一周之后與乙球碰撞（第2次碰撞），彼此交換速度之后，甲球靜止，乙球以速度v在管道內沿順時針方向勻速運動，這便回到了兩球的初始運動狀態，兩球會按這一碰撞規律不停的在管道內運動下去.

當k＞1時，v1＞0，v2＜0，兩球碰撞之后，質量大的甲球以的速度在管道內順時針方向運動，質量小的乙球以的速度在管道內逆時針方向運動，發生第2次碰撞時，相對甲球，乙的速度依然為原來的速度v，所以，第2次碰撞的過程，如果選擇在碰撞位置以的速度（這恰好是第2次碰撞前甲球相對管道的速度）相對軌道勻速運動的空間為參考系（新的慣性參考系），那么，在新的參考系中，甲球是靜止的，乙球在以速度v按逆時針方向撞擊甲球，由于第2次撞擊之時，在新參考系中，兩球組成系統的動能守恒，動量也守恒，所以，根據兩球碰撞建立的求解碰撞之后兩球速度的方程組，跟第1次碰撞在原參考系中建立的方程組形式完全相同，不用說方程組的解也相同，因此，新參考系中第2次撞擊之后甲球以的速度逆時針運動，乙球以的速度順時針運動，所以，相對原來的參考系，第2次撞擊之后，甲球相對水平管道靜止，而乙球則以大小為v的速度沿順時針方向運動，接下來的第3次撞擊過程將變得跟第1次撞擊沒有差別，不同之處僅僅是它們在管道內撞擊的位置不同.

當k＜1時，v1＞0，v2＞0，兩球第1次碰撞之后都在管道內沿順時針方向運動，只不過質量小的甲球運動速度大，質量大的乙球運動速度小，碰撞之后它們相對管道的速度分別為，當甲球比乙球多運動1圈要發生第2次碰撞時，以相對甲球保持靜止的空間為參考系（即在碰撞點沿甲球的運動方向以的速度勻速運動的空間為參考系），則乙球在管道內以速度v按逆時針方向去撞擊靜止的甲球，在新參考系（慣性參考系）中兩球撞擊前后系統動能和動量分別守恒，因此，第2次碰撞之后，相對新參考系，甲乙兩球都在管道內逆時針方向運動，質量小的甲球運動較快，速度是，質量大的乙球運動較慢，速度為，所以，相對于原參考系（即相對于管道），甲球是靜止的，而乙球是按順時針方向運動，相對管道的速度是v，這又回到了初始的碰撞情形，不同點是兩球在圓形軌道內碰撞的位置不同.

所以，如果兩球質量相等，那么，包括兩球第1次碰撞在內的所有碰撞，都發生在管道中的同一位置（即圖1中的A點），每撞擊兩次后兩球的速度分別回復到它們的初始速度.在兩球質量不等的情況下，如果從第1次撞擊開始計數，那么，相對于水平管道，兩球在管道內撞擊運動的速度規律是，第奇數次撞擊后，甲球以的速度順時針方向運動，乙球以的速度逆時針方向運動（k＞1時），或者以的速度順時針方向運動（k＜1時），第偶數次撞擊之后，甲球靜止，乙球以速度v在管道內順時針方向運動.按這一規律，甲乙兩球會周而復始，循環不斷的在管道內不停的撞擊運動.

對于k＞1的情形，因為第奇數次撞擊之后，兩球運動方向相反，甲乙兩球的速度比是，所以，在第奇數次撞擊和鄰近的下次偶數次撞擊之間的時間段內，質量大的甲球在管道內運動了整個圓形管道周長的，k=7時，，這剛好是例題1題目條件下第奇數次撞擊和鄰近偶數次撞擊之間甲球在管道內運動的距離.

這樣看來，水平光滑管道內，運動的小球乙以一定的速度去撞擊靜止的小球甲，如果兩球發生的是正向完全彈性碰撞，不論兩球質量比大小如何，若從第1次撞擊開始計數，那么，兩個小球運動速度的變化規律是以連續撞擊兩次為一個循環周期，所有的第奇數次撞擊都與第一次撞擊時兩球的速度情形相同——都是甲球靜止，乙球以固定的初始速度按第一次的繞行方向去撞擊靜止的甲球.

以上我們分析的物理情境，是光滑水平管道內運動的小球去撞擊靜止小球之后，兩球在管道內的運動碰撞規律.那么，對于初始情形下兩球都是運動的狀況，它們在水平光滑圓形管道內撞擊之后的運動規律也可以確定嗎？

答案是肯定的.

若初始狀況下甲、乙兩球分別以速度v1和速度v2在管道內運動，在它們第1次撞擊時，以相對甲球靜止的空間為參考系（慣性參考系），則甲球靜止，乙球以v1+v2的相對速度（兩球運動反向時）或以｜v1-v2｜的相對速度（兩球運動同向，且速度值不等時）去撞擊靜止的甲球，因為變換慣性參考系之后，兩球撞擊的過程中系統動能和機械能都分別守恒，所以，在新的慣性參考系中，兩球從第1次撞擊之后的運動規律，跟我們上面分析的相對原參考系第1次撞擊之后兩球的運動規律是一樣的，都是經歷兩次碰撞完成一個循環周期，第偶數次碰撞之后，甲球靜止，乙球以固定的速度去撞擊靜止的甲球.因此，再退回到原來的參考系（即以水平光滑圓形管道為參考系）之后，兩球撞擊過程速度的變化規律是，從第1次撞擊開始計數，之后，每奇數次撞擊前（也是每偶數次撞擊之后），甲乙兩球運動的速度情形與初始狀況運動的速度大小和方向都分別相同.