差分方程應(yīng)用于市場經(jīng)濟(jì)中蛛網(wǎng)模型

陳明+張愛國+彭慧丹

摘 要：針對(duì)市場經(jīng)濟(jì)中需求與供應(yīng)關(guān)系而導(dǎo)致的價(jià)格與數(shù)量的振蕩現(xiàn)象，首先用圖形方法建立蛛網(wǎng)模型，并從圖像角度分析振蕩穩(wěn)定條件。為從理論上得到穩(wěn)定條件，引入差分方程并加以改進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，從而得到穩(wěn)定條件。接著對(duì)模型進(jìn)行分析，最后簡單介紹經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)的干預(yù)措施。

關(guān)鍵詞：差分方程；蛛網(wǎng)模型；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定；市場經(jīng)濟(jì)

中圖分類號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2017）07-0005-02

市場經(jīng)濟(jì)中當(dāng)期商品價(jià)格是由消費(fèi)者的需求量而定，而下期商品數(shù)量是由生產(chǎn)者的供應(yīng)量而定。需求關(guān)系與供應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致商品價(jià)格與數(shù)量必定產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象。若振幅逐漸變小至平穩(wěn)，則經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定；反之若振幅逐漸變大至不可控制，則經(jīng)濟(jì)紊亂。

一、蛛網(wǎng)模型

設(shè)第i個(gè)周期商品數(shù)量為xi，價(jià)格為yi，i=1，2，3…。這個(gè)周期是指商品的1個(gè)生產(chǎn)周期，例如對(duì)蘋果而言，其指的是種植周期。由于商品價(jià)格主要取決于商品數(shù)量，令yi=F（xi）為商品需求函數(shù)，圖1中所示下降曲線為需求曲線。由于下個(gè)周期的商品數(shù)量xi+1取決于上個(gè)周期價(jià)格yi，令xi+1=H（yi）或yi=G（xi+1）為供應(yīng)函數(shù)，這里G為H的反函數(shù)。圖2中所示上升曲線為供應(yīng)曲線。在圖1中，需求曲線與供應(yīng)曲線交于P0（x0，y0）點(diǎn)，稱該點(diǎn)為平衡點(diǎn)，即數(shù)量與價(jià)格一直維持在該點(diǎn)不變。但實(shí)際并非如此，當(dāng)商品數(shù)量變化到x1后，價(jià)格y1由函數(shù)F決定，繼而產(chǎn)生點(diǎn)p1（x1，y1），以此類推，會(huì)產(chǎn)生系列點(diǎn)p2（x2，y2），p3（x3，y3），…。若按圖1所示方向趨近P0，表明P0為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。若其按圖2所示方向遠(yuǎn)離P0，表明P0為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，商品數(shù)量與價(jià)格振蕩越來越大，即市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。圖1與圖2產(chǎn)生的形如蛛網(wǎng)的折線稱為蛛網(wǎng)模型。觀察圖1和圖2可知，在P0點(diǎn)當(dāng)函數(shù)G斜率大于函數(shù)F斜率時(shí)，P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，反之即為非穩(wěn)定平衡點(diǎn)。但是，這僅僅限于圖像上觀察，為了從理論上說明平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件，下面將差分方程應(yīng)用到蛛網(wǎng)模型當(dāng)中。

二、差分方程模型

在引入差分方程之前，先將供應(yīng)函數(shù)做下改進(jìn)，將決定商品數(shù)量xi+1前一周期的價(jià)格yi改為前兩個(gè)周期yi和yi-1，這樣可以體現(xiàn)生產(chǎn)者管理水平的提高，這里不妨取yi和yi-1平均值，即有Xi+1=H（yi/2+yi-1/2）。在P0附近用直線來近似曲線F和H，可將需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)近似為：

其特征根為λ1，2=（-mn±）/4。當(dāng)mn>8時(shí)，方程有特征根位于單位圓外，所以此時(shí)P0點(diǎn)不穩(wěn)定。當(dāng)mn<8時(shí)，則有|λ1，2|=，為使得特征根位于單位圓內(nèi)，必有mn<2，此時(shí)P0點(diǎn)穩(wěn)定。綜上可知，P0點(diǎn)穩(wěn)定的條件為mn<2。相比前面直接從圖形上觀察，利用差分方程模型可以得到數(shù)值上的結(jié)論。

三、模型分析

首先，m的大小反映了消費(fèi)者對(duì)商品需求的敏感程度，假如其為生活必需品，稍有不足，消費(fèi)者必?fù)屬彛瑒tm值偏大。假如為非必需品，若稍有不足，消費(fèi)者心態(tài)平和并無較強(qiáng)購買欲，則m值偏小。n的大小反映了生產(chǎn)者對(duì)商品價(jià)格的敏感程度，假如生產(chǎn)者追求短期利益，價(jià)格略增即加大生產(chǎn)，則n值較大；反之假如其有生產(chǎn)規(guī)劃，則n值較小。其次，當(dāng)n固定，m越小，需求曲線越平滑，即消費(fèi)者對(duì)商品需求不高，穩(wěn)定條件越容易滿足，則經(jīng)濟(jì)形式越穩(wěn)固。當(dāng)m固定，n越小，生產(chǎn)曲線越平滑，即生產(chǎn)者對(duì)商品價(jià)格不敏感，穩(wěn)定條件也越容易滿足，則經(jīng)濟(jì)形式越穩(wěn)固。但當(dāng)m、n都較大時(shí)，即生產(chǎn)者與消費(fèi)者分別對(duì)價(jià)格與需求都很敏感，則穩(wěn)定條件不易滿足，經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。

四、經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)的干預(yù)措施

方法一，m值盡量小，不妨令m=0，則mn=0<2恒成立，這種方法實(shí)際上相當(dāng)于抑制物價(jià)，無論商品多少，不予改變。

方法二，n值盡量小，不妨令n=0，則mn=0<2恒成立，這種方法實(shí)際上相當(dāng)于保持市場商品供應(yīng)平穩(wěn)，商品過多，予以回購；商品短缺，予以調(diào)撥。

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[責(zé)任編輯 吳高君]