基于歐進(jìn)萍譜的廣義Maxwell耗能結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)簡(jiǎn)明解法

2022-02-28 12:55:16劉美華鄒萬杰葛新廣李創(chuàng)第

振動(dòng)與沖擊 2022年4期

劉美華，鄒萬杰，葛新廣，李創(chuàng)第

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州 545006)

結(jié)構(gòu)控制能迅速地衰減結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)[1-2]，在抵御強(qiáng)地震或風(fēng)荷載時(shí)，安裝耗能裝置能有效減小主體結(jié)構(gòu)的破壞[3-5]。線性黏彈性阻尼器利用黏彈性材料來吸收振動(dòng)能量，為更精確地描述黏彈性阻尼器的本構(gòu)關(guān)系，國內(nèi)外學(xué)者提出了各種力學(xué)模型，比如Maxwell模型[6-7]、Kelvin模型[8]、一般積分模型[9-10]、廣義Maxwell模型[11-12]等。其中Maxwell模型和Kelvin模型是形式單一的力學(xué)模型，表現(xiàn)出的是單一的松弛行為、單一松弛時(shí)間的響應(yīng)。而實(shí)際工程中，主體結(jié)構(gòu)是多層次性的，并且運(yùn)動(dòng)單元也具有多重性，對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)中不同的單元，都應(yīng)有不同的松弛時(shí)間。因此，為了反映黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性，采用多元件組合的廣義Maxwell力學(xué)模型來分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，更具有合理性。

地震發(fā)生在時(shí)間、空間、強(qiáng)度方面都具有明顯的隨機(jī)性[13]，最早用于模擬隨機(jī)地震地面運(yùn)動(dòng)的模型是白噪聲模型，接下來Kanai[14]又提出用平穩(wěn)過濾白噪聲模型來模擬地震地面運(yùn)動(dòng)過程，即金井清模型，這一模型在地震工程界得到了廣泛應(yīng)用[15-17]。該模型將地表覆蓋土層視為線性單自由度濾波器，但假定基巖地震動(dòng)為理想白噪聲，因此，并不能反映基巖的動(dòng)力特性，也無法求出地面位移、速度、加速度導(dǎo)數(shù)方差的有限值，據(jù)此，歐進(jìn)萍院士[18]提出了平穩(wěn)過濾有色噪聲譜模型，即歐進(jìn)萍譜，其繼承了金井清譜的優(yōu)點(diǎn)，具有明確的物理意義，同時(shí)假定基巖運(yùn)動(dòng)為馬爾柯夫有色頻譜，更能反映基巖的動(dòng)力特性，也能夠求得地面位移、速度以及加速度過程導(dǎo)數(shù)方差的有限值，因而更方便結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析。

用于黏彈性耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析方法有擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法[19-20]、虛擬激勵(lì)法[21-22]、模態(tài)應(yīng)變能法[23]、強(qiáng)行解耦法[24]等。模態(tài)應(yīng)變能法采用小阻尼假設(shè)，當(dāng)阻尼較大時(shí)誤差也較大。強(qiáng)行解耦法由于忽略對(duì)角線元素，當(dāng)阻尼較高時(shí)，也會(huì)引起較大誤差。虛擬激勵(lì)法求解譜矩和方差需要借助數(shù)值積分，其計(jì)算精度受積分區(qū)間和積分步長(zhǎng)的影響，而且，當(dāng)有多個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)且互相具有相干性時(shí)，其計(jì)算量浩大。擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法是通過建立狀態(tài)方程來求解，當(dāng)阻尼力表達(dá)式已知時(shí)，是一種精確的求解方法，但是，因擴(kuò)階變量個(gè)數(shù)增多，導(dǎo)致計(jì)算效率較低。為此，本文兼顧計(jì)算精度和效率，提出了一種擴(kuò)階之后簡(jiǎn)明的結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析分析方法，即將結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程、阻尼器本構(gòu)方程和濾波方程聯(lián)立為狀態(tài)方程，再運(yùn)用復(fù)模態(tài)法解耦該聯(lián)立方程，得到由白噪聲激勵(lì)表示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)一表達(dá)式，最后由平穩(wěn)隨機(jī)過程譜矩的定義，得到阻尼器及結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)(含結(jié)構(gòu)位移及結(jié)構(gòu)速度、層間位移及層間速度、阻尼器受力及其變化率)0～2階譜矩的解析解。

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

1.1 原結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of the structure

結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

其中,

I=[1, 1, …, 1]T,

x=[x1,x2, …,xn]T,

PQ(t)=[PQ1(t),PQ2(t),…,PQn(t)]T

1.2 廣義Maxwell阻尼器本構(gòu)關(guān)系

廣義Maxwell模型阻尼器是由一個(gè)線性彈簧和一系列Maxwell模型單元并聯(lián)而成，廣義Maxwell模型阻尼器計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示，Maxwell模型阻尼器計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖2 廣義Maxwell模型阻尼器Fig.2 Generalized Maxwell model damper

圖3 Maxwell模型阻尼器Fig.3 Maxwell model damper

廣義Maxwell阻尼器本構(gòu)關(guān)系為

(2)

式中：PQi(t)為第i層阻尼器的總阻尼力；k0為阻尼器平衡剛度；pij為每個(gè)Maxwell單元的阻尼力。其中：i=1～n，n為樓層數(shù)目；j=1～r，r為廣義Maxwell阻尼器中標(biāo)準(zhǔn)Maxwell阻尼器單元的個(gè)數(shù)。

將式(2)寫成矩陣形式，有

(3)

式中：l為元素均為1的1×r階向量；pi為r×1階向量，pi=[pi1,pi2, …,pir]T。

將式(3)簡(jiǎn)寫為

PQ(t)=K1x+D1P

(4)

式中：D1為n×rn階對(duì)角陣，rn指r×n項(xiàng)，D1=diag[l,l, …,l]；P為rn×1階向量，P=[p1,p2, …,pn]T。

各分支Maxwell阻尼器微分關(guān)系為

(5)

式中,kpj,cpj分別為第j個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Maxwell阻尼器單元的剛度和阻尼，j=1～r。

將式(5)寫成矩陣形式，有

(6)

式中：A為r×r階對(duì)角陣，A=diag[kp1/cp1,kp2/cp2, …,kpr/cpr]；a為r×1階向量，a=[kp1,kp2, …,kpr]T。

將式(6)簡(jiǎn)寫為

(7)

式中：α為rn×rn階對(duì)角陣，α=diag[A,A, …,A]；B為rn×rn階矩陣。

1.3 重構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

歐進(jìn)萍譜可用濾波方程描述如下

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

CW(τ)=2πS0δ(τ)

(9)

式中：δ(τ)為Dirac函數(shù)。

聯(lián)立式(1)、式(4)和式(8)，重構(gòu)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程

(10)

引入狀態(tài)變量

(11)

將式(7)、式(8)和式(10)寫成狀態(tài)方程

(12)

其中,

β=[0o10o11o3]T

式中：o1為元素均為0的n×1階向量；o2為元素均為0的n×n階矩陣；o3為元素均為0的rn×1階向量；o4為元素均為0的n×rn階矩陣；E1為n階單位矩陣；E2為rn階單位矩陣。

2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)杜哈梅積分統(tǒng)一表達(dá)式

由于式(12)為非經(jīng)典系統(tǒng)，故用復(fù)模態(tài)法對(duì)其進(jìn)行解耦。存在右特征向量矩陣U、左特征向量矩陣V和特征值矩陣q使式(12)解耦，特征值矩陣q為對(duì)角陣，且滿足關(guān)系式

(13)

引入復(fù)模態(tài)變換

y=Uz

(14)

式中,z為廣義復(fù)模態(tài)變量。

式(12)最終可化為如下復(fù)模態(tài)響應(yīng)方程：

(15)

其中,

(16)

將式(15)寫成分量形式，有

(17)

式中：zj,qj和ηj分別為z，q和η的分量；(r+2)n+3為特征向量矩陣的階數(shù)。

式(17)的解為

(18)

(19)

(20)

式中：uz為右特征向量矩陣U的第z行向量；λz,i為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的強(qiáng)度系數(shù)，其為λz,i=uz,iηi；j=1～n;z=j+1,n+2+j。

由式(4)、式(11)、式(14)和式(18)，第j樓層阻尼力PQj(t)的杜哈梅積分表達(dá)式為

(21)

(22)

對(duì)式(4)求導(dǎo)，得

(23)

(24a)

(24b)

(25a)

Δx1=x1

(25b)

(26a)

(26b)

對(duì)應(yīng)于廣義Maxwell阻尼器多層耗能減震結(jié)構(gòu)，它們的位移及速度、層間位移及層間速度、阻尼器受力及其變化率響應(yīng)均具有相似的表達(dá)式，所以可將以上參數(shù)統(tǒng)一表示為

(27)

Gz,i(t)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量，其表達(dá)式為

(28)

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差與功率譜解析解

由于結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量Gz,i(t)可以作如下相等變換

(29)

則結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)的表達(dá)式為

(30)

由式(29)和式(30)，得結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

(31)

由于W(t)為具有零均值的平穩(wěn)白噪聲，將式(9)代入式(31)，求積可得

(32)

利用δ(τ)函數(shù)的性質(zhì)，可以將式(32)簡(jiǎn)化為一重積分

(33)

再對(duì)式(33)的積分部分運(yùn)算，可得

(34)

故由式(30)和式(34)，可得在歐進(jìn)萍譜平穩(wěn)地震激勵(lì)下耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差為

(35)

令

(36)

則結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的協(xié)方差式(35)可簡(jiǎn)化為

(37)

在式(37)中，令τ=0，可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)Gz(t)的方差

(38)

由平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的Wiener-Khinchin關(guān)系[25]，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜可表示為

(39)

將式(37)代入式(39)并對(duì)積分部分運(yùn)算，可得本文方法求得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜解析解

(40)

由式(20)、式(36)和式(40)，得本文方法結(jié)構(gòu)位移x功率譜密度函數(shù)

(41)

(42)

由式(25)、式(36)和式(40)，得本文方法結(jié)構(gòu)層間位移Δx功率譜密度函數(shù)

(43)

(44)

由式(22)、式(36) 和式(40)，得本文方法阻尼力PQ(t)功率譜密度函數(shù)

(45)

(46)

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩解析解

由譜矩的定義，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的j階譜矩表達(dá)式為

(47)

式(47)中令j=0，得結(jié)構(gòu)位移(絕對(duì)位移、層間位移)響應(yīng)0階譜矩

(48)

對(duì)式(48)積分部分運(yùn)算可得

(49)

由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0階譜矩即為隨機(jī)過程位移方差，式(49)也驗(yàn)證了本文方法的正確性。

結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)2階譜矩為結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)，可由速度方差表示

(50)

阻尼器阻尼力響應(yīng)0階譜矩為

(51)

阻尼器阻尼力響應(yīng)的2階譜矩等于阻尼力變化率的方差，即

(52)

式(47)中令j=1，得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)1階譜矩為

(53)

對(duì)式(53)積分部分運(yùn)算可得

(54)

根據(jù)文獻(xiàn)[25]可知

(55)

故結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)1階譜矩γx,1可表示為

(56)

同理，可得阻尼器阻尼力響應(yīng)1階譜矩γP,1為

(57)

5 算例

某十層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，第一層至第十層的結(jié)構(gòu)質(zhì)量為m1～m10=400×103kg，層間剛度為k1～k10=253×106N/m，結(jié)構(gòu)阻尼按Rayleigh阻尼計(jì)算，兩比例系數(shù)分別為a0=0.281 4和a1=0.006 7，結(jié)構(gòu)阻尼比ξ=0.05。每層設(shè)置相同的廣義Maxwell阻尼器，阻尼器平衡剛度k0=75.90×104N/m，阻尼器兩分支Maxwell單元的松弛時(shí)間和剛度分別為：μ1=0.08 s，kp1=12.65×105N/m；μ2=0.10 s，kp2=10.63×105N/m。地震烈度為8度，Ⅰ類場(chǎng)地，在歐進(jìn)萍譜平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下的各參數(shù)取值為：譜強(qiáng)度因子S0=45.24×10-4m2/s3，場(chǎng)地土阻尼比ξg=0.64，卓越頻率ωg=25.13 rad/s，基巖的譜參數(shù)ωh=8π rad/s。

5.1 功率譜對(duì)比

(58)

(59)

式中：u1,un+2分別為右特征向量矩陣U的第1、第n+1行向量。

(60)

式中,βi=-(2ξgωgλ1,i+ωg2λn+2,i)。

(61)

歐進(jìn)萍譜功率譜密度函數(shù)的傳統(tǒng)表達(dá)式為

(62)

圖4 地面加速度功率譜Fig.4 Ground acceleration power spectrum

圖5 第5層結(jié)構(gòu)位移功率譜Fig.5 Absolute displacement power spectrum of the 5th floor

圖6 第5層層間位移功率譜Fig.6 Inter-storey displacement power spectrum of the 5th floor

由圖4可知，本文激勵(lì)功率譜圖與歐進(jìn)萍譜傳統(tǒng)功率譜圖完全吻合，由圖5和圖6可知，本文方法與虛擬激勵(lì)法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜圖形完全吻合，從而驗(yàn)證了本文求得的功率譜密度函數(shù)表達(dá)式的正確性。而本文將耗能結(jié)構(gòu)在歐進(jìn)萍譜激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜表示為(ω2+qi2)-1的線性組合，表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔，更便于后續(xù)的積分運(yùn)算。

5.2 譜矩計(jì)算精度和效率對(duì)比

為了驗(yàn)證本文譜矩計(jì)算方法的正確性和精確性，運(yùn)用本文方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩，與已有虛擬激勵(lì)法計(jì)算得到的譜矩進(jìn)行對(duì)比分析。因?yàn)樘摂M激勵(lì)法計(jì)算譜矩需要進(jìn)行數(shù)值積分，其計(jì)算精度和計(jì)算效率與積分區(qū)間以及積分步長(zhǎng)密切相關(guān)，因此，有必要選取不同的積分區(qū)間和積分步長(zhǎng)進(jìn)行更全面地對(duì)比。為了研究頻域積分步長(zhǎng)Δω對(duì)虛擬激勵(lì)法譜矩精度的影響，將虛擬激勵(lì)法積分步長(zhǎng)分別取為0.25 rad/s,0.10 rad/s,0.001 rad/s，積分區(qū)間統(tǒng)一取為[0,250]。圖7～圖9為本文方法和虛擬激勵(lì)法分別取3種不同積分步長(zhǎng)計(jì)算結(jié)構(gòu)各層位移譜矩γx的對(duì)比，圖10～圖12為本文方法和虛擬激勵(lì)法分別取3種不同積分步長(zhǎng)計(jì)算結(jié)構(gòu)各層層間位移譜矩γΔx的對(duì)比。

圖7 位移0階譜矩Fig.7 0-order spectral moments ofabsolute displacements

圖8 位移1階譜矩Fig.8 1st-order spectral moments of absolute displacements

圖9 位移2階譜矩Fig.9 2nd-order spectral moments of absolute displacements

圖10 層間位移0階譜矩Fig.10 0-order spectral moments of inter-storey displacements

圖11 層間位移1階譜矩Fig.11 1st-order spectral moments of inter-storey displacements

圖12 層間位移2階譜矩Fig.12 2nd-order spectral moments of inter-storey displacements

由圖7～圖12可知，在積分區(qū)間固定的情況下，隨著虛擬激勵(lì)法頻域積分步長(zhǎng)Δω的減小，虛擬激勵(lì)法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)位移和結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩值就越逼近本文方法得到的譜矩值，驗(yàn)證了本文譜矩計(jì)算方法的正確性和精確性。

為了研究積分區(qū)間對(duì)虛擬激勵(lì)法譜矩精度的影響，以計(jì)算結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩為例來進(jìn)行研究。將虛擬激勵(lì)法積分區(qū)間分別取為[0, 35],[0, 40],[0, 50]，積分步長(zhǎng)分兩種情況取值：①Δω=0.001 rad/s；②Δω=0.000 1 rad/s。圖13～圖15是第①種情況虛擬激勵(lì)法分別取3種不同積分區(qū)間的譜矩值與本文方法譜矩值之差的絕對(duì)值;圖16～圖18是第②種情況虛擬激勵(lì)法分別取3種不同積分區(qū)間的譜矩值與本文方法譜矩值之差的絕對(duì)值，其縱坐標(biāo)反映的是虛擬激勵(lì)法譜矩值偏離本文方法譜矩值的大小。

圖13 層間位移0階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.001 rad/s)Fig.13 Accuracy of 0-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

虛擬激勵(lì)法是功率譜分析的精確方法，其功率譜譜矩計(jì)算需要進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算精度取決于積分步長(zhǎng)和積分區(qū)間。當(dāng)積分上限取值相同時(shí)，積分步長(zhǎng)取值越小，計(jì)算結(jié)果精確度越高，第②種情況積分步長(zhǎng)是第①種情況積分步長(zhǎng)的0.1倍，所以第②種情況譜矩計(jì)算精度比第①種情況譜矩計(jì)算精度更高。由第①種情況圖14和圖15可知，部分樓層的層間位移1階和2階譜矩值并沒有隨著積分區(qū)間的增大而更逼近本文方法譜矩值，由第②種情況圖16～圖18可知，結(jié)構(gòu)層間位移0～2階譜矩值均隨著積分區(qū)間的增大而更逼近本文方法譜矩值，由此可知，隨著頻域積分步長(zhǎng)Δω的減小和整個(gè)積分區(qū)間的增大，兩種方法計(jì)算得到的0～2階譜矩值誤差越小，虛擬激勵(lì)法得到的譜矩值就更逼近本文方法譜矩值，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文譜矩解為精確解，同時(shí)也說明虛擬激勵(lì)法要想達(dá)到更高的精度，須將積分步長(zhǎng)取得足夠小。

圖14 層間位移1階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.001 rad/s)Fig.14 Accuracy of 1st-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

圖15 層間位移2階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.001 rad/s)Fig.15 Accuracy of 2nd-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

圖16 層間位移0階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.16 Accuracy of 0-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

圖17 層間位移1階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.17 Accuracy of 1st-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

圖18 層間位移2階譜矩誤差對(duì)比(Δω=0.000 1 rad/s)Fig.18 Accuracy of 2nd-order spectral moments(Δω=0.000 1 rad/s)

基于同一CPU耗時(shí)對(duì)比，分別用兩種方法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移和結(jié)構(gòu)層間位移的0～2階譜矩(一共計(jì)算10層樓)，本文方法耗時(shí)0.503 s，虛擬激勵(lì)法耗時(shí)727.178 s，其中，虛擬激勵(lì)法的ω∈[0, 250]，Δω=0.000 1 rad/s?？梢?，本文方法計(jì)算效率有大幅度地提高。

6 結(jié) 論

本文對(duì)設(shè)置廣義Maxwell阻尼器的耗能結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍譜隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行分析，提出了一種簡(jiǎn)明解析解法，并給出一算例，驗(yàn)證所提方法的正確性和高效性。

(1)利用歐進(jìn)萍譜濾波方程，重構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，并用復(fù)模態(tài)法解耦，使基于歐進(jìn)萍譜的激勵(lì)轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)來表示，進(jìn)而獲得耗能結(jié)構(gòu)功率譜以及結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)譜矩的簡(jiǎn)明解析解，解的形式為系統(tǒng)特征值的線性組合。

(2)將本文得到的激勵(lì)功率譜與歐進(jìn)萍譜傳統(tǒng)表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比，將本文得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與虛擬激勵(lì)法得到的功率譜進(jìn)行對(duì)比，兩者圖形均完全吻合，驗(yàn)證了本文方法的正確性。本文所得譜矩解和方差解為無積分運(yùn)算的解析解，與虛擬激勵(lì)法相比較，計(jì)算精度和計(jì)算效率都有顯著提高，尤其對(duì)復(fù)雜工程體系優(yōu)勢(shì)更明顯。

(3)本文方法適用于具有濾波方程的平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析，并可以推廣到非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析。

(4)所獲得的耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0～2階譜矩解析解，可為隨機(jī)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析奠定基礎(chǔ)。

附錄A:廣義Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)的虛擬激勵(lì)法

(A.1)

引入如下復(fù)模態(tài)變換