負剛度時滯反饋控制動力吸振器的反共振優化

代 晗， 趙艷影

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063)

傳統的線性可調動力吸振器是一種放置在主系統之上并吸收主系統能量的吸振裝置。第一個無阻尼吸振器是由Frahm[1]提出的,該吸振器利用目標頻率處產生反共振達到完全抑制主系統振幅的目的,但是有效的頻率調控范圍僅在反共振點附近較窄的頻帶區間。Den Hartog等[2-3]的研究發現：在吸振器中加入阻尼,不僅克服了無阻尼吸振器頻帶窄的缺點,同時能有效抑制主系統的振幅；主系統的頻響曲線始終通過兩個固定點,并且不受吸振器阻尼值的影響,這一發現為結構參數優化提供了固定點理論的支撐。Asami等[4-5]采用固定點理論原理,在保證兩個共振峰幅值相等且最小的前提下,對有阻尼吸振器進行結構參數優化,得到吸振器最優結構參數的精確解。文獻[6]利用正負剛度并聯相消原理,設計了具有負剛度結構的隔振系統,利用能量準則推導了彈性系統靜態穩定性的剛度準則,證明了負剛度系統具有固有頻率低、承載能力大、隔振效果好的優點。

彭海波等[7]對含有負剛度元件的動力吸振器系統進行參數優化設計,用固定點理論得到了負剛度吸振器的最優頻率比和最優阻尼比,研究表明負剛度動力吸振器比傳統動力吸振器減振能力更強、減振頻帶更寬。王孝然等[8]對含有負剛度彈簧元件的三要素型動力吸振器進行參數優化設計,利用固定點理論將三個固定點調節到同一幅值,得到最優負剛度比,該減振器具有很好的減振性能。郝巖等[9]對含負剛度器件的Maxwell模型動力吸振器參數進行優化,同樣利用固定點理論將三個固定點調節到同一幅值,得到最優負剛度比,該減振器能大幅度降低共振區振幅,并且具有較寬的減振頻帶。邢昭陽等[10]將杠桿放大機構與負剛度結構聯合使用,能更大幅度降低共振振幅、拓寬減振頻帶,同時降低系統的諧振頻率。陳杰等[11]將含有慣容器和負剛度的動力吸振器用于抑制梁的橫向振動,負剛度能夠很好抑制梁的振動,而慣容器能進一步起到抑制作用。

然而，利用負剛度來進行吸振和隔振，反共振點的幅值仍然很大。Flannelly[12]首先提出利用動力反共振隔振器,并通過試驗證明了其在低頻和單頻工況下隔振效果很好。文獻[13-14]把動力反共振隔振器應用到直升機旋翼和傳動裝置,動力反共振隔振器裝置的設計質量僅為直升機總質量的1.3%。李園園等[15]用靈敏度分析和響應面方法,對動力反共振隔振器的隔振效率和配重動能進行了優化,隔振效率有了極大的提高,并指出隔振效率與外激勵大小無關。被動式動力反共振隔振器的有效減振頻帶寬度受限。周為民等[16]提出了一種主動反共振隔振裝置,該裝置由主動控制發生器和反共振隔振裝置組成,在改善了被動控制的穩定性和傳遞特性的同時,又拓寬了減振頻帶,對隨機激勵和簡諧激勵兩種激勵并存的場合效果更好。范德禮等[17]提出了一種反共振頻率可調的液壓式動力反共振隔振器,反共振頻率是通過調節空氣彈簧的剛度來實現,并用遺傳算法對隔振器的結構參數進行優化設計,得到了更寬的隔振頻帶。沈安瀾等[18]提出了一種新型聚焦反共振式主減隔振裝置,其結果表明,這種型式的隔振裝置對垂向、航向和側向三向激勵很有效,隔振效率均達到了80%。

被動式的線性吸振和線性隔振控制的頻帶有限,對變頻和寬頻外激勵的振動控制效果差。Olgac等[19]首先提出采用時滯動力吸振器控制系統振動,時滯減振是一種主動減振技術,能實時追蹤外激勵頻率在反共振點處完全抑制主系統的振動。Zhao等[20]研究了時滯減振在非線性系統中的應用,非線性時滯動力吸振器比線性時滯動力吸振器具有更寬的減振頻帶和更大范圍的穩定性。Meng等[21]研究了時滯耦合非線性振動系統的等峰優化問題,利用增量諧波法和優化方法對結構參數進行優化,有效地解決了外激勵幅值較大的情況下,非線性振動系統等峰優化問題。本文通過在接地負剛度系統中耦合進時滯反饋控制得到一種含有負剛度時滯反饋控制動力吸振器模型。該模型首先用固定點理論得到不含時滯反饋控制的最優負剛度系統結構參數;接著在保證系統穩定的前提下,利用反共振峰最小準則,通過調節時滯反饋控制參數和進一步調節系統結構參數,得到一組能使負剛度時滯反饋控制系統具有較寬的減振頻帶和較對稱的減振頻帶的最優系統參數,同時也保證了在該減振頻帶內系統的振動幅值大大降低，最主要的創新是在反共振頻率下的幅值滿足所提出的反共振峰值最小準則。

1 力學模型及振動微分方程

1.1 時滯耦合負剛度吸振器系統

為了進一步拓寬負剛度系統的減振頻帶,并提高減振性能,考慮在彭海波等所研究的接地負剛度型動力吸振器中加入位移時滯反饋控制,同時考慮主系統的阻尼,接地負剛度時滯反饋控制的吸振系統，如圖1所示。圖1中：k為變剛度的接地負剛度元件的剛度數；m1,m2,c1,c2,k1和k2分別為主系統和吸振器的質量、阻尼和剛數；g1和τ分別為時滯反饋增益系數和時滯量；x1和x2分別為主系統和吸振器的位移；F0為外激勵力的幅值；ω為外激勵頻率。

圖1 時滯耦合負剛度吸振器系統的力學模型Fig.1 Mechanical model of delay-coupled negative stiffness system

由牛頓第二定律得到上述系統的運動微分方程

(1)

為了使方程更具通用性,對式(1)進行無量綱處理,為此引入如下相關參數及無量綱量

(2)

(3)

設式(3)的解為

(4)

將式(4)代入式(3)可解得

(5)

Δ(Ω)=[2jΩ(pμξ2+ξ1)+μp2-Ω2+1]·
[p2ge-jΩτ+2jpξ2Ω+(α+1)p2-Ω2]-
(p2+2jpξ2Ω)(μp2+2jpμξ2Ω+μp2ge-jΩτ]

(6)

引入變量A1和A2分別代表主系統和吸振器的振幅如式(7)所示

(7)

1.2 接地負剛度吸振器系統

若令主系統的阻尼系數ξ1=0,時滯反饋控制增益系數g=0,接地負剛度位移時滯反饋控制的吸振器就退化為彭海波等所研究的接地負剛度型動力吸振器,無量綱運動微分方程式(3)退化為如式(8)所示的被動吸振器系統運動微分方程

(8)

Asami等、Nishihara等和彭海波等是通過固定點理論對兩個共振峰進行優化來尋找最優結構參數sp={μ,ξ2,α,p},滿足條件

min‖A1(sp,Ω)‖∞=
min{max[A1(sp,Ω1),A1(sp,Ω2)]}→
A1(sp,Ω1)=A1(sp,Ω2)

(9)

式中：A1(sp,Ω)為主系統頻率響應；Ω1和Ω2分別為一階和二階共振頻率。彭海波等通過設計下列結構參數優化兩個共振點的幅值

(10)

對接地負剛度動力吸振器系統, 彭海波等通過優化使兩個固定點處于相似高度和峰值位置,得到如圖2所示的幅頻響應曲線。

圖2 最優結構參數下的幅頻響應曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curve for optimal structural parameters

從圖2中可以看出,在被動負剛度振動系統中根據固定點理論進行等峰設計和參數優化后,主系統的兩個共振峰及反共振點的幅值仍然很大,本文采用時滯反饋控制進一步控制主系統的振幅。

2 力學模型及振動微分方程

2.1 時滯耦合負剛度吸振器系統

(11)

(12)

{0.1,0.501 7,0.356 2,1.408 5,-0.705 9}

(13)

在式(13)最優結構參數前提下,為了得到控制增益g和時滯τ的穩定區間,式(3)的特征方程為

(14)

由于時滯項的存在,特征方程式(14)是含有指數項e-λτ的超越方程,系統是無限維的,含有無窮多個特征根。針對這樣的問題,本文考慮用CTCR(cluster treatment of characteristic roots)法[22]進行分析,具體步驟如下:

步驟1定義(kernel hypercurves，KH)——當固定系統結構參數在某一值,(τ,g)的二維平面內一點引起一個實部為0的特征值λ=jΩc,Ωc∈R+,且0≤Ωcτ≤2π,0≤g≤2,所有在二維平面區間內的這樣的點組成曲線,稱其為KH。

步驟2定義(offspring hypercurves，OH)——上述定義的KH通過以下非線性轉換式得到OH

(15)

步驟3定義根的變化趨勢(root tendency，RT)

(16)

當τi∈(τi-ε,τi+ε),0<ε?1,i=1,2,3,…時,當TR=1表示時滯從左側穿過臨界時滯τi時,不穩定根的個數增加兩個; 當TR=-1表示時滯從右側穿過臨界時滯τi時,不穩定根的個數減少兩個;在時滯其他區間不穩定根的個數不變。

步驟4對指數項進行替換

e-jΩcτ=cosvc-jsinvc,vc=Ωcτ

(17)

其中正弦函數sin和余弦函數cos是用正切函數tan的半角公式進行如式(18)的轉換

(18)

下面依據CTCR理論,對系統穩定性進行分析。

由式(17)和式(18),特征方程式(14)可以寫成關于Ωc的多項式函數

(19)

式中，ck為關于g,z1的函數,是Ωc的系數。

對式(19)進行實虛部分離,整理得到

(20)

(21)

式中，Qk,Pk為關于g,z1的函數,也是Ωc的系數,具體如下

Q2=-1-p2(1+g+α+u)-4pξ1ξ2-

Q1=4gp2z1ξ1,

P4=0,P2=2gp2z1,

P0=-2gp2z1。

要從式(20)和式(21)中解出Ωc,需應用Dixon等[23-24]結式和判別式得到其充分必要條件。Dixon結式和Sylvester[25], Macaulay[26], Sparse[27]結式一樣,都是求解多項式非平凡解的充分必要條件,但是Dixon結式比其他結式精確度更高。

依據Dixon結式,令

q1(Ωc)≡Re[q(Ωc,g,z1)]

(22)

q2(Ωc)≡Im[q(Ωc,g,z1)]

(23)

(24)

式中：q1(φ)和q2(φ)為虛變量φ替換Ωc；q1(Ωc)和q2(Ωc)的表達式為

{-1-p2(1+g+α+u)-4pξ1ξ2-

得到的式(24)是關于Ωc和φ對稱的deg-1次多項式,也稱是關于q1(Ωc)和q2(Ωc)的Dixon多項式。由于式(24)是對稱性的多項式,調換因變量位置式(24)的表達式不改變,即δ(Ωc,φ)=δ(φ,Ωc)。

上述的deg=max{deg[q1(Ωc)],deg[q2(Ωc)]}其中的deg[q1(Ωc)]和deg[q2(Ωc)]是關于Ωc的最高階數,q1(Ωc)和q2(Ωc)的每個共同零點同樣也是δ(Ωc,φ)對所有φ值的零點。因此,我們得出,在共同的零點情況下,δ(Ωc,φ)中φi(i=0,1,2,…,deg-1)的系數等于0，用矩陣的形式表示

(25)

式中, 系數矩陣D(g,z1)∈Rd稱作Dixon矩陣,d=deg×deg。

求解式(25)的一個非平凡解,要求D(g,z1)是奇異矩陣,即

det[D(g,z1)]=0

(26)

式(26)是關于g,z1的多項式,進一步轉化得到形式上關于z1的多項式

(27)

式中：l=0,1,2,…,d； 系數Rl(g)較復雜,未列出。

為了得到g和τ的穩定區間,按以下步驟進行求解:

步驟1固定參數g,求解式(27)的根,選取實數的根代入式(18)；

步驟2從式(18)求得vc后代入式(17),得到e-jΩcτ,將之代入式(14),得到所有的特征根；

步驟3從所有特征根中選取純虛根,標記為Ωc,將Ωc和步驟2求得的vc代入式(17),求得τi,i=1,2,3,…；

步驟4g線性遞增,重復以上步驟,直到g=2,得到r1={(g,τ)|Re[CE(p,g,τ)]<0}∩r0，其中，參數p={μ,ξ1,ξ2,p,α}={0.1,0.501 7,0.356 2,1.408 5,-2～0}。

2.2 反共振點幅值最小準則

下面分析采用時滯反饋主動控制來研究反共振點的優化問題,系統的運動微分方程即為式(3)。

利用時滯反饋控制反共振點的幅值及反共振頻率的位置,需要設計反共振點振幅最小準則,首先需要得到反共振點的頻率和幅值,利用函數最小值原理,得到主系統振幅極小值條件為

(28)

本文是一個兩自由度線性系統,主系統振幅極小值條件也是求得反共振點的條件。首先從式(28)求得反共振點的頻率,將之代入式(7)得到反共振點的幅值。對于給定的結構參數p,通過調節反饋增益系數g和時滯系數τ,將反共振點的幅值控制在給定的足夠小的幅值范圍內,即min‖A1(p,Ωa,g,τ)‖<0.01,我們就得到反共振點最小的優化準則滿足

(29)

式中，A1(p,Ωa,g,τ)為反共振點的幅值,Ωa為反共振點頻率,設定r2為滿足反共振點幅值最小準則且穩定的g和τ的區間,如式(30)所示

r2={(g,τ)|min‖A1(p,Ωa,g,τ)‖<0.01}∩r1

(30)

圖3 時滯主動控制反共振點幅頻響應曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curve at anti-resonance point in time delayed active control

從圖3觀察到滿足反共振點頻率振幅在小于0.01范圍內,在Ωa∈(0.9,2.0)內存在反饋增益系數g和時滯τ的一段調節區間,然而時滯反饋控制在的低頻區域失效。一般情況下,工程當中希望主動控制的頻率調節范圍能夠對稱地分布在主共振點的兩側,顯然圖3中的主動控制范圍主要控制在高頻區域,因此需要采用對結構參數p進行優化設計的同時聯合時滯反饋主動控制,從而達到最優控制效果，即同時滿足反共振點的幅值、頻寬、頻帶對稱性的要求。

首先設定結構參數初始值p0為

p0={μ,ξ1,ξ2,p,α0}=
{0.1,0.501 7,0.356 2,1.408 5,0}

(31)

然后把結構參數p0和p劃分為N等分,Δp=(p0-p)/N,N越大,Δp越小精度越高,此處取N=100,其中的結構參數μ,ξ1,ξ2和p固定不變,α的取值為p0～p;第h+1步的結構參數ph+1=ph+Δp,ph為第h步的結構參數,h=0,1,2,…,N。

最后,把結構參數ph+1代入式(29)和式(30)，求得滿足反共振點幅值最小準則的反饋增益系數g和時滯τ,循環流程圖如圖4所示。

圖4 反共振點計算流程圖Fig.4 The flow chart of anti-resonance point

從圖5(a)和圖5(b)中可以看出,隨著負剛度系數α的絕對值不斷增大,反饋增益g和時滯τ可調節的穩定區間不斷變小。

圖5 不同α下g和τ穩定區間Fig.5 The stable intervals of g and τ under different α

圖6 不同α下g和τ可控反共振頻率范圍和最小反共振頻率幅值Fig.6 The controllable anti-resonance frequency ranges and the minimum anti-resonance frequency amplitudes of g and τ under different α

{0.1,0.501 7,0.356 2,1.408 5,-1.090 9}

(32)

然而，此時選定的最優結構參數對于我們所要求的可調控的反共振點頻帶對稱性的要求還相差甚遠,下一步通過優化主系統阻尼系數并結合時滯主動控制來達到可調控的反共振點頻帶對稱性的目的。

目前優化后的系統結構參數以及下一步需要優化的主系統阻尼系數變化范圍，如表1所示。

依據表1的結構參數值,再次應用計算反共振點幅值最小的流程圖4,得到滿足反共振點幅值最小準則的增益系數g和時滯τ的穩定區間,如圖7所示。從圖7(a)和圖7(b)中可以看出,隨著主系統阻尼系數ξ1的不斷增大,反饋增益系數g和時滯τ可調的穩定區間先增大后減小。

表1 結構參數p0和pTab.1 The structural parameters of p0 and p

圖7 不同ξ1下g和τ穩定區間Fig.7 The stable intervals of g and τ under different ξ1

圖8 不同ξ1下g和τ可控反共振頻率范圍和最小反共振頻率幅值Fig.8 The controllable anti-resonance frequency ranges and the minimum anti-resonance frequency amplitudes of g and τ under different ξ1

{0.1,0.736 8,0.356 2,1.408 5,-1.090 9}

(33)

3 驗證與分析

第2章討論了一種反共振點頻率范圍及最小反共振點幅值的優化方法,得到各步驟的最優結構參數如表2所示。本章應用如圖4所示的循環流程圖,得到上述三步中每一步結構參數的優化結果，如圖9所示。

圖9 g和τ的反共振頻率的范圍和對應頻率的最小振幅Fig.9 The ranges of anti-resonance frequency and the minimum amplitudes of corresponding frequency controlled by g and τ

表2 最優結構參數Tab.2 Optimal structural parameters

3.1 穩定性驗證

圖10 結構參數下g和τ穩定區間Fig.10 The stable intervals of g and τ under the structural

3.2 頻域驗證

由圖9可知,圖10中標記的三個點TP1,TP2和TP2對應的反共振點頻率分別是Ωa1=0.558 6,Ωa2=1.009 0,Ωa3=1.468 5。我們把TP1,TP2和TP2三個點對應的增益系數g和時滯τ代入式(7)所得三個點的幅頻響應曲線,如圖11所示。從圖11中可知,三個驗證點的反共振頻率與圖9中的大小相等,對應反共振點的幅值也與圖9中的幅值A1相等。

圖11 TP1,TP2和TP3的幅頻響應曲線Fig.11 The amplitude-frequency response curves at the points of TP1, TP2 and TP3

3.3 時域驗證

對時域分析需要確定外激勵頻率,這里選擇驗證點TP1,TP2和TP3的反共振頻率Ωa為外激勵頻率,用MATLAB軟件中求解含有固定時滯的時滯微分方程的函數dde23來解方程式(3),得到三個驗證點的時間歷程響應曲線，如圖12所示。從圖12中看出,穩態解的振幅控制在0.01內。

圖12 TP1,TP2和TP3的時間響應曲線Fig.12 Time-history curves at the points of TP1, TP2 and TP3

4 吸振器模型對比分析

為了證明時滯反饋控制反共振點優化方法的有效性,將本文結果與其他兩種吸振器優化結果進行對比。

Asami等和彭海波等的最優結構參數用pA,pP表示,參數如表3所示。

表3 Asami等和彭海波等的最優結構參數Tab.3 The optimal structural parameters of Asami’s and Peng’s

為了方便將本文結果與其他兩種吸振器的減振效果進行定量對比,任選取一點TP2為例, 得到三種吸振器的幅頻響應曲線，如圖13所示。

圖13 不同吸振器模型下的幅頻響應曲線Fig.13 Amplitude-frequency response curves for different vibration absorber models

從圖13可以看出,與Asami等的吸振器模型相比,在外激勵頻率大于0.532 3的情況下,本文的時滯負剛度吸振器具有很好的減振效果,不僅能夠大大降低兩個共振峰的幅值并且在反共振點處基本能夠完全吸收主系統的振動;與彭海波等的吸振器模型對比,在整個頻率區間上都具有很好的減振特性,同時反共振點處能夠完全吸振。

為了定量地驗證本文吸振器模型以及優化方法的可靠性,在反共振點附近的一段寬頻區間內將三種吸振器模型的減振效果進行定量對比, 定義

式中：AA,AP,A1分別為Asami等、彭海波等和本文中的主系統的振幅；ρ1,ρ2為減幅百分比,如圖14所示。

圖14是本文模型分別與Asami等的模型和彭海波等的模型的主系統減振幅值百分比。從圖14中可知，在反共振點附近主系統的減振效果最好,幾乎達到100%;在反共振點附近的區間Ωa∈(0.6,1.8),最低減振幅值的百分比都在20%以上。

圖14 主系統減振效果對比圖Fig.14 The percentage reduction in amplitude

下面,在本文反共振點處(即Ωa=1.009),分別給出了本文模型,Asami等的模型和彭海波等的模型的主系統時間歷程響應曲線,如圖15所示,與圖13的結果完全吻合。

圖15 主系統的時間歷程響應曲線Fig.15 Time-history response curves of main system

5 結 論

本文對接地負剛度時滯反饋控制的吸振系統在反共振點處的幅值及減振頻帶寬度進行了優化設計,主要有以下幾點結論。

(1) 在滿足設定的主系統反共振點幅值小于0.01的范圍內,可以找到能使系統穩定的反饋增益系數g和時滯τ的一段區間。

(2) 隨著增大負剛度系數α,可調控的反共振頻率寬度先增大后減少,存在一個能使反共振頻帶寬度最寬的最優負剛度系數值。

(3) 隨著主系統阻尼系數ξ1的增大,可調控的反共振頻率寬度不斷減少,存在一個最優的主系統阻尼ξ1,使可調的反共振點頻帶關于主共振點具有很好的對稱性,同時也能保證可調的反共振點頻帶具有一定的寬度。

(4) 在給定的一組反饋增益系數g和時滯τ下,對比Asami等的模型和彭海波等的模型, 本文的模型在反共振點附近的一段區間表現出很好的減幅效果,特別在反共振點處幾乎完全減振。