磁懸浮軸承轉子熱彎曲振動特性研究

金超武， 董 岳， 蘇 浩， 徐園平， 周 瑾， 閆 旭

(南京航空航天大學 機電學院，南京 210016)

磁懸浮軸承-轉子系統因其無摩擦、無潤滑、支承特性可調等特點，在旋轉機械領域得到越來越多的應用。磁懸浮軸承工作時，由于鐵損的集中會造成轉子軸頸表面出現不均勻溫度分布，進而引起熱彎曲振動[1]。而熱彎曲振動又會引起鐵損集中程度的變化，進而形成一個閉環反饋，引起振幅與相位的不斷波動，影響設備性能。事實上，此類由于轉子軸頸溫度分布引起熱彎曲振動的現象在磁懸浮軸承之外的領域已被廣大學者所知。由于定轉子碰摩引起的熱彎曲振動現象被稱為Newkirk效應[2]，由于油膜黏性耗散引起的熱彎曲振動現象被稱為莫頓效應[3]。另外，此類現象對工作條件較為敏感，工作條件輕微的變化便會導致振動加劇或減小。此類現象目前仍未被工業界與學術界的專家所完全熟知。傳統的轉子動力學分析方法與設計標準通常無法排除與預測此類現象的影響。因此目前并沒有普遍適用的方法或標準來預測、避免或排除旋轉機械中熱彎曲振動引起的不穩定性問題[4]。

針對這一問題，世界各國的學者做出了許多突破性的研究。Takahashi等[5]在磁懸浮離心壓縮機中發現了不平衡振動螺旋形增加的問題，且認為鐵損集中引起的熱彎曲是此問題的原因，并建立了熱彎曲振動的理論模型，討論了其穩定性，同時利用試驗獲得了模型參數。Suh等[6-7]建立了可傾瓦軸承的熱流體動力學模型，利用變黏度雷諾方程及三維能量方程得到了轉子軸頸的溫度分布，將轉子的熱彎曲變形等效成一系列不平衡力，并提出一種非線性瞬態計算方法得到了轉子的熱彎曲振動變化結果。另外還對轉子和軸承結構進行了參數化分析，得到了各部分參數對熱彎曲振動影響。Tong等[8-11]同樣利用軸承的熱流體動力學模型和非線性瞬態計算方法分析了轉子的熱彎曲振動現象及各部分參數的影響，另外通過試驗驗證了其模型和計算方法的正確性。Panara等[12-13]利用熱-結構耦合模型和流體力學耦合模型，提出了一種新穎的迭代方法預測轉子中的熱不穩定性問題，并通過試驗驗證了其模型和方法的正確性。Yabui等[14]通過試驗，將軸頸軸承看作PD控制器，利用軸頸溫度和振動的試驗數據，建立起基于頻響的熱彎曲振動模型及傳遞函數。由模型得到的振動特性與試驗結果對應良好，證明了其模型的正確性。

針對磁懸浮軸承-轉子系統中可能出現的熱彎曲振動引起的不穩定性問題，本文利用Bertotti鐵損分離模型得到轉子軸頸處的鐵損耗，建立起轉子的熱-結構耦合振動方程，以鐵損耗作為熱源，并結合磁懸浮軸承的支承特性，求解得到轉子的熱彎曲振動響應。同時，使用一種迭代計算的方法，不斷更新振動幅值、生熱率、溫度分布和熱變形，重復計算，直到振動收斂或發散。同時利用該方法分析了轉子結構參數和電控參數對溫度、溫差及熱彎曲變化的影響。計算的方法及結果可對預測、排除磁懸浮軸承-轉子系統中熱彎曲振動引起的不穩定性問題提供依據，也可在磁懸浮系統的結構設計、動力學設計及電控系統設計提供指導。

1 磁懸浮轉子熱彎曲振動變化規律

根據磁懸浮軸承的工作原理和工作特點，轉子在工作時軸頸位置由于鐵損集中出現溫度分布，進而出現熱彎曲和熱彎曲振動。同時，熱彎曲振動又會影響鐵損集中的程度，從而形成一個閉環反饋，引起振動的波動和變化。

由于轉子出現熱變形的時間歷程相對于轉子的旋轉周期來說相對較長，轉子的熱彎曲振動可視為準靜態的過程。磁懸浮軸承轉子的熱彎曲振動變化規律如圖1所示，具體過程為：

圖1 磁懸浮軸承轉子熱彎曲振動變化示意圖Fig.1 Schematic diagram of the thermal-bow vibration in magnetic suspension rotor

(1) 如圖1(a)所示，假設轉子存在不平衡質量m0，在轉速ω下，m0產生的不平衡力F0引起轉子的穩態振動位移為u0。

(2) 如圖1(b)所示，根據磁懸浮軸承的工作原理，控制器在接收到位移傳感器的位移信號之后，產生控制電流，控制電流產生電磁力將轉子拉回平衡位置。又因為轉子做同步渦動，控制電流產生的電磁力始終作用在間隙最大的位置，進而導致鐵損集中，使轉子圓周表面溫度在A′位置(與位移方向呈180°)最高。事實上，控制電流相對振動位移會出現相位差，故實際溫度最高點的位置在A點。由于軸頸溫度分布，轉子產生熱彎曲ud1，與溫度最高點呈180°(事實上，由于轉子圓周表面的溫度分布并不是嚴格的三角函數曲線形式，故熱彎曲的方向也不是嚴格地在溫度最高點的180°方向，但此處暫且認為是180°方向)。

(3) 如圖1(c)所示，彎曲后的轉子幾何中心由旋轉中心O變化至O′，產生不平衡力Fd1。同時不平衡質量由m0位置變化至m′0位置，其產生的不平衡力由F0變為F′0。

(4) 如圖1(d)所示，出現熱彎曲后的轉子受不平衡力為Fd1和F′0的矢量和Fr1，與無熱彎曲時的不平衡力在大小和方向上均有變化，故轉子出現熱彎曲后的振動位移ud1與無熱彎曲時的振動位移u0相比，其振幅和相位也會發生變化，如圖1(e)所示。

(5) 同理，熱彎曲振動位移ud1又會引起溫度分布、熱變形的變化，產生新的振動位移。以此類推，故磁懸浮轉子熱彎曲振動的幅值和相位會不斷波動和變化。

2 磁懸浮轉子熱彎曲振動迭代計算方法及計算模型

2.1 磁懸浮轉子熱彎曲振動迭代計算方法

針對磁懸浮軸承轉子熱彎曲振動的形成機理和變化規律，本文提出一種迭代計算的方法，通過結合磁懸浮軸承的支承特性和控制器特性，不斷更新溫度分布、熱變形，得到磁懸浮轉子熱彎曲振動及其變化。磁懸浮轉子熱彎曲振動迭代計算流程如圖2所示，具體步驟為：

圖2 磁懸浮轉子熱彎曲振動迭代計算流程圖Fig.2 Flow diagram of iterative calculation method of thermal-bow vibration in magnetic suspension rotor

步驟1結合磁懸浮軸承的支承特性，求解轉子在不平衡質量m0和轉速ω下的不平衡響應；

步驟2利用軸承位置的不平衡響應，計算轉子軸頸位置的鐵損分布；

步驟3以轉子軸頸鐵損分布作為熱源，求解轉子溫度分布；

步驟4利用轉子溫度分布，求解轉子熱變形；

步驟5結合轉子溫度分布和熱變形，求解轉子熱彎曲振動；

步驟6以熱彎曲振動作為條件，重復步驟2～步驟5，直到振動收斂或超過設定值。并在所有工作轉速下重復該迭代過程，得到相應的熱彎曲振動及變化過程。

2.2 各部分計算模型

2.2.1 磁懸浮軸承支承特性及控制電流

磁懸浮軸承工作時定子線圈內的電流包括偏置電流和控制電流，前者產生的電磁力抵消轉子重力，后者產生的電磁力對轉子進行控制，同時轉子在電流產生的磁場中運動產生鐵損。假設磁懸浮軸承控制規律的傳遞函數為

(1)

其頻域表達式為

G(jω)=P(ω)+jQ(ω)

(2)

式中，P(ω)，Q(ω)分別為G(jω)的實部和虛部。根據磁懸浮軸承理論[15]，其等效剛度和等效阻尼為

(3)

式中，kx和ki分別為磁懸浮軸承的位移剛度和電流剛度，具體表達式為

(4)

式中：μ0為真空磁導率；S為單個磁極面積；N為線圈匝數；Ib為偏置電流；δ0為氣隙大小。

磁懸浮軸承定子線圈中的電流包括偏置電流Ib和控制電流Ic，偏置電流根據磁懸浮軸承承載力確定，控制電流由電控系統和振動位移決定。控制電流的表達式為

Ic(s)=KsKAU(s)G(s)

(5)

式中：Ks，KA分別為位移傳感器和功率放大器的增益；U(s)為轉子振動位移的表達式。對式(5)做拉普拉斯逆變換可得控制電流時域表達式，故定子線圈中的電流為

Is=Ib+L-1[Ic(s)]

(6)

2.2.2 不平衡響應

轉子的運動微分方程[16]為

(7)

式中： [M]，[C]，[G]，[K]分別為轉子的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺效應矩陣和剛度矩陣；Ω為轉子轉速；{Q}為轉子所受廣義力向量。

{Q}=[m1e1eiφ1, 0,m2e2eiφ2, 0, …,mNeNeiφN, 0]T

(8)

假設方程的特解為

{U}={A}eiΩt

(9)

代入原方程得

{A}=Ω2[-MΩ2+i(C+G)Ω+K]-1{Q}

(10)

則不平衡響應為

{U}=[a1eiε1, 0,a2eiε2, 0, …,aNeiε2N, 0]TeiΩt

(11)

2.2.3 電磁損耗模型

根據磁懸浮軸承理論，磁懸浮軸承氣隙處的磁感應強度[17]為

(12)

式中：δ0為氣隙長度；μ0為真空磁導率；φ為磁路總磁通量；Ap為磁極面積；N為線圈匝數；Is為線圈中的總電流。

磁懸浮軸承轉子軸頸上的鐵損耗按照產生機理分為磁滯損耗、渦流損耗和異常損耗，可分別表示為

Ph=?f·Sdv

(13)

(14)

Pe?ke(fB)1.5

(15)

本文利用有限元軟件計算轉子軸頸處的鐵損耗，軟件利用軟磁材料的各項損耗系數進行計算，故本文使用Bertotti鐵損分離模型對試驗測得數據進行擬合，得到硅鋼片材料的各項損耗系數[18]。Bertotti鐵損分離模型將鐵損耗PFe按產生機理分為磁滯損耗Ph、渦流損耗Pc和異常損耗Pe，其關系為

(16)

式中：Kh為磁滯損耗系數；a為磁滯損耗指數；Kc為渦流損耗系數；Ke為異常損耗系數；Bm，f分別為鐵芯內磁感應強度幅值和磁感應強度變化頻率。

2.2.4 轉子熱傳導模型

根據傳熱學理論[19]，對于不可壓縮的流體和固體，其導熱微分方程為

(17)

式中：ρ為材料密度；c為比熱容；qv為內熱源的生成熱；λx，λy，λz分別為x，y和z方向的導熱系數。

對于磁懸浮軸承轉子，其軸頸部件處的熱邊界條件，如圖3所示。定轉子氣隙處硅鋼片部件圓周面處的對流換熱系數1通常取3～10 W/m2×℃[20]。對于硅鋼片部件端面處的對流換熱系數2和芯軸表面對流換熱系數3可通過式(18)計算得到[21]

圖3 轉子軸頸部件熱邊界條件Fig.3 Thermal boundary condition of rotor journal

(18)

式中：n為轉速；d為圓柱面直徑。

2.2.5 轉子熱彎曲模型

轉子軸頸出現不均勻溫度分布時，其兩側受熱膨脹不同，故出現熱彎曲。轉子熱彎曲示意圖如圖4所示。對熱彎曲進行合理的線性化，可推導出轉子熱彎曲的計算公式[22]。

圖4 轉子熱彎曲變形示意圖Fig.4 Schematic diagram of rotor thermal deflection

根據材料力學基本理論，轉子伸出位置總熱變形為

(19)

式中：α為材料熱膨脹系數；Lb為軸頸長度；R為軸頸位置半徑； ΔT為軸頸溫度差；L為從軸頸位置開始的伸出長度。

2.2.6 轉子熱-結構耦合振動方程

對于存在溫度分布的轉子，不均勻的膨脹受到約束而產生熱應力，其基本方程為

(20)

式中：E(t)為隨溫度變化的彈性模量；α為線膨脹系數；T為轉子工作時的溫度；T0為初始環境溫度；μ為泊松比。

根據達朗貝爾原理，有溫度應力的轉子振動方程[23]為

(21)

{P}=[m1(e1+yd1)eiφ1, 0,m2(e2+yd2)eiφ2, 0,…,
mN(eN+ydN)eiφN, 0]T

(22)

(23)

對于轉子來說，任意位置的位移向量{U}由兩部分組成

{U}={δ}+{δT}

(24)

式中： {δ}為原始形狀到平衡位置的位移； {δT}為溫度應力引起的變形。

3 磁懸浮轉子熱彎曲振動特性

本文以某型試驗轉子為例，利用上文提出的迭代計算方法計算其熱彎曲振動及變化過程，并借此說明磁懸浮轉子因軸頸鐵損集中而產生的熱彎曲振動的特點。試驗定、轉子基本結構如圖5所示，轉子由兩個磁懸浮軸承支承，并由電機帶動旋轉。磁懸浮軸承控制規律選擇PID控制。定、轉子及電控系統基本參數，如表1所示。

圖5 定、轉子結構示意圖Fig.5 Structural diagram of the stator and the rotor

表1 定、轉子結構參數及電控系統參數Tab.1 Parameters of the stator, the rotor and the control system

3.1 磁懸浮軸承支承特性及不平衡響應

PID控制規律下磁懸浮軸承電控系統的傳遞函數G(s)可表示為

(25)

式中：Kp，Ki，Kd分別為比例、積分、微分系數；Tf為不完全微分濾波器的截止周期；Ks和KA分別為位移傳感器和功率放大器的增益系數。根據式(3)， PID控制策略下磁懸浮軸承的等效剛度和等效阻尼表達式為

(26)

式中，kx和ki分別為磁懸浮軸承的位移剛度和電流剛度。

結合磁懸浮軸承的支承特性，轉子的坎貝爾圖如圖6所示。從圖6中可知，轉子的前兩階剛體臨界轉速分別為75 Hz和136 Hz，一階彎曲臨界轉速約為354 Hz，對應的歸一化振型如圖7所示。

圖6 轉子坎貝爾圖Fig.6 Campbell plot of the rotor

圖7 轉子振型圖Fig.7 Modal shape of the rotor

本文利用有限元軟件，結合等效剛度和等效阻尼，得到轉子的不平衡響應如圖8所示。

圖8 磁懸浮轉子不平衡響應Fig.8 Unbalance response of magnetic suspension rotor

3.2 轉子鐵損分布、溫度分布及熱變形

以70 Hz旋轉頻率為例，利用磁懸浮轉子的不平衡響應，可得轉子軸頸鐵損分布。本文利用有限元軟件，不平衡響應設置為偏心距，轉速設置為與旋轉頻率相等，定子線圈內的電流根據式(6)設置，得轉子軸頸橫截面處的鐵損分布，如圖9所示。從圖9中可以看出，由于轉子在定子中做同步渦動，且控制電流始終跟隨間隙最大的位置，軸頸橫截面上的鐵損出現了明顯的集中。

圖9 轉子軸頸橫截面鐵損分布Fig.9 Iron loss distribution in the cross section of rotor journal

假設轉子軸頸鐵損分布在軸線方向不存在差異，即轉子軸頸任意橫截面的鐵損分布一致，以鐵損作為熱源，可的轉子的溫度分布。本文使用有限元軟件，根據鐵損分布設置生熱率作為載荷，設置環境溫度為25 ℃，并按照式(18)設置圖3中的相應邊界條件得到轉子的溫度分布，如圖10所示，轉子軸頸圓周溫度、溫差分布，如圖11所示。

圖10 轉子溫度分布Fig.10 Temperature distribution of the rotor

圖11 70 Hz旋轉頻率下轉子軸頸圓周溫度、溫差分布Fig.11 Temperature and temperature difference distribution in the rotor journal under 70 Hz rotation frequency

從圖8、圖9和圖11可知，70 Hz旋轉頻率下轉子靠近懸臂端磁軸承位置處的振幅為32.45 μm，方向3.174°，即此時在180°左右的位置軸承間隙最大。又因為轉子在做同步正向渦動，控制電流產生的電磁力始終跟隨間隙最大的位置，產生鐵損集中，又由于控制電流存在相位差，故轉子表面溫度最高點出現在202.5°左右的位置。

利用轉子溫度分布，并認為轉子左端完全約束，可得轉子熱變形如圖12所示。從圖12中可知，轉子徑向最大變形為0.252 μm，方向17.33°。熱彎曲的方向基本與溫度最高點位置呈180°(與振動方向基本同向)，但仍存在誤差，其原因在于軸頸溫度分布并不是嚴格的三角函數形式，即溫度分布并不是嚴格對稱的。

圖12 轉子x,y方向熱彎曲變形Fig.12 Thermal bow deflection of the rotor in x and y direction

3.3 熱彎曲-不平衡耦合振動及其變化

再利用熱彎曲-不平衡耦合振動，求解得新的鐵損分布、溫度分布、熱變形和熱彎曲-不平衡響應，如此更新條件，重復迭代，直到振動收斂或超過設定值。由此獲得轉子軸頸圓周溫度分布變化及熱彎曲-不平衡耦合振動的變化過程，分別如圖13(a)、圖13(b)所示。

從圖13中可以看出，70 Hz轉速下轉子的不平衡響應振動(圖13(b)中第0次迭代)的方向為3.174°，鐵損集中產生的溫度最高點的方向為202.5°，產生的熱彎曲方向為17.33°，即熱彎曲產生的不平衡量方向在17.33°。此時熱彎曲使殘余不平衡質量遠離旋轉中心，且熱彎曲產生的不平衡量與殘余不平衡量之間呈銳角，故轉子有熱彎曲時受到的不平衡力的幅值比沒有熱彎曲時大，且相位也有一定變化，因此轉子熱彎曲-不平衡耦合振動與不平衡響應相比振幅變大，且相位也有一定變化。但由于振幅變化相對較小，并沒有引起溫度分布出現明顯的、較大的變化(從圖13(a)可知溫差在0.18 ℃左右波動)，故出現熱彎曲后的不平衡力未出現明顯的變化，故振動收斂。

圖13 70 Hz旋轉頻率轉子溫度分布及振動變化Fig.13 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 70 Hz rotation frequency

3.4 不同轉速下的熱彎曲-不平衡耦合振動特性

由磁懸浮轉子熱彎曲振動的變化規律可知，轉子振動位移的幅值、方向和旋轉頻率對熱彎曲振動均有明顯影響。從圖8可知，試驗轉子在1～450 Hz旋轉頻率下不平衡響應的振幅和相位會出現明顯的變化，故在1～450 Hz內計算轉子的熱彎曲-不平衡耦合振動及變化，并選擇臨界轉速前后不平衡響應振幅、相位出現明顯變化時，即50 Hz，70 Hz，80 Hz，200 Hz，350 Hz，360 Hz和400 Hz旋轉頻率說明振動變化的特點。

50 Hz旋轉頻率下轉子軸頸溫度分布變化和熱彎曲-不平衡耦合振動變化，分別如圖14(a)、圖14(b)所示。從圖14中可知，50 Hz旋轉頻率在轉子的剛體臨界轉速之前，此時不平衡響應的振幅為3.2 μm，相位0.04°。由于振幅和旋轉頻率均較小，鐵損總量和集中程度均較小，故整體溫升和溫差小。但可以看出溫度在180°附近相對較高，故熱彎曲使殘余不平衡質量遠離旋轉中心，轉子出現熱彎曲時所受不平衡合力比無熱彎曲時大，故熱彎曲-不平衡耦合振動比不平衡響應振幅大，相位也出現一定變化，但振幅和相位變化均很小。

圖14 50 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.14 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 50 Hz rotation frequency

70 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化及振動變化已在上文中作出了分析，在此不作贅述。需要指出的是，70 Hz旋轉頻率接近轉子的剛體臨界轉速，但仍在剛體臨界轉速之前，故不平衡響應的方向與不平衡質量的方向相近，此時熱彎曲使殘余不平衡質量遠離旋轉中心，出現熱彎曲后的不平衡力相比無熱彎曲時的不平衡力變大，故振動變大。但由于此時即使振幅相對較大，旋轉頻率相對較低，故振幅變化仍較小。

80 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化和振動變化，分別如圖15(a)、圖15(b)所示。從圖15中可知，由于80 Hz旋轉頻率剛剛超過剛體臨界轉速，故此時不平衡響應振動較大，約為28.8 μm。由于此時旋轉頻率已超過一階剛體臨界轉速，振動相位為182°，鐵損集中產生的溫度最高點在22.5°左右位置，故熱彎曲使不平衡質量更加靠近旋轉中心，出現熱彎曲時的不平衡力比無熱彎曲時的不平衡力小，因此振動變小并逐漸穩定。

圖15 80 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.15 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 80 Hz rotation frequency

200 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化和振動變化，分別如圖16(a)、圖16(b)所示。此時旋轉頻率介于彎曲臨界轉速和剛體臨界轉速之間，不平衡響應的振幅為4.8 μm，相位180°。由于振幅較小，引起的溫差較小，為0.14 ℃左右，且溫度最高點在45°左右位置，但溫度分布正弦性不好，故熱彎曲使殘余不平衡質量更加遠離旋轉中心，出現熱彎曲后的不平衡力變大，故振動變小并穩定。

圖16 200 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.16 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 200 Hz rotation frequency

350 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化及振動變化，分別如圖17(a)、圖17(b)所示。從圖17中可知，350 Hz旋轉頻率接近轉子一階彎曲臨界轉速，但在其之前，此時不平衡響應振幅較大，約為32 μm，相位約為140.9°。較大的振幅和較高的旋轉頻率使轉子出現較大的溫升，同時溫度分布也較為明顯，溫差較大，約為2 ℃，溫度最高點在0°左右位置，熱彎曲使殘余不平衡質量更加靠近旋轉中心，出現熱彎曲后的不平衡力比無熱彎曲時明顯減小，故振幅明顯減小并逐漸穩定，同時相位波動較小。

圖17 350 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.17 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 350 Hz rotation frequency

360 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化及振動變化，分別如圖18(a)、圖18(b)所示。從圖18中可知，360 Hz旋轉頻率剛剛超過一階彎曲臨界轉速，此時不平衡響應振幅相對較大，約為24 μm，相位約為35°。較大的振幅和較高的旋轉頻率使轉子出現較大的溫升，同時溫度分布也較為明顯，溫差約為1.8 ℃，溫度最高點在247.5°左右位置。此時熱彎曲的方向與不平衡質量的方向夾角約為90°，故出現熱彎曲后的不平衡力與無熱彎曲時相比幅值變化不大，但角度變化相對較大，因此振動幅值變化較小，但相位變化相對較大。

圖18 360 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.18 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 360 Hz rotation frequency

400 Hz旋轉頻率下轉子溫度分布變化及振動變化，分別如圖19(a)、圖19(b)所示。從圖19中可知，400 Hz旋轉頻率遠離一階彎曲臨界轉速，故不平衡響應的振幅較小。由于此時旋轉頻率較高，轉子仍出現了明顯的溫升，整體溫度約為34.8 ℃，但由于振幅較小，溫度分布不明顯，溫差較小，約為0.25 ℃。因此振動變化很小，且變化趨勢也不明顯。

圖19 400 Hz旋轉頻率溫度分布及振動變化Fig.19 Temperature variation and vibration variation of the rotor under 400 Hz rotation frequency

1～450 Hz旋轉頻率轉子最大溫度、最大溫差和不平衡響應相位與溫度最高點的位置對比，分別如圖20(a)、圖20(b)和圖21所示。從圖20中可知，轉子的整體溫升、軸頸溫差與旋轉頻率和振幅均有關，整體溫升主要取決于旋轉頻率，且與旋轉頻率基本呈線性關系；而轉子溫差主要與振幅有關。從圖21中可知，轉子軸頸溫度最高點的位置跟振動相位的關系基本為：溫度最高點位置≈振動相位+180°+電流相位。

圖20 最大溫度、最大溫差與旋轉頻率的關系Fig.20 Relationship between maximum temperature, Maximum temperature difference and rotational frequency

圖21 最大溫度位置與不平衡響應相位對比Fig.21 Phase comparison of the hot spot and the unbalance response

1～450 Hz旋轉頻率轉子不平衡響應與熱彎曲振動穩定值的對比，如圖22所示。從圖22中可知，本文研究的試驗轉子在接近臨界轉速時，由于振幅較大，鐵損集中、溫度分布較明顯，才會出現一定的熱彎曲振動。并且由于臨界轉速前后轉子振動相位會出現明顯的變化，故溫度最高點的位置、彎曲方向會出現明顯變化，進而導致熱彎曲振動比不平衡響應大或小。而遠離臨界轉速時，由于轉子振幅較小，鐵損集中、溫度分布不明顯，產生的熱彎曲振動可忽略不計。又由于本文研究的試驗轉子在出現熱彎曲振動時振動變化不大，故可認為熱彎曲振動不會對系統產生明顯影響。

圖22 熱彎曲-不平衡耦合振動與不平衡響應對比Fig.22 Comparison between thermal-bow-unbalance coupled vibration and unbalance response

4 結 論

本文研究了磁懸浮軸承轉子因軸頸鐵損集中產生溫度分布而出現的熱彎曲振動的變化規律。并以振動引起的鐵損分布作為熱源，得到轉子溫度分布、熱變形及熱彎曲-不平衡耦合振動，同時不斷更新條件，迭代計算，直到振動收斂，由此得到并分析磁懸浮軸承轉子熱彎曲-不平衡耦合振動變化過程，結論如下：

(1) 磁懸浮軸承轉子軸頸溫度分布與轉子振幅和旋轉頻率有關。其中，轉子整體溫升主要取決于旋轉頻率，而軸頸溫差主要跟振幅有關。

(2) 磁懸浮軸承轉子軸頸溫度最高點的位置，即熱彎曲的方向主要跟振動方向有關，二者之間的關系為——溫度最高點位置≈振動相位+180°+控制電流相位。

(3) 磁懸浮軸承轉子熱彎曲方向決定著轉子出現熱彎曲后所受不平衡力相比無熱彎曲時不平衡力幅值和相位的變化，即無熱彎曲時的振動方向決定著出現熱彎曲后振動幅值和相位的變化。

(4) 針對本文研究的試驗轉子及電控系統，由于振動引起溫度變化較小，故轉子所受不平衡力變化小，故熱彎曲振動會逐漸趨于穩定，可認為熱彎曲振動對系統影響較小。