運用數學模型驗證地球上兩點間最短路徑問題

宋音

（諸暨市第二高級中學，浙江諸暨 311800）

數學方法是驗證規律運動的可行方法。因此，現如今很多地理問題的描述方式，是采用以數學公式為基礎的數學建模形式。本文討論的地球表面兩點間最短路徑問題，也是一種規律運動。學生在學習課本知識時對書本中“最短路徑是球面上經過兩點的大圓劣弧段長”結論存在疑惑，但是學生沒有方法驗證這個結論是否正確。本文將嘗試用數學公式，采用Matlab工具進行數學建模，驗證地球表面兩點間最短路徑是否是過球心的大圓劣弧線段，給學生尋找更加直觀簡單的學習最短路徑方法。

一、材料準備

（一）光滑地球模型

假設地球表面為光滑曲面，沒有地形起伏和海陸差異，O為該球的球心。

（二）數學建模工具

本文采用數學建模工具Matlab R2016a軟件，以編程形式，實現數學公式模型，驗證本文猜想。Matlab軟件是廣泛運用于數學建模、仿真和涉及的數學軟件。因此本文利用Matlab軟件來判斷該結論的可行性和實用性。

二、模型理論驗證

在光滑曲面上任取兩點作為起終點，其中A為起點，B為終點，AB之間的曲線路徑是經過AB兩點的圓上曲線。本文假設有三個不同圓心的圓，具有三條不同路徑，路徑長度也不一樣，效果圖如圖1。通過觀察圖1，本文可以利用球的對稱性，用來建立統一的坐標系來比較三條路徑長度。

在構建統一的坐標系之前，本文先考慮如何計算AB點之間曲線長度問題。根據圖3以及圓的相關數學知識，可以了解AB兩點之間的劣弧長度就是扇形ABO的弧線長度，該長度根據扇形的弧線計算公式(1)可得。

式中θ指扇形弧線所對角的弧度值，r為扇形所在圓的半徑。

觀察圖1和圖2，本文發現點A與點B是關于線DCO對稱的，將點A與點B用投影在面OCD上，這樣就可以將扇形ABO的半徑和弧度的問題在面DCO中解決，如圖3所示。根據扇形的知識可知，扇形角度θ可以采用直角三角形反余弦函數求解，求解公式如式子(2)。因此，本文只需要線段OC和半徑OD的值，就能求解弧線ADB的值大小。

圖1 三個不同圓心的曲線路徑

圖2 AB之間弧線的示意圖

圖3 對稱剖面平面DCO

式中AO的值為扇形所在圓的半徑，CO為直角三角形直角邊的長度。

通過面DCO剖分球體后，得到如圖4所示的結果。其他不同的圓在面DCO的投影都是一條直線。從圖4可以看出，只要找到不同直線的圓心所在位置，利用點C的位置，就可以求解不同圓心O與點C之間的線段距離。同時找到經過點C的直線與以DO為半徑的圓所相交的兩點之間直線長度，即不同圓的直徑，可得出不同圓的半徑值。點的位置，采用坐標系的形式表示。本文采用直角坐標系構建坐標位置。綜上所述，求解點A與B的最短路徑問題，轉換為求解經過點C的不同斜率直線與固定大小的圓所截取線段的問題。

圖4 平面DCO中ABC點位置

三、模型構建

本文在直角坐標系中，構建經過定點A的不同斜率直線與固定圓所截取的線段，該線段的中點為圓心，線段長度為圓直徑，點AB在以該圓心和半徑所構成的圓上扇形弧線長度就是該圓上AB點之間的弧線路徑長度。通過比較不同弧線長度大小，選出最短的弧線所在圓的圓心是否是球心來驗證本文猜想。

（一）固定圓的建立

在直角坐標系中，建立圓心在（25，25），半徑為10單位長度的圓。以此數據建立的圓基本方程，后續過程中本文求解直線與圓的交點問題，就可以避免數據出現負數情況，影響計算結果。

（二）隨機點的確立

本文采用Matlab軟件中的隨機函數，隨機抽取100個隨機樣點的x坐標。因為隨機點坐標（x，y）在固定圓內，所以滿足圓數學方程。因此基于此編寫相關數學模型選取隨機點。

（三）不同直線的確立

隨機點的選取確定后，因為存在固定點，本文可以根據直線的點斜式方程建立直線方程，點斜式方程見式子(3)。但是點斜式直線方程存在一個缺點，不存在經過固定點并且垂直于X軸的直線，因此需要補充一個垂直X軸的直線與固定圓的弧線情況。因為Matlab軟件中對于數學計算都是采用確定值計算，所以該斜率范圍0-2π內平均選取200個相同間隔的數值，代入數學模型中計算。

式中k為斜率，（x0，y0）為固定點。

（四）模型思路

第一，選取一個隨機點及一個斜率，構建點斜式方程，與圓的基本方程聯立，求解直線與圓的兩個交點坐標。第二，本文采用中點坐標公式，結合兩個交點坐標求解中點坐標，該坐標即扇形所在圓的圓心坐標。該圓的半徑由兩個交點的線段長度公式求解所得。第三，根據隨機點坐標與圓心坐標，求解這兩點間距離CO。再根據距離CO和半徑求解扇形弧線所對角的弧度。本文利用弧度和半徑求解扇形的弧線長度，即點A與B在這個圓的路徑長度。第四，依次重復上訴三個步驟，將剩余的斜率和隨機點組成的直線方程都計算完成，形成200個路徑長度。本文尋找出這200個長度值中最小值，該最小值所在的圓心即最短路徑所在圓的圓心。再運用相對誤差的方法驗證該圓心坐標與固定圓圓心坐標（25，25）的距離誤差大小。第五，本文再選取99個隨機點，重復上述四個步驟，測試總共100個隨機點的最短路徑所在圓的圓心坐標與固定圓的誤差。

四、模型結果

從結果圖5可知，某一隨機點的不同路徑長度變化是有一定規律的，和斜率的變化有一致性。不同點的最短路徑所在圓的圓心坐標展示在圖5(3)，可以看出，100個隨機點的最短路徑所在圓的圓心和固定圓的圓心距離相差不大，并從圖5(4)相對誤差分布圖中看出，大部分圓心與固定圓心的相對誤差是在0.01范圍內，本次模擬中大部分隨機點的圓心坐標相對誤差甚至小于0.005。這個結果表明任意隨機點的最短路徑所在圓心都是在固定圓的圓心。而固定圓的圓心就是假設前提下地球的球心。因此本文可以驗證，地球上任意兩點間的最短路徑就是該兩點與球心所構成的大圓上劣弧。

圖5 組合結果圖(1)不同斜率下路徑長度；(2)斜率范圍圖；(3)不同隨機點最短路徑所在圓心分布圖；(4)不同隨機點最短路徑所在圓心與固定圓圓心相對距離誤差分布圖

五、課堂設計

根據前面驗證工作，本文可以確認地球上任意兩點間的最短路徑是經過兩點大圓上的劣弧長。課堂設計的思路可以參考球上大圓的數學性質和驗證過程中采用的數學思想。

（一）最短路徑問題的提出

在現實生活中，人們喜歡省時省力的活動，選取交通線路時也是參照這一原則。尤其是飛機航線等路徑，這些路徑不用考慮地形等其他影響路徑因素，只需要考慮路徑長度問題。所以飛機路徑是常見的最短路徑的運用場合。

（二）證明最短路徑的存在形式

那么怎樣的路線才是最短的路線呢？借用上文中的圖1與圖3，給學生講解經過兩點間的線在球面上繪制一圈后都會形成圓形，而這個圓形路線上，最短距離肯定是選取圓上的劣弧段。而不同圓的劣弧段是不同的，所以要計算不同的圓上劣弧段長度再進行長度的比較，選取最短長度。教師可以直接將模型結論展示給學生，通過這個數學模型證據，讓學生明白這個結論是準確的。

（三）最短路徑的繪制

學生如何繪制兩點間的大圓是球上兩點間最短路徑問題應用上必不可少的能力。繪制大圓，就得明白大圓在球上的數學規律。首先是大圓的圓心一定在球心上，或者是圓心的投影點在側視圖中兩個大圓的交點上；然后大圓的繪制是利用圓內三角形的性質來繪制，也就是用線段連接圓心和球上兩點，形成三角形，再利用圓心和半徑繪制大圓。

繪制大圓一般分為三種情況：一是兩點在一個已知大圓上；二是兩點在同一個南/北半球；三是兩點在不同南/北半球。

第一種情況，直接采用已知大圓來尋找最短路徑就行。已知大圓如赤道、經線圈和晨昏線等。第二種情況，繪制的最短路徑如圖6所示，繪制方法如下：連接球內點A與點B的連線，根據扇形中垂線原理，可知點C為三角形OAB中AB邊上的中點，OD線段為AB邊的中線延長線。根據點D為一個經線圈上點，該經線圈使得點A點B的經線對稱，并且點D也在OD線段上，可得點ABD在球面的一個圓上，且該圓是以點O為圓心的大圓。第三種情況，繪制最短路徑就是連接不同半球的兩點形成的圓即是大圓，其劣弧就是最短路徑。原因是不同南北半球的點連線肯定要經過赤道，球心就是赤道的圓心，該連線形成的圓面肯定會經過球心，所以該圓肯定是大圓。

圖6 相同南/北半球兩點間最短路徑

（四）最短路徑的應用

新課標中關于最短路徑的考查內容主要集中在最短路徑的判斷、行進方向的判斷。其中最短路徑的判斷和上文中路徑的繪制是相似的，包括路徑的位置，彎曲凹凸方向等等。學生能夠理解路徑凹凸方向和球心是相反方向，球心在赤道上，所以路徑的凹凸方向都是路徑凸向高緯度地區的形狀。另一個行進方向的問題，由于最短路徑都是曲線，行進方向是有變化的，所以最短路徑的行進方向判斷要分段判讀。在經緯網地圖上判讀行進方向，只需要將最短路徑投影到經緯網上，然后根據投影后的行進方向在經緯網上的變化來判讀。在普通地圖或者是含有指北針的地圖上判斷，需要以指北針或者“上北下南，左西右東”口訣為參照，進行行進路線的投影，然后根據投影后的行進方向變化來判讀。

六、小結與反思

本文采用圖形結合講解的方式，幫助學生理解最短路徑知識點中蘊含的數學知識，更加容易理解和記憶知識點。

本文的意義在于，本文為地理教學地圖任務中提供了有力證據，說明教材中關于地球表面任意兩點的最短路徑分布問題。同時，根據球面任意兩個大圓之間的交點都是圓上平分點規律，教師可以指導學生利用赤道、經線圈和晨昏線等大圓來繪制任意兩點之間的最短路徑，增加學生的地理實踐能力。