振動壓路機作業引起地基振動的解析法研究

王立安， 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

交通基礎設施的大規模建設，在促進經濟發展的同時也帶來了諸多負面影響，例如噪音污染、環境振動等問題。交通網的密集布置使越來越多的民房和古建筑處于道路沿線，交通荷載引起的環境振動問題愈加受到社會關注。為此，近些年學者們[1-6]關于軌道和汽車交通引起的地基振動問題做了大量研究，并取得顯著成果。然而，在道路建設中，使用振動壓路機對地基進行壓實從而提高地基承載力，是目前道路施工中采用的主要途徑。相較于交通荷載產生的地基振動，振動壓路機作業產生的振幅更大、頻率特征更復雜[7-8]，由此造成的環境振動危害更甚。有鑒于此，深入研究振動壓路機作業引起的地基振動，對環境振動影響預測和控制有著重要意義，也對振動壓路機的作業參數設計起到指導作用。

回顧過去對振動壓路機引起地基振動的研究，大多通過現場測試的方法進行，如：盧輝等[9]通過采集振動壓路機作業產生的地表振動信號，研究了隔振溝的隔振效果；張志峰等[10]采用相同的現場測試方法，研究了振動壓路機誘發地表振動的衰減規律和頻率特征。然而，通過現場測試只能獲得地表的振動信號，對于地層深處的振動信號則很難采集，無法分析振動沿深度的傳播規律，而且測試結果中摻雜了環境背景振動，影響分析結果的可靠性。也有學者采用數值模擬的方法對該問題做了研究，如：蘇衛國等[11]在ANSYS有限元軟件中通過輸入振動壓路機的激振力，分析了地基中埋置光纜的振動響應。該數值模型未反映壓路機激振力的動態移動，也未反映壓路機的激振頻率及振幅，仿真程度非常有限；Kenneally等[12]采用時變接觸單元和動態有限元算法對振動壓路機與地基的動力相互作用做了較好的模擬，并與實測結果做了對比驗證。截止目前，采用解析法研究該問題的文獻還非常少。Beainy等[13]采用解析法對振動壓路機鋼輪和地基的運動方程進行耦合求解，分析了地基的振動響應。沈培輝等[14]建立7自由度振動壓路機與Winkler地基的耦合動力控制方程，并進行解析求解，針對壓路機系統的振動響應做了研究。上述兩種解析模型都只考慮了振動壓路機激振力在時域上的間隔作用，而沒反映激振力在空間上的移動，相當于壓路機在原地進行激振作業，與壓路機的實際工作狀態不符。Cai等[15-16]對移動荷載作用下地基的振動響應做了系統研究。Lu等[17]對移動簡諧荷載作用下的地基振動響應做了解析研究。然而，振動壓路機的激振力并非移動簡諧荷載，而是移動的間隔沖擊荷載，所以，該研究模型也不適用于振動壓路機。

綜上分析，對振動壓路機引起的地基振動進行解析計算時，不僅要考慮壓路機激振力在時間上的間隔，還需考慮壓路機移動造成的空間上的間隔。因此，本文利用Shah函數和Heaviside階躍函數將壓路機的激振作用描述為關于時間和空間坐標的解析函數，并將其代入彈性半空間的動力控制方程進行聯立求解。利用三重Fourier變換推導出頻率-波數域的解析解，然后反演到時間-空間域。通過數值算例，研究了振動壓路機引起地基振動的衰減規律和頻譜特征，并對壓路機激振頻率、名義振幅和行駛速度的影響做了分析。

1 問題模型

振動壓路機鋼輪與地基動力作用的力學模型，如圖1所示。圖1中：M0為鋼輪質量；m0，ω0和e0分別為鋼輪內偏心轉子的質量、轉動角速度及偏心距；Fd為偏心轉子轉動產生的激振力；A0為鋼輪的名義振幅；c為壓路機行駛速度； 2a，2b為鋼輪在地表作用印跡的長和寬；qd(x,y,t)為任意t時刻作用于地表的沖擊力集度；本文著重研究振動壓路機對地基的振動輸入，故而將地基考慮為較簡單的均質彈性半空間。建立空間三維直角坐標系x-y-z，各坐標軸選取見圖1。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

由鋼輪運動方程，可得到偏心轉子產生的激振力Fd[18]

(1)

鋼輪對地表激振的頻率和周期為

(2)

2 壓路機動力作用的數學描述

振動壓路機鋼輪作用于地表的沖擊力qd(x,y,t)，在時域上為以周期T為間隔的一系列沖激序列，如圖2(a)所示，在空間上為沿行駛方向(x軸)以cT為間隔的沖激序列，如圖2(b)所示。則利用符號函數并結合式(1)和式(2)，將qd(x,y,t)寫為

圖2 時間和空間上的間隔沖擊作用Fig.2 Roller excitation load in time and space domain

(3)

式中：III()為Shah沖激序列函數(又稱梳狀函數)；H()為Heaviside階躍函數。其定義分別為

(4)

(5)

式中，δ()為Dirac-delta函數，定義為

(6)

3 地基動力方程求解

空間直角坐標系下，均質彈性半空間的運動方程為

(7)

本構方程

(8)

式中，σxz，σyz，σz為地基中一點的應力分量。對時間坐標t引入如下Fourier變換對

(9)

式中： “～”為對應物理量的Fourier變換；s為變換參數。

利用式(9)對式(7)進行Fourier變換后，得到

(10a)

(10b)

(10c)

(11)

再對x，y坐標引入雙重Fourier變換

(12)

式中，ξ，η為對應于x，y坐標的Fourier變換參數。

(13)

求解式(13)，得到

(14)

對式(10)也進行雙重Fourier變換，并將式(14)代入，整理后得到

(15)

(16)

對本構式(8)做時間和空間坐標的三重Fourier變換，并將式(14)、式(16)代入，得出變換域中地基的應力通解

(17)

4 邊界問題求解

不考慮鋼輪與地基之間的切向摩擦，則半空間表面(z=0)處的邊界條件寫為

(18)

對式(18)做三重Fourier變換后得到

(19)

對式(3)也進行三重Fourier變換，得到

(20)

(21)

式中，“*”為卷積運算。利用Shah函數的卷積性質[19]，式(21)進一步寫為

(22)

將式(20)、式(16)及式(17)代入式(19)，并取z=0，則得到關于A1～A3的線性方程組

(23)

求解式(23)，則得出A1～A3

(24)

將式(24)回代到式(16)，則得到地基位移在變換域中的解

(25)

通過對式(25)做三重Fourier逆變換，則可反演出時間-空間域中位移的解析解，進而可得出應力解。

5 驗證與分析

對前文推導結果進行編程計算，關于式(25)的Fourier逆變換可通過數值積分或離散Fourier逆變換(inverse discrete Fourier transform，IDFT)實現，本文中采用計算效率較高的IDFT法進行反演。為使計算結果能以振源為中心沿中心分布，引入移動坐標軸Xt，Xt=x-ct。

5.1 算法驗證

若將本文計算模型中振動壓路機的行駛速度c取為0，則退化為地基表面定點作用周期沖擊荷載的問題，退化模型與文獻[20]相同。為進行對比驗證，計算參數按Mandikizinoyou等的研究選取。通過取M0=500 kg，A0=0.5 mm，f=10 Hz，2a=2b=1 m使Fd/4ab=1 kPa(與Mandikizinoyou等的研究相同)。地基參數取值為：E=3.5 MPa，v=0.3，ρ=1 800 kg/m3。圖3給出了t=0.1 s和t=0.5 s時刻，地表沿x軸分布的豎向振動位移退化解與Mandikizinoyou等的研究結果對比，如圖3所示。由圖3可知，兩者能夠很好地吻合，從而驗證了本文算法和計算程序的可靠。

圖3 退化計算及結果對比Fig.3 Degradation calculation and comparison

5.2 振動衰減分析

參照SSR220AC型振動壓路機的相關技術參數給出本文模型所需的計算參數，如表1所示。地基參數取值與5.1節相同。

表1 壓路機技術參數Tab.1 Parameters of vibratory roller operation

圖4為計算出的t=0.1 s時刻，地表豎向位移的空間分布。對比圖4(a)～圖4(c)發現，壓路機激振頻率f對地表振幅的影響非常小，而名義振幅A0對地表振幅影響顯著。從圖4(b)還能發現，地表振動位移沿縱向(x軸方向，壓路機行駛方向)和橫向(y軸方向)的分布存在差異。圖5中的軸線分布圖進一步表明，地表振動位移沿縱、橫向分布明顯不同，在近場區域(≤20 m)，縱橫向分布差異較大，近場區域振幅沿橫向衰減更快，而在遠場幾乎趨于一致；壓路機名義振幅A0越大，近場區域縱、橫向分布差異越大。

圖4 地表豎向位移分布Fig.4 Distribution of vertical displacement on the surface

圖5 地表豎向位移軸線分布Fig.5 Distribution of vertical displacement on surface along axis

圖6在0～20 km/h區間內考察了地表振動位移隨壓路機行駛速度的變化(壓路機行駛速度通常不超過15 km/h)。分析圖6發現，隨著壓路機行駛速度增大，地表振幅先增大后減小，在大約5 km/h附近出現拐點，壓路機激振頻率越大，拐點數越多。出現這一現象的原因可推測為：當壓路機行駛速度較低時，地基對于鋼輪的前次激振和后次激振產生的響應為正向疊加；當行駛速度加快時，則逐漸演變為反向疊加。鋼輪激振頻率增大時，使正、反向疊加交替出現，從而出現拐點數增多的現象。圖6(b)進一步顯示，壓路機名義振幅越大，地表振幅越大。

圖6 地表振幅隨壓路機行駛速度的變化Fig.6 Variation of surface amplitude with roller speed

地基振幅沿深度的衰減曲線，如圖7所示。從圖7中能夠分析出，壓路機激振頻率對振幅沿深度的衰減幾乎無影響，壓路機名義振幅由于改變了地表振幅，從而也影響了振幅沿深度的衰減。對于本文中的均質彈性地基而言，壓路機振動影響深度約為名義振幅的800倍。

圖7 振幅沿深度的衰減Fig.7 Attenuation of ground amplitude along depth

5.3 頻譜分析

在地表確定一個觀測點D1(5 m, 3 m)，計算出該點連續時刻的位移值，即可得到該測點的位移時程曲線，如圖8(a)所示。對位移時程曲線關于時間t求一階導，則得到振動速度的時程曲線，如圖8(b)所示，對時程曲線做Fourier變換則進一步得到頻譜曲線，如圖9所示。分析圖9發現，壓路機激振頻率對地表振動的頻率分布影響較大，激振頻率越大，峰值頻率的數目越多，峰值頻率分布的頻帶越寬。圖9(b)顯示，名義振幅只改變了地表振幅，而對頻率分布沒有影響。

圖8 測點D1的位移和速度時程曲線Fig.8 Time history curve of displacement and velocity at D1

圖9 測點D1的頻譜曲線Fig.9 Spectrum curve at D1

6 結 論

利用Shah函數和Heaviside階躍函數描述振動壓路機的激振作用，并推導出地基振動位移解析解。通過算例分析，總結出以下結論：

(1) 振動壓路機引起的地表振幅沿縱、橫向的衰減存在較大差異，在近場區域(≤20 m)橫向衰減更快，在遠場則趨于一致。

(2) 壓路機激振頻率對地基振幅影響甚微，而對頻率分布影響較大，激振頻率越大，峰值頻率的數目越多，峰值頻率分布的頻帶越寬。壓路機名義振幅對地基振幅的影響顯著，但對振動頻率無影響。

(3) 地基振幅隨壓路機行駛速度的變化沒有單調性，出現先增大后減小的現象，在大約5 km/h附近出現拐點。當壓路機激振頻率增大，拐點數將增多。