隨機(jī)激勵(lì)作用下硬涂層薄板振動(dòng)有限元分析及減振預(yù)估

孫 悅， 劉曉峰， 孫 偉

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110819)

板類結(jié)構(gòu)在航空航天領(lǐng)域得到了最為廣泛的應(yīng)用，例如航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛機(jī)蒙皮以及用于航天員存放物品的機(jī)柜等。這些板結(jié)構(gòu)經(jīng)常由于振動(dòng)超標(biāo)而影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的性能甚至發(fā)生振動(dòng)疲勞破壞。涂敷硬涂層材料可以在一定程度上使結(jié)構(gòu)件具有抗腐、隔熱、抗磨等功能[1-2]。近些年來的研究發(fā)現(xiàn)[3]一些硬涂層材料還具有一定阻尼減振的作用，即使在高溫高腐蝕的苛刻條件下依舊可以保持自身的阻尼能力。硬涂層減振技術(shù)是將由金屬基、陶瓷基或者兩者混合制成的涂層材料噴涂在結(jié)構(gòu)的表面來實(shí)現(xiàn)減振目的，在板結(jié)構(gòu)上得到了廣泛應(yīng)用[4-5]。

為了有效在板結(jié)構(gòu)上實(shí)施硬涂層阻尼減振，需要?jiǎng)?chuàng)建相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)分析模型用于對(duì)硬涂層減振效果進(jìn)行可靠預(yù)估。上述板結(jié)構(gòu)通常受隨機(jī)載荷作用，因而需要研究隨機(jī)激勵(lì)載荷作用下，硬涂層板的振動(dòng)特性建模與分析方法。

目前，在確定激勵(lì)作用下硬涂層板或者類似板的結(jié)構(gòu)已有大量研究，例如，Sun等[6]基于能量法，建立了硬涂層復(fù)合板結(jié)構(gòu)的解析分析模型，求解了其固有特性及在基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)。Filippi等[7]通過使用迭代有限元建模方法對(duì)硬涂層復(fù)合葉片在基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。Li等[8]針對(duì)硬涂層懸臂薄板結(jié)構(gòu)，研究其非線性振動(dòng)機(jī)理并且采用有限元迭代法計(jì)算涂層板的振動(dòng)特性。李然等[9]研究了涂層參數(shù)對(duì)整體葉盤振動(dòng)特性的影響。從作者掌握的文獻(xiàn)來看，關(guān)于硬涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)的建模與分析主要針對(duì)的還是涂層結(jié)構(gòu)在確定激勵(lì)作用下的振動(dòng)特性分析。目前，還沒有發(fā)現(xiàn)隨機(jī)激勵(lì)作用下涂層板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析實(shí)例。

研究者對(duì)隨機(jī)激勵(lì)作用下的板或者類板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析也開展了部分研究，例如20世紀(jì)60年代—20世紀(jì)70年代，Crandall等[10-12]對(duì)簡支邊界條件下矩形薄板、三角板、圓板等結(jié)構(gòu)在點(diǎn)源隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析研究，并用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。Dogan[13]利用福克-普朗克方程研究了赫茲接觸點(diǎn)的非線性隨機(jī)接觸振動(dòng)，得到了每種情況下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量。Chen等[14]基于虛擬激勵(lì)法(pseudo excitation method，PEM)，求解了薄板結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的橫向撓度、速度、加速度以及應(yīng)力響應(yīng)的解析功率譜密度(power spectral density，PSD)函數(shù)。

考慮到虛擬激勵(lì)法具有計(jì)算精確且效率高的特點(diǎn)[15]，本文將采用虛擬激勵(lì)法求解雙面涂敷硬涂層薄板結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷譜作用下的振動(dòng)特性。首先，研發(fā)一種含雙面涂層的4節(jié)點(diǎn)板單元，推導(dǎo)了相應(yīng)的剛度及質(zhì)量矩陣；接著將單元矩陣組集，在同時(shí)考慮材料及剩余等效黏性阻尼的基礎(chǔ)上，確定了基礎(chǔ)激勵(lì)作用下懸臂涂層板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)有限元方程；再則，引入虛擬激勵(lì)法，給出了求解涂層板結(jié)構(gòu)在指定隨機(jī)載荷譜下振動(dòng)響應(yīng)求解公式；最后，進(jìn)行了實(shí)例研究，并進(jìn)行了硬涂層參數(shù)對(duì)薄板振動(dòng)特性的影響分析。

1 硬涂層板結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元建模

這里研發(fā)了一種涂層板單元來模擬雙面涂敷硬涂層的薄板結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。所研究的懸臂板結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中：Hc為硬涂層的厚度；Hs為基體厚度； 復(fù)合結(jié)構(gòu)中性層和基體中性層重合， 基體到硬涂層中面的距離為Hsc。

圖1 雙面涂敷硬涂層的薄板結(jié)構(gòu)Fig.1 A double-covered hard-coating cantilever thin plate

1.1 涂層板單元的剛度及質(zhì)量矩陣

這里采用等效單層理論進(jìn)行涂層板結(jié)構(gòu)的有限元建模，選用如圖2所示的4節(jié)點(diǎn)板單元來模擬雙面涂層結(jié)構(gòu)。該單元每節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)自由度，分別是兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θx和θy，一個(gè)位移自由度w(撓度)、單元的長度為a，寬度為b。

圖2 涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)單元Fig.2 Quadrilateral plate element

單元內(nèi)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移δe為

δe=[w1θx1θy1…w4θx4θy4]T

(1)

進(jìn)一步，單元內(nèi)任一節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)就可以寫成

Ni=(1/8)[(XXi+1)(YYi+1)(2+XXi+YYi-X2-Y2),
(a/2)Xi(XXi+1)2(XXi-1)(YYi+1),
(b/2)Yi(XXi+1)(YYi+1)2(YYi-1)],
i=1,…,4

(2)

式中：Xi，Yi為節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；X，Y為[-1,1]的局部坐標(biāo)。

(3)

(4)

對(duì)于硬涂層復(fù)合板單元，其剛度矩陣可以表示為

(5)

若基體的密度用ρs表示，硬涂層的密度用ρc表示，對(duì)于雙面涂敷硬涂層板結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量矩陣求解式為

Mc,e=?NT(ρsHs+2ρcHc)Ndxdy

(6)

1.2 涂層板有限元方程建立

(7)

式中：Kc為涂層板結(jié)構(gòu)包含涂層材料阻尼的復(fù)剛度矩陣；Mc為涂層板結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；C2為由夾持邊界及空氣產(chǎn)生的剩余等效黏性阻尼矩陣；C1為涂層結(jié)構(gòu)的材料阻尼矩陣；F(t)為激振力向量，其表達(dá)式為

(8)

2 基于虛擬激勵(lì)法的涂層板結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析

假如雙面涂層薄板所受的激勵(lì)是穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)，以下描述用虛擬激勵(lì)法求解涂層結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的方法。參考式(7)涂層板結(jié)構(gòu)新的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(9)

按模態(tài)疊加法有

(10)

式中，Φ=[φ1φ2…φq]為前q前階特征向量矩陣。

(11)

代入式(9)，則涂層板結(jié)構(gòu)新的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(12)

由于振型Φ關(guān)于C2，Mc，Kc具有正交性，所以式(12)也可以分解為n個(gè)單自由度方程，第j個(gè)可表示為

(13)

式中，ωj，ζj分別為第j階對(duì)應(yīng)的固有圓頻率和系統(tǒng)中剩余等效黏性阻尼產(chǎn)生的模態(tài)阻尼比。

此單自由度簡諧振動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解表示為

(14)

式中，γj，Hj分別為第j階對(duì)應(yīng)的振型參與系數(shù)及頻響函數(shù)。針對(duì)所描述的涂層板結(jié)構(gòu)，有

(15)

式中，ηj為第j階材料阻尼的模態(tài)損耗因子。提取涂層板前q階的模態(tài)振型參與模態(tài)疊加后，式(12)的虛擬穩(wěn)態(tài)解又可以寫成

(16)

(17)

式中，上標(biāo)H為取復(fù)共軛。在計(jì)算過程中，虛擬簡諧激勵(lì)因子eiωt與其復(fù)共軛e-iωt總是成對(duì)出現(xiàn)并最終相互抵消。這樣式(16)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)域解就變?yōu)橛霉β首V密度描述的頻域解。

3 分析實(shí)例

3.1 問題描述

本研究以火焰噴涂NiCrAl硬涂層的基體厚度為2 mm的懸臂薄板為例演示所描述的方法。所搭建的試驗(yàn)測試系統(tǒng)及試件，如圖3所示。測試系統(tǒng)主要包括LMS 16通道便攜式數(shù)據(jù)采集前端控制器、金盾EM-1000F電磁振動(dòng)臺(tái)、PCB 086C01型小力錘、B & K 4517輕質(zhì)加速度傳感器、LMS.Testlab筆記本工作站等。試驗(yàn)試件相關(guān)的材料參數(shù)，如表1所示。材料阻尼包含在黏彈性阻尼板的復(fù)剛度矩陣中，而剩余等效黏性阻尼需按照表2測得的阻尼處理前各階模態(tài)阻尼比引入。通過錘擊試驗(yàn)獲得薄板的固有頻率，利用電磁振動(dòng)臺(tái)采用非均勻一致載荷譜(如圖4所示)對(duì)涂層板進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)以獲得加速度響應(yīng)，激振方向垂直于薄板，錘擊點(diǎn)及拾振點(diǎn)見圖3。

圖3 試驗(yàn)系統(tǒng)及試件Fig.3 Experimental system and test piece

表1 涂層板材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of the hard-coating plate

表2 涂層前薄板的模態(tài)阻尼比Tab.2 Modal damping ratios of the base plate without damping treatment

圖4 非均勻一致載荷譜圖Fig.4 Non-uniform and consistent load spectrum

以下將利用所研發(fā)有限元模型及求解隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的虛擬激勵(lì)算法對(duì)涂層板結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并利用該模型預(yù)估硬涂層在隨機(jī)激勵(lì)作用下的減振效果。

3.2 有限元模型驗(yàn)證

所創(chuàng)建的有限元模型如圖5所示，涂層厚度為0.3 mm。為了驗(yàn)證有限元模型的正確性，采用錘擊法對(duì)涂層前后薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)，其模態(tài)測試以及有限元分析后獲得的固有頻率數(shù)據(jù)，如表3所示。

圖5 涂層板有限元模型Fig.5 Hard-coating thin plate finite element model

表3 自編有限元和試驗(yàn)獲得的涂層后薄板的固有頻率Tab.3 Natural frequencies of hard-coating thin plate obtained by MATLAB and experiment Hz

提取前7階固有頻率數(shù)據(jù)，通過對(duì)比試驗(yàn)與自編有限元方法計(jì)算分析結(jié)果可以得知，薄板涂層后固有頻率最大偏差為2.77%。由此可見試驗(yàn)與自編有限元方法計(jì)算的固有頻率結(jié)果具有很好的一致性，有限元模型可用于后續(xù)隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)分析。

3.3 隨機(jī)激勵(lì)作用下涂層前后硬涂層板振動(dòng)響應(yīng)

針對(duì)試驗(yàn)應(yīng)用的非均勻一致載荷譜激勵(lì)，見圖4。若采用分段函數(shù)的方式表達(dá)，其表達(dá)式為

(18)

通過式(18)計(jì)算可以得到輸入載荷各個(gè)頻率下對(duì)應(yīng)的功率譜密度值。其中f=ω/(2π)，轉(zhuǎn)換得到Sxx(ω)，進(jìn)一步構(gòu)造虛擬激勵(lì)利用第2部分所給方法獲得板結(jié)構(gòu)的響應(yīng)自功率譜密度。計(jì)算得到的響應(yīng)結(jié)果與試驗(yàn)獲得的響應(yīng)結(jié)果如表4和圖6所示。試驗(yàn)獲得的涂層薄板響應(yīng)加速度功率譜密度圖中出現(xiàn)幾個(gè)較小響應(yīng)峰是由于試驗(yàn)環(huán)境噪音的影響。另外由于第6階的振型表現(xiàn)為扭振，本文不做重點(diǎn)研究。

表4 理論計(jì)算和試驗(yàn)獲得的涂層后薄板的隨機(jī)振動(dòng)加速度響應(yīng)功率譜密度Tab.4 Random vibration acceleration response of hard-coating thin plate obtained by theoretical calculation and experiment

圖6 涂層后薄板振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比圖Fig.6 The comparison of vibration response of thin plates after coating

由表4和圖6可知，涂層板結(jié)構(gòu)有限元方法獲得的振動(dòng)響應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果具有很好的一致性。涂層后薄板的振動(dòng)響應(yīng)均比涂層前的光板有所降低，且幅度明顯，由此可見，涂敷NiCrAl硬涂層材料可以實(shí)現(xiàn)一定程度上的減振效果。

4 涂層參數(shù)的影響

在實(shí)際工程應(yīng)用中，涂層參數(shù)的改變會(huì)影響阻尼材料在復(fù)合結(jié)構(gòu)中的減振能力。為確定最佳的涂層方式，研究在隨機(jī)激勵(lì)作用下涂層參數(shù)對(duì)涂層板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性影響，涉及的涂層參數(shù)包括涂層厚度、涂層儲(chǔ)能模量以及涂層損耗因子。

4.1 涂層厚度的影響

在研究隨機(jī)激勵(lì)作用下涂層厚度對(duì)涂層板振動(dòng)特性影響時(shí)，對(duì)雙面涂敷厚度分別為0.15 mm，0.20 mm，0.25 mm，0.30 mm的涂層薄板進(jìn)行有限元建模。在求解出每塊板固有頻率的基礎(chǔ)上，利用虛擬激勵(lì)法求解出其在隨機(jī)激勵(lì)作用下，頻率在0～1 000 Hz內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)特性，求解結(jié)果如表5、表6和圖7所示。

表5 具有不同涂層厚度的涂層板的固有頻率Tab.5 The natural frequencies of hard-coating plates corresponding to different coating thicknesses Hz

表6 具有不同涂層厚度的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)Tab.6 The vibration response of hard-coating plates corresponding to different coating thicknesses under random excitation g2/Hz

圖7 具有不同涂層厚度的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的頻率-響應(yīng)曲線Fig.7 Frequency-response curves of hard-coating plates corresponding to different coating thicknesses under random excitation

由計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著涂層厚度的增加，涂層板的固有頻率會(huì)隨之增大。在隨機(jī)激勵(lì)作用下，涂層板的振動(dòng)響應(yīng)加速度功率譜密度值會(huì)隨著涂層厚度的增加而明顯降低。這是因?yàn)橥繉雍穸鹊脑黾訉?dǎo)致了涂層板結(jié)構(gòu)各階次的模態(tài)損耗因子增加，致使涂層板結(jié)構(gòu)的阻尼增大，從而在一定程度上提高減振效果。

4.2 涂層儲(chǔ)能模量的影響

涂層儲(chǔ)能模量的數(shù)值分別為34 GPa，44 GPa，54.49 GPa，64 GPa，74 GPa時(shí)涂層薄板振動(dòng)特性分析結(jié)果，如表7和表8所示。涂層儲(chǔ)能模量的變化對(duì)涂層板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響趨勢，如圖8所示。

表7 具有不同涂層儲(chǔ)能模量的涂層板的固有頻率Tab.7 The natural frequencies of hard-coating plates corresponding to different coating storage modulus Hz

表8 具有不同涂層儲(chǔ)能模量的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)Tab.8 The vibration response of hard-coating plates corresponding to different coating storage modulus under random excitation g2/Hz

圖8 具有不同涂層儲(chǔ)能模量的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的頻率-響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency-response curves of hard-coating plates corresponding to different coating storage modulus under random excitation

由表7、表8和圖8可知，隨著涂層儲(chǔ)能模量的增加，涂層板的各階固有頻率也隨之提高。在隨機(jī)載荷譜的作用下，隨著涂層儲(chǔ)能模量的增加，涂層板的振動(dòng)響應(yīng)加速度功率譜密度除第一階有小幅度提高外(可忽略不計(jì))其他兩階所對(duì)應(yīng)響應(yīng)峰值均隨之降低。這是因?yàn)橥繉拥膬?chǔ)能模量增加也會(huì)在一定程度上提高涂層板結(jié)構(gòu)各階次的模態(tài)損耗因子，致使結(jié)構(gòu)的阻尼增大。

4.3 涂層損耗因子的影響

涂層損耗因子分別為0.012，0.017，0.021 2，0.027，0.032時(shí)涂層薄板振動(dòng)特性分析結(jié)果，如表9和表10所示。出涂層損耗因子的變化對(duì)涂層板振動(dòng)特性的影響趨勢，如圖9所示。

表9 具有不同涂層損耗因子的涂層板的固有頻率Tab.9 The natural frequencies of hard-coating plates corresponding to different coating loss factors Hz

表10 具有不同涂層損耗因子的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)Tab.10 The vibration response of hard-coating plates corresponding to different coating loss factors under random excitation g2/Hz

圖9 具有不同涂層損耗因子的涂層板在隨機(jī)激勵(lì)作用下的頻率-響應(yīng)曲線Fig.9 Frequency-response curves of hard-coating plates corresponding to different coating loss factors under random excitation

由表9、表10和圖9可知，涂層的損耗因子的改變對(duì)涂層板的固有頻率沒有影響，這是因?yàn)橥繉訐p耗因子的改變，對(duì)涂層板結(jié)構(gòu)的剛度與質(zhì)量矩陣沒有影響。但在隨機(jī)激勵(lì)的作用下隨著涂層損耗因子的增大，涂層板結(jié)構(gòu)的阻尼增大，涂層板的振動(dòng)響應(yīng)加速度功率譜密度值會(huì)隨之減小。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)雙面涂敷硬涂層的薄板結(jié)構(gòu)建立了有限元模型，基于虛擬激勵(lì)法對(duì)在隨機(jī)激勵(lì)作用下的涂層板的振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行了分析。得出相關(guān)結(jié)論如下：

(1) 利用等效單層法所研發(fā)的4節(jié)點(diǎn)雙面涂敷硬涂層的薄板單元可有效模擬復(fù)合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，通過固有頻率計(jì)算表明所考慮各階次計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)的最大偏差為2.77%。在明確將隨機(jī)載荷譜轉(zhuǎn)化為簡諧激勵(lì)方法的基礎(chǔ)上，虛擬激勵(lì)法可有效求解穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)作用下硬涂層懸臂板的振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果表明計(jì)算獲得的各階次振動(dòng)響應(yīng)功率譜密度與試驗(yàn)最大偏差為14.4%。

(2) 懸臂薄板雙面涂敷硬涂層后，其固有頻率以及振動(dòng)響應(yīng)功率譜密度都發(fā)生了一定的變化，計(jì)算及試驗(yàn)結(jié)果均表明涂敷硬涂層后可在一定程度上降低板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)峰值，起到一定的減振作用。進(jìn)一步，通過分析硬涂層厚度、儲(chǔ)能模量、損耗因子等涂層參數(shù)對(duì)涂層板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響表明：在合理范圍內(nèi)適當(dāng)增加涂層的厚度、儲(chǔ)能模量以及損耗因子均能在一定程度上提高減振效果。