變工況下滾動軸承保持架碰撞接觸動力學特性分析

涂文兵， 梁 杰， 楊錦雯， 楊本夢， 張桂源， 袁曉文

(1. 華東交通大學 機電與車輛工程學院，南昌 330013; 2. 華東交通大學 軌道交通基礎設施性能監測與保障國家重點實驗室，南昌 330013)

保持架作為約束和引導滾動體運動的重要組成元件，工作時與滾動體間的碰撞和摩擦作用直接地影響到自身、甚至是整個軸承的工作性能。為此，分析保持架動力學特性，準確把握滾動體與保持架之間碰撞接觸的產生及變化機理，對于消除和控制破壞性碰撞，減少保持架失效、改善軸承性能、延長軸承壽命等具有十分重要的意義。

Kakuta[1]最早從理論上分析了球軸承滾動體對保持架接觸作用力的產生機理，并從試驗方面研究了套圈不對中對作用于保持架上沖擊力的影響。Walters[2]建立了六自由度保持架的深溝球軸承動力學模型，首次通過數值仿真研究了保持架的瞬態運動特性，為滾動軸承保持架接觸動力學研究奠定了良好的基礎。Gupta[3]考慮各軸承部件完全自由度建立了滾動軸承動力學模型，深入研究了保持架的運動機理，并分析了滾動體與保持架之間接觸作用力對保持架運動穩定性的影響。Rivera[4]在Gupta的基礎上忽略幾何因素的影響建立了簡化的軸承動力學模型，并分析了保持架的運動穩定性，研究結果表明保持架不穩定運動的產生原因主要是滾動體與保持架相互的接觸作用，然而，模型中對滾動體與保持架間接觸行為的處理方式較為簡單，無法準確反映兩者之間的真實接觸狀況變化。胡于進等[5]將滾動體與保持架之間的接觸考慮為流體動力潤滑、剛性接觸和自由接觸三種狀態，建立了相應的數值計算模型，研究并分析了保持架運轉過程中接觸狀態的變化規律及兜孔間隙和潤滑油性質對接觸作用力的影響。Meeks等[6]在通過擬靜力學方法確定軸承內部載荷分布的基礎上，采用非完全線性接觸方式處理了滾動體與保持架之間的接觸，研究了摩擦因數和軸承間隙對保持架磨損和所受接觸力的影響。Boesiger等[7]考慮保持架彎曲和接觸區域局部彈性變形研究了保持架兜孔的受力及保持架的動態特性。陳國定等[8]考慮表面粗糙度效應下具體分析了運動過程中滾動體與保持架之間相互作用力隨滾動體位置角的變化規律。賴擁軍等[9]考慮保持架兜孔間隙的影響，分析了穩定工況下多個保持架兜孔的受力情況，并得出保持架疲勞失效的重要原因之一是滾動體產生的高頻碰撞沖擊。自此，許多學者對保持架與滾動體之間的碰撞接觸特性展開了大量的研究。周延澤等[10]采用簡化的質點-桿、質點-固支梁系統模擬滾動體與保持架橫梁、側梁的局部接觸，研究了理想狀態下球與保持架碰撞瞬時的沖擊載荷變化及其影響因素。劉文秀等[11]通過模糊碰撞理論定義了滾動體與保持架碰撞接觸的發生條件，并建立了保持架的動力學分析模型，從運動穩定性方面探究了結構參數對保持架與滾動體之間碰撞力的影響規律。王春潔等[12]建立了靜止滾動體與保持架的沖擊振動模型，研究了不同偏斜角、轉速及靜載荷條件下保持架沖擊載荷的變化規律。姚譞[13]突出考慮保持架與滾動體間的碰撞作用，將滾動體與保持架簡化為相互作用的不連續碰撞振動系統，并分析了不同工況條件下保持架所受碰撞力的變化特性。保持架碰撞接觸特性已越來越成為滾動軸承性能分析的重要前提。

隨著滾動軸承向著高速、重載、精密等方向發展，保持架失效現象愈發明顯，針對保持架在變速、變加速、變載荷等典型復雜變工況下的動態接觸特性研究已成為當下亟待解決的熱點問題。崔立等[14]基于擬動力學計算結果建立了球軸承滾動體/保持架有限元模型，分析了滾動體碰撞作用下保持架的動態特性變化及應力分布特點，指出工況的突變和結構參數的不合理均會導致保持架承受較大的碰撞應力。張娟等[15]利用ADMAS軟件分析了主軸軸承在風機啟動至平穩運行、轉速突變及緊急制動三種特殊工況下滾動體與保持架之間接觸力幅值、平均值等特性參數的變化。李紅濤等[16]充分考慮滾動體與保持架橫梁之間潤滑狀態的改變，計算分析了停止階段任意時刻滾動體與保持架間的碰撞力變化，并建立了滾動體與保持架的有限元接觸模型，研究了角加速度、外載荷、潤滑油、保持架材料及結構尺寸對保持架應力分布的影響規律。涂文兵等[17]、羅丫等[18]分別研究了加、減速非平穩工況下外載荷和角加速度對角接觸球軸承保持架運動以及單個滾動體與保持架碰撞力的影響，并結合試驗進行了驗證。劉樂平等[19]運用ANSYS/ LS-DYNA研究了簡諧轉速波動工況下不同波動頻率和幅值對圓柱滾子軸承滾動體與保持架之間接觸碰撞程度的影響規律。

以上研究成果從不同角度出發對滾動軸承運轉過程中保持架的碰撞接觸特性展開了分析，并且探究了不同因素對碰撞接觸程度和變化過程的影響規律。但研究主要集中在平穩工況，分析模型中大多忽略了滾動軸承運動部件的動態效應。然而，滾動軸承運動部件的動態效應將對保持架的碰撞接觸及其性能產生重要作用，尤其在非穩定工況下。此外，雖然部分學者在變工況下保持架動態接觸特性方面的研究取得了一些成果，但未涉及不同變工況影響程度的對比研究，且由于主要采用ANSYS、ADMAS等軟件進行仿真模擬，不能較好地描述滾動體與保持架之間的相互碰撞和摩擦問題。因此，本文采用動力學分析方法，考慮滾動體離心力與重力、內圈(含轉子)和滾動體的動態效應等，建立了滾動軸承動力學分析模型，重點針對勻、加、減速及不同轉速波動工況下的滾動體與保持架間碰撞力幅值、次數及分布變化情況進行了對比分析。旨在揭示保持架失效和工況特征之間的關系，從而為工況的合理選取以及保持架結構的改進設計提供參考。

1 滾動軸承動力學模型

滾動軸承運動部件的動態效應會直接導致滾動體與套圈之間接觸位置角的改變，且兜孔間隙的存在使實際工作過程中滾動體與保持架之間的接觸狀態和接觸關系十分復雜。為便于建立滾動軸承動力學模型，引入內圈(含轉子)及滾動體動態效應對保持架碰撞沖擊作用的影響，本文假設軸承系統中各元件均為剛體，質心與幾何中心重合，并且運動僅局限于軸承平面內，假定外圈固定，不考慮保持架與套圈擋邊之間的流體動壓作用，忽略保持架質心的平動自由度。

此外，準確處理和計算軸承各組成元件之間的相互作用是保持架接觸特性研究的重要基礎和關鍵。為此，本文考慮潤滑等非線性因素影響，采用非完全彈性碰撞力模型的接觸力計算方法[20]，將保持架兜孔與滾動體之間的碰撞接觸考慮為彈簧剛度和阻尼的等效作用，并通過設定合理的摩擦因數來計算摩擦力的大小，而滾動體與套圈之間的接觸作用則通過Hertz彈性接觸和牽引-潤滑模型[21]來模擬，如圖1所示。ωaj，ωbj，ωc分別為第j個滾動體公轉角速度、自轉角速度及保持架角速度。

圖1 滾動軸承動力學模型Fig.1 Dynamic model of rolling bearing

1.1 滾動體與套圈間的相互作用

圖2 滾動體與套圈之間的位置關系Fig.2 Position relationship between the roller and the ring

考慮軸承徑向游隙，第j個滾動體與內圈的接觸變形可表示為

(1)

(2)

(3)

式中，rO,Oa為滾動體中心初始位置(Oa)在慣性坐標系下的位置矢量。

滾動體與外圈的接觸變形取決于滾動體的徑向位移和徑向游隙，可表示為

(4)

根據Hertz接觸理論可知，第j個滾動體與內、外圈間的接觸力大小可表示為[22]

(5)

式中：Ki和Ko分別為滾動體與內、外圈間的接觸剛度系數，詳細計算過程見文獻[23-24];n為滾動體與內、外圈滾道間的接觸系數，對于球軸承，n取1.5。

根據庫倫摩擦定律可知，摩擦力為摩擦因數和接觸面間法向力的乘積。因此，滾動體與內、外圈滾道之間的摩擦力大小可表示為

(6)

式中，μ為滾動體與內、外圈滾道之間的牽引潤滑摩擦因數，隨相對滑動速度ΔV的改變而改變，相關計算方法可參考文獻[25]。

1.2 滾動體與保持架之間的相互作用力

為較為真實地反映滾動體與保持架兜孔之間的動態接觸關系，考慮間隙碰撞和潤滑摩擦作用，建立保持架兜孔坐標系OpXpYp來計算滾動體與保持架兜孔之間的彈性變形量δcj。圖3為任一角位置Ψj處滾動體與保持架之間的位置關系，Op為保持架兜孔中心，Xp，Yp分別為保持架的徑向方向和圓周方向。

圖3 滾動體與保持架之間的位置關系Fig.3 Position relationship between roller and cage

由圖3可知，只有當δcj>0時，滾動體與保持架發生接觸，反之，兩者脫離接觸，無接觸變形。考慮保持架兜孔間隙，第j個滾動體與保持架兜孔之間的接觸變形可表示為

(7)

(8)

式中，rO, Op為保持架兜孔中心(Op)在慣性坐標系下的位置矢量。

因此，第j個滾動體與保持架兜孔之間碰撞力、摩擦力的大小分別為[26]

(9)

Fcj=μcNcj

(10)

式中：Kc為滾動體與保持架之間的等效接觸剛度系數；C為等效接觸阻尼系數；Vcj為接觸點法向相對速度；μc為摩擦因數，由于滾動體與保持架之間的相對滑移速度較大，故取為常數。

1.3 非線性動力學微分方程組

保持架設計為滾動體引導，在運動過程中，內、外圈對保持架的作用力為零，并且由于滾動體與保持架兜孔前端、后端接觸時碰撞力的作用效果也會不同。因此，本文將滾動體分別與保持架兜孔前、后端接觸時的碰撞力用Nc1j，Nc2j表示，摩擦力用Fc1j，Fc2j表示，包保持架受力示意圖如圖4所示。保持架的運動微分方程可表示為

圖4 保持架受力示意圖Fig.4 Schematic diagram of cage force

(11)

式中：Jc為保持架繞質心的轉動慣性；Ψc為保持架轉動角位移。

內圈的運動受到外加徑向載荷、滾動體接觸力及其相應摩擦力的直接影響，故內圈的運動微分方程可表示為

(12)

滾動體的運動微分方程可表示為

(13)

(14)

本文采用四階定步長Runge-Kutta法對上述運動微分方程式(15)～式(18)聯立進行積分求解，進而得到各瞬時軸承內部元件的受力分布和運動狀態。綜合考慮計算結果的收斂性和計算效率，初始積分步長設置為Δt=5×10-6s，計算過程流程如圖5所示。

圖5 計算過程流程圖Fig.5 Calculation process flow chart

2 模型驗證

本文選用6309型深溝球軸承為研究對象，相關尺寸參數如表1所示。由于徑向載荷較大、內圈轉速較低時，滾動軸承運動部件的動態效應較弱且打滑現象不明顯，此時保持架運動基本上按照理論轉速旋轉。因此，分別針對內圈轉速ωi=1 000 r/min時不同徑向載荷(W=1 000 N，W=2 000 N，W=3 000 N)下滾動體與套圈的動態接觸載荷分布、徑向載荷W=3 000 N時不同內圈轉速(ωi=1 000 r/min，ωi=2 000 r/min,ωi=3 000 r/min)下保持架轉速仿真值(由于仿真過程初期保持架轉速隨時間變化幅度較大，故本文取仿真時間1～2 s內的保持架轉速平均值作為該工況下的保持架轉速仿真值)與靜力學計算得出的解析結果、保持轉速理論值進行對比，以驗證所建動力學模型的有效性。對比結果如圖6、表2、表3所示。

表3 徑向載荷W=3 000 N時不同內圈轉速下保持架運動參數對比Tab.3 Comparison of cage motion parameters under different inner ring speeds under radial load W=3 000 N

圖6 內圈轉速ωi=1 000 r/min時不同徑向載荷下仿真和解析載荷分布曲線Fig.6 Simulation and analytical load distribution curves under different radial loads when inner ring speed ωi=1 000 r/min

表1 6309型深溝球軸承幾何參數Tab.1 Geometric parameters of 6309 deep groove ball bearings

表2 內圈轉速ωi=1 000 r/min時不同徑向載荷下最大接觸載荷對比Tab.2 Comparison of maximum contact loads under different radial loads when inner ring speed ωi=1 000 r/min

滾動軸承接觸載荷的靜力學計算公式為

(15)

式中，δr為Ψj=0°處套圈的徑向移動量。

軸承外圈固定，內圈轉動，保持架理論轉速ωcm計算公式為

(16)

由圖10、表2、表3可以看出，轉速較低時，不同徑向載荷作用下滾動體與套圈接觸載荷分布曲線的仿真結果與解析結果相似，最大接觸載荷仿真解與解析解近似相等，誤差均在10%以下；內圈轉速一定時，隨著徑向載荷的增加軸承運動部件的動態效應減弱，最大接觸載荷仿真解與解析解之間的誤差也越來越小；徑向載荷較大時，不同內圈轉速下保持架轉速仿真值與理論值的誤差均保持在0.3%上下。仿真結果與解析結果吻合較好，驗證了本文所建立的軸承動力學模型的有效性，為本文后續的分析奠定了良好的基礎。

3 分析結果與討論

3.1 勻、加、減速工況下保持架碰撞接觸特性分析

旋轉機械的運動歷程大致可以概括為啟動、穩定運行、停車三個階段。在啟動和停車過程中，滾動軸承普遍具有較大的加速度，運動狀態的急劇變化使滾動體與保持架之間的碰撞接觸表現出一定的規律和區別。為進一步揭示其中的聯系，本文基于所建模型模擬滾動軸承由零加速至一指定轉速后保持一定時間的穩定轉動，進而再減速至零的變化過程，對勻、加、減速工況下滾動體與保持架的碰撞接觸特性展開對比分析。假設穩定運行時內圈轉速ωi為300 rad/s，忽略潤滑油密度和黏度的影響，將加、減速過程簡化為理想的線性增加和線性減小，角加速度大小為300 rad/s2，內圈轉速變化曲線如圖7所示。

圖7 內圈轉速變化曲線Fig.7 Change curve of inner ring speed

由于各滾動體與保持架間相互作用力的變化趨勢基本相同，在不失一般性的條件下，選擇第一個滾動體與保持架之間的動態接觸載荷變化進行了分析。考慮到需減小和控制其他因素對滾動體與保持架之間接觸作用力的影響，徑向載荷W設置為3 000 N。

保持架設計過程中我們首先需要考慮的是能否承受未來工作環境下可能出現的極限載荷，且由于不同工況下滾動體與保持架兜孔前、后端接觸狀態不同，故本文分別對上述運動過程中滾動體與保持架兜孔前、后端碰撞力的幅值變化進行了統計分析。圖8為整個過程中滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值隨滾動體轉動周期變化曲線圖。

圖8 滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值隨滾動體轉動周期變化曲線圖Fig.8 Curve of the amplitude of the impact force between the roller and the cage pocket changing with the rotation period of the roller

從圖8可以看出，加速過程(Ⅰ)中，滾動體與保持架兜孔的前端碰撞力幅值呈明顯的抖動上升趨勢，而后端碰撞力幅值上升趨勢不明顯，前端碰撞力幅值的波動程度較后端更大，但碰撞力幅值明顯小于后端碰撞力幅值。這可能是由于加速過程中保持架運動主要靠滾動體推動，滾動體與保持架兜孔前端始終保持比較緊密的接觸(主要發生在承載區，見圖9(a))，而后端的碰撞力主要是由于保持架和滾動體的不穩定運動造成的碰撞引起的(主要發生在非承載區，見圖9(a))；勻速過程(Ⅱ)中，滾動體與保持架兜孔的前端碰撞力幅值相較于后端碰撞力幅值時大時小，碰撞不穩定，隨機性較強，產生這種現象的原因可能是由于軸承內部運動元件存在較強的不穩定因素造成的；減速過程(Ⅲ)中，滾動體與保持架兜孔的碰撞力幅值基本呈抖動下降趨勢，前端碰撞力幅值先減小、后增大，然后在震蕩中逐漸降低。相較于前端碰撞力幅值，后端碰撞力幅值更小，這可能是由于減速過程中滾動體阻礙保持架的運動，與保持架兜孔后端接觸較為緊密造成的(主要發生在承載區，見圖9(c))。

圖9 不同階段下單個轉動周期內滾動體與保持架兜孔碰撞力曲線圖Fig.9 Curve of collision force between the roller and the cage pocket in a single rotation period at different stages

為更為直觀地比較滾動體與保持架間碰撞接觸特性的變化規律，表4給出了不同階段內滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值統計值。可以發現，由于不同變速工況下軸承內部元件受力、運動狀態不同，加速階段(Ⅰ)滾動體與保持架兜孔前端碰撞力幅值平均值相比于后端要小的多，減速階段(Ⅲ)則相反；受變速過程的影響，相比于加(Ⅰ)、減速(Ⅲ)階段，勻速階段(Ⅱ)滾動體與保持架兜孔前、后端碰撞力幅值變化范圍最大，碰撞力幅值平均值較高，說明此時滾動體和保持架之間碰撞程度較高，但隨機性較強；整個運動過程中，滾動體與保持架兜孔前端碰撞力幅值變化范圍相較于后端更大，這是由于滾動體與保持架兜孔前端碰撞力是維持保持架同向轉動的主要作用來源，當滾動體運動狀態受內圈不穩定運動的影響時，會直接造成對保持架兜孔前端碰撞力幅值的改變。因此，考慮滾動軸承運動元件動態效應影響在保持架動態接觸特性分析中是必不可少的。

表4 不同階段內滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值統計值Tab.4 Amplitude statistics of the impact force between the roller and the cage pocket in different stages

圖9給出了不同階段下單個轉動周期內滾動體與保持架兜孔碰撞力曲線圖。從圖9中可以看出，相較于勻速階段(Ⅱ)，變速過程中滾動體與保持架間碰撞次數增多；加速(Ⅰ)時，處于承載區內的滾動體受到足夠驅動作用力影響主要與保持架兜孔前端發生碰撞，非承載區內伴隨著打滑現象和重力作用的明顯，滾動體與保持架兜孔后端碰撞，且主要發生在非承載區前半段，如圖9(a)所示；減速(Ⅲ)時，承載區內滾動體主要與保持架兜孔后端發生碰撞，而由于位置角的不同使重力的作用效果發生改變，在非承載區后半段滾動體與保持架兜孔前端發生頻繁碰撞，如圖9(c)所示。

3.2 不同轉速波動工況下保持架碰撞接觸特性分析

實際生產生活中，電機輸出的驅動力矩會受到工作環境等外界因素的影響產生變化，且機械系統內部各中間構件變速運動時產生的慣性力矩更是會直接造成滾動軸承的運行轉速出現不同形式的周期性波動，進而加劇滾動體與保持架之間的碰撞，加快保持架損壞[19]。為更加清楚地了解到不同轉速波動工況下保持架是否仍然具有良好的動力學特性及不同轉速波動工況條件對滾動體與保持架之間碰撞接觸特性的影響變化，本文選取較為典型的周期性簡諧波動、矩形波動、三角波動轉速工況與穩定工況展開對比研究。假設轉速波動周期均為0.02 s，內圈轉速變化曲線如圖10所示。

圖10 內圈轉速變化曲線Fig.10 Change curve of inner ring speed

圖11、表5分別給出了不同工況下滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值隨滾動體轉動周期變化曲線、滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值統計值。通過對比可以看出，由于轉動波動工況下滾動體、保持架的運動狀態時刻發生改變，不穩定性較強，故兩者之間的碰撞力幅值和平均值相較于穩定工況要大得多，且變化范圍也較大；不同轉速波動工況下滾動體與保持架碰撞劇烈程度不一樣，碰撞最劇烈的是矩形波動工況，簡諧波動工況次之，三角波動工況最小。這是由于不同轉速波動下軸承內部運動元件的不穩定程度不同引起的，矩形波動工況下轉速變化明顯，滾動體和保持架的不穩定運動劇烈，碰撞作用力急劇增大。

圖11 不同工況下滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值隨轉動周期變化曲線Fig.11 Curve of the amplitude of the impact force between the roller and the cage pocket as a function of the rotation period under different working conditions

表5 不同工況下滾動體與保持架兜孔碰撞力幅值統計值Tab.5 Amplitude statistics of the impact force between the roller and the cage pocket under different working conditions

由于轉速波動變化較快，不同滾動體轉動周期內滾動體與保持架兜孔碰撞力分布無明顯統一規律，故本文給出單個轉速波動周期(0.9～0.92 s)內不同工況下滾動體與保持架兜孔碰撞力曲線圖，分析不同轉速波動工況對滾動體與保持架之間碰撞次數的影響，如圖12所示。從圖中可以看出，轉速產生波動時滾動體與保持架兜孔之間的碰撞次數較穩定工況顯著增加，但不同轉速波動形式下碰撞次數不同，由少到多依次為三角波動、簡諧波動、矩形波動。碰撞次數與碰撞程度的一一對應，說明了轉速矩形波動工況下，保持架和滾動體之間的破壞性碰撞現象嚴重，對保持架和軸承性能造成的影響最大。

圖12 不同工況下單個轉速波動周期內滾動體與保持架兜孔碰撞力曲線圖Fig.12 Curve of impact force between the roller and the cage pocket in single speed fluctuation cycle under different working conditions

4 結 論

本文以深溝球軸承6309為研究對象，建立了考慮滾動體與保持架碰撞接觸的滾動軸承動力學模型，從碰撞力幅值、次數及分布情況等方面對滾動體與保持架之間的碰撞接觸特性展開了分析，對比研究了不同變轉速工況對保持架碰撞接觸動力學特性的影響規律，主要結論如下：

(1)變速工況下滾動體與保持架間碰撞次數增多；加速工況下滾動體與保持架兜孔前端碰撞力幅值的波動程度較后端更大，但碰撞力幅值明顯小于后端碰撞力幅值；減速工況下相較于后端碰撞力幅值，前端碰撞力幅值更大。

(2)加速工況下，滾動體在承載區內主要與保持架兜孔前端發生頻繁碰撞，非承載內則主要與后端發生碰撞；減速工況下，滾動體與保持架兜孔前端碰撞主要發生在非承載區，而后端碰撞則主要發生在承載區。在對保持架結構強度和疲勞壽命進行校核計算時，應著重考慮啟、停階段時保持架所受沖擊力的大小。

(3)相較于穩定工況，轉速波動工況下滾動體與保持架間碰撞次數顯著增加，且不同轉速波動形式下碰撞劇烈程度不同，碰撞最劇烈的是矩形波動工況，簡諧波動工況次之，三角波動工況最小。因此，軸承實際工作過程中需考慮改善軸承設計和工作環境條件，避免因輸入轉速波動對保持架帶來嚴重后果，尤其避免轉速周期性矩形波動的產生。