Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集性能分析

施海天， 魏 莎,2， 丁 虎,2， 陳立群,2

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院， 上海 200444；2.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所， 上海 200072)

近年來，隨著石油、煤炭等資源的日益減少，人類對(duì)能源的需求不斷增加，能源問題已成為人類亟待解決的重要問題。從外部環(huán)境振動(dòng)中獲取能量是目前國內(nèi)外研究熱點(diǎn)之一，振動(dòng)型能量采集器將環(huán)境中普遍存在的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能，可以實(shí)現(xiàn)自供能傳感、控制與驅(qū)動(dòng)，具有靈活、節(jié)能環(huán)保、可持續(xù)等優(yōu)勢，在航空航天、生物醫(yī)療、工業(yè)生產(chǎn)、交通監(jiān)管、環(huán)境監(jiān)測和軍事偵查等領(lǐng)域均具有廣闊的應(yīng)用前景[1-5]。壓電式能量采集器因其功率密度高、設(shè)計(jì)靈活等特點(diǎn)，已成為重要的振動(dòng)能量采集方式之一。

壓電懸臂梁式振動(dòng)型能量采集器在外激勵(lì)頻率接近固有頻率時(shí)可實(shí)現(xiàn)有效的能量采集效果，但在遠(yuǎn)離共振區(qū)域時(shí)，其采集性能將大幅降低。由于一般工程環(huán)境中的振動(dòng)常具有較寬的頻帶，所以設(shè)計(jì)的能量采集器需拓寬頻帶，提高能量采集性能。目前拓寬頻帶的方式主要有多結(jié)構(gòu)陣列、多模態(tài)轉(zhuǎn)化、非線性設(shè)計(jì)等方法[6-10]。在結(jié)構(gòu)陣列設(shè)計(jì)方面，Song等[11]設(shè)計(jì)了一種磁耦合壓電式能量采集器陣列，實(shí)現(xiàn)雙重能量采集模式，對(duì)雜散磁場和環(huán)境振動(dòng)均可實(shí)現(xiàn)有效能量采集。Xie等[12]設(shè)計(jì)了一種L型壓電耦合圓筒式能量采集器，通過陣列式L型結(jié)構(gòu)，有效地提高了能量采集的頻帶帶寬。在多模態(tài)轉(zhuǎn)化方面，Liu等[13]利用聚偏氟乙烯壓電薄膜制備了一種由兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)尺寸懸臂梁組成的雙諧振能量采集器，該能量采集器可以將工作頻帶由37～51 Hz拓寬至30～52 Hz并輸出0.12～0.19 μW的功率。馬天兵等[14]設(shè)計(jì)了一種多層折疊梁結(jié)構(gòu)，在較低的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)多個(gè)模態(tài)的能量采集，有效地提高了壓電能量采集的性能。在非線性設(shè)計(jì)方面，鄒鴻翔等[15]利用屈曲梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了二維平面內(nèi)采集振動(dòng)能量的裝置，通過合理設(shè)計(jì)，面內(nèi)壓電振動(dòng)能量采集器可以在低頻、寬頻、弱激勵(lì)下有效俘獲能量。Jiang等[16]設(shè)計(jì)了一種帶有振蕩器的軸向加載壓電式懸臂梁能量采集器，利用內(nèi)共振機(jī)制，壓電梁表現(xiàn)出硬化型非線性特征，使幅頻峰值向兩側(cè)彎曲，能量采集的帶寬得到較大的提高。Yang等[17]提出了一種將雙穩(wěn)態(tài)與內(nèi)共振相結(jié)合的混合非線性壓電能量采集器，與同結(jié)構(gòu)的固定磁鐵式雙穩(wěn)定系統(tǒng)相比，頻率帶寬增加了二倍。

盡管在壓電懸臂梁式振動(dòng)型能量采集器的基礎(chǔ)上，一些學(xué)者為拓寬能量采集帶寬進(jìn)行了不同方式的梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化與改進(jìn)，但結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，仍然較難實(shí)現(xiàn)寬頻帶、多頻率和多維度能量采集性能。本文設(shè)計(jì)了Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集器，理論分析了Z型梁的固有特性，并采用有限元方法驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。通過研究發(fā)現(xiàn)，Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集器在滿足一定外激勵(lì)的情況下，可發(fā)生不同模態(tài)間的相互作用，實(shí)現(xiàn)不同模態(tài)共振頻率下的能量采集，并且通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)后，可實(shí)現(xiàn)能量采集器工作頻帶的變化與拓寬，改善能量采集效果。

1 Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集器模型

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

優(yōu)化壓電懸臂梁式結(jié)構(gòu)能夠有效的提高能量采集的性能，目前主要的研究有附加集中質(zhì)量改變固有頻率以匹配實(shí)際環(huán)境振動(dòng)頻率，非線性磁力的附加拓展頻帶，研究異型梁實(shí)現(xiàn)二自由度的能量采集等[18]，但仍然難以匹配實(shí)際工程中的激勵(lì)寬頻帶、多方向等問題。結(jié)合實(shí)際梁的多模態(tài)、多自由度的特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)了一種Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式振動(dòng)能量收集器。圖1為Z型梁結(jié)構(gòu)三維模型示意圖，Z型梁由3段矩型梁構(gòu)成，以底層矩型梁作為壓電材料基板，根據(jù)每段梁始末位置的邊界條件，相互耦合得到總體模態(tài)，以此實(shí)現(xiàn)在一定范圍內(nèi)集中更多固有頻率的目的。

圖1 Z型梁結(jié)構(gòu)三維模型示意圖Fig.1 Three dimensional model of Z-shapedbeam

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

圖2(a)為Z型梁結(jié)構(gòu)振型示意圖，以各個(gè)角節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)建立單獨(dú)坐標(biāo)系，將Z型梁分段為三段單獨(dú)的梁結(jié)構(gòu)，由于梁的橫向振動(dòng)與縱向振動(dòng)，產(chǎn)生了橫向位移與縱向位移如圖2(b)所示，在不考慮阻尼的情況下，每段梁的橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖2 Z型梁振型與位移示意圖Fig.2 Vibration mode and displacement diagram of Z-shaped beam

(1)

每段梁的縱向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中:Ei為第i段梁的彈性模量；Ii為第i段梁截面慣性矩;ρi為第i段梁密度;Ai為第i段梁的截面面積。

將控制方程中梁的橫向與縱向自由振動(dòng)進(jìn)行如下分離變量

wi(xi,t)=Wi(xi)Q(t)

(3)

ui(xi,t)=Ui(xi)Q(t)

(4)

將式(3)、式(4)代入式(1)、式(2)，可得到模態(tài)函數(shù)與模態(tài)坐標(biāo)的通解為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

T·C=0

(10)

1.3 模態(tài)分析

為研究Z型梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，取梁的材質(zhì)為鋁，設(shè)計(jì)每段矩形梁的長寬厚尺寸為60 mm×12 mm×0.45 mm，材料的彈性模量為Ei=70 GPa，密度為ρi=2 700 kg/m3,泊松比為0.33，并取角度θ1=θ2，理論計(jì)算出角度變化對(duì)Z型梁的模態(tài)與固有頻率的影響，并與有限元軟件Comsol的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖3為不同角度下Z型梁固有頻率的理論計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果。從圖3中結(jié)果可以看到，兩者較為吻合。當(dāng)角度在0°～90°時(shí)，隨角度增大，一階固有頻率減小，二階固有頻率增大，三階固有頻率略微降低；當(dāng)角度大于90°時(shí)，一、二階固有頻率幾乎不再變化，三階固有頻率增幅較大。由于Z型梁角度的變化會(huì)引起固有頻率的較大變化，通過合理優(yōu)化角度參數(shù)，可以提高Z型梁的模態(tài)集中性，設(shè)計(jì)合適的多模態(tài)、寬頻帶壓電式能量采集器。

圖3 不同角度下Z型梁結(jié)構(gòu)的固有頻率Fig.3 Natural frequency of Z-shaped beam under different angles

2 Z型梁結(jié)構(gòu)有限元建模

Z型梁結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合模型示意圖,如圖4所示。圖4中能量采集器由Z型梁和雙晶壓電片構(gòu)成，雙晶PZT粘貼于Z型梁的第一段主梁上，并以并聯(lián)方式連接于外接電路。

圖4 型梁結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of electromechanical coupling model of Z-shaped beam

建立Z型梁結(jié)構(gòu)中壓電材料的有限元數(shù)學(xué)模型，將壓電材料和梁離散成若干個(gè)三角形單元,如圖5所示。根據(jù)三角形單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的關(guān)系，壓電晶體的位移函數(shù)[20]為

圖5 Z型梁結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格劃分示意圖Fig.5 Finite element mesh generation of Z-shaped beam

(11)

式中:uc，Vc分別為三角形單元中任一點(diǎn)的矢量位移和電壓矢量；u,V分別為節(jié)點(diǎn)位移矢量和節(jié)點(diǎn)電壓矢量；Nu,Nν分別為位移形狀函數(shù)和電壓形狀函數(shù)矩陣。

(12)

(13)

式中,Nn為第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)，利用局部坐標(biāo)可以將形函數(shù)表示為

Nn=(1+xxn)(1+yyn)(1+zzn)

(14)

通過節(jié)點(diǎn)的位移場和應(yīng)變場可以求解節(jié)點(diǎn)電壓強(qiáng)度和電位移密度。由此可以建立任何一個(gè)三角形單元的機(jī)電耦合電壓動(dòng)力學(xué)方程。

(15)

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程式(15)，利用有限元軟件Comsol可以分析得到簡諧外激勵(lì)力作用下Z型梁結(jié)構(gòu)的任意一個(gè)壓電單元的振動(dòng)位移和輸出電壓V，將單元電壓V利用軟件耦合后可以得到Z梁結(jié)構(gòu)的輸出電壓V0。

3 Z型梁結(jié)構(gòu)參數(shù)分析與優(yōu)化

為進(jìn)一步深入研究Z型梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量采集性能，利用有限元軟件Comsol構(gòu)建Z型梁結(jié)構(gòu)的三維模型，采用三角形單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，分析不同結(jié)構(gòu)尺寸、激勵(lì)大小方向以及外接負(fù)載等參數(shù)對(duì)Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集性能的影響規(guī)律。其基本參數(shù)如表1所示[21]。

表1 Z型梁結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

與壓電懸臂梁進(jìn)行對(duì)比，取Z型梁結(jié)構(gòu)第一段作為壓電懸臂梁構(gòu)型，并保持基本結(jié)構(gòu)尺寸一致。為不失一般性，Z型梁結(jié)構(gòu)的角度取為90°，在基座激勵(lì)0.2g的加速度作用下，壓電式懸臂梁與90°折角Z型梁結(jié)構(gòu)的電壓-頻率曲線,如圖6所示。由圖6中可以看出，Z型梁結(jié)構(gòu)相較于懸臂梁，在0～60 Hz內(nèi)，電壓響應(yīng)幅值得到較大提高，同時(shí)模態(tài)頻率也明顯降低，出現(xiàn)第二個(gè)較高的電壓峰值，可實(shí)現(xiàn)多模態(tài)能量采集。

圖6 壓電懸臂梁與90°Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.6 Voltage frequency curve of piezoelectric cantilever beam and 90 ° Z-shaped beam structure

根據(jù)此前理論推導(dǎo)的Z梁固有頻率和折角θi的關(guān)系可知，在折角大于90°后，除第三階固有頻率發(fā)生較大變化，第一、第二階固有頻率變化較小，因此不予研究。圖7(a)為設(shè)計(jì)折角為0°～90°的Z型梁結(jié)構(gòu)輸出電壓-頻率曲線圖。模態(tài)頻率的變化規(guī)律與Z型梁的理論模態(tài)頻率分析相符合，同時(shí)電壓峰值也隨設(shè)計(jì)折角發(fā)生變化。隨著角度的增大，第一、第二階固有頻率的間距增大，電壓峰值也隨之增大，但相應(yīng)的第三階頻率有所降低，電壓峰值不斷下降。在折角為90°時(shí)，第三階模態(tài)的電壓峰值非常低，難以實(shí)現(xiàn)能量的有效采集。圖7(b)所示的功率隨角度的變化規(guī)律與電壓隨角度的變化趨勢一致，圖7(c)所示的位移隨角度的變化規(guī)律與電壓隨角度的變化趨勢也一致。由圖7中結(jié)果可知，通過角度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以有效的實(shí)現(xiàn)多模態(tài)能量采集，并且避免結(jié)構(gòu)因大位移而產(chǎn)生破壞。

圖7 不同角度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線、功率-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.7 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam structure under different angles

為實(shí)現(xiàn)Z型梁結(jié)構(gòu)的多模態(tài)能量采集，得到更加平穩(wěn)的電壓響應(yīng)，設(shè)計(jì)Z型梁的結(jié)構(gòu)夾角為30°，并保持表1中梁的基本參數(shù)不變，分析尺寸參數(shù)對(duì)壓電能量采集性能的影響規(guī)律。保持帶有壓電層的主梁不變，改變第二、第三段梁的長度，不同段梁長的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線，分別如圖8和圖9所示，梁長在一定范圍變化時(shí)均可實(shí)現(xiàn)多個(gè)模態(tài)的有效電壓能量采集。隨第二段梁長的增大，一階電壓響應(yīng)峰值先減后增，二階和三階電壓響應(yīng)峰值均增大。當(dāng)?shù)诙瘟簽?20 mm和150 mm時(shí)，二階電壓響應(yīng)的峰值和頻率幾乎不再變化。位移隨梁長度的變化規(guī)律與電壓隨梁長度的變化趨勢基本一致。如圖9所示，隨第三段梁長的增大，各階固有頻率均降低，自由端的位移均增大，一、二階電壓響應(yīng)峰值先減后增，三階電壓響應(yīng)峰值不斷增大。圖10為在三段梁長度同時(shí)變化下的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線圖。在長度為150 mm時(shí)，第一、第二階固有頻率非常接近，且出現(xiàn)細(xì)長的電壓-頻率曲線，但非共振帶處電壓值依舊非常低，并沒有拓寬能量采集的工作頻帶。由此說明，在三段梁長度同時(shí)變化的情況下，不能顯示出更寬頻的能量采集性能。

圖8 不同第二段梁長度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.8 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different lengths of the second segment beam

圖9 不同第三段梁長度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.9 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different lengths of the third segment beam

圖10 三段梁長度同時(shí)變化下的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.10 Voltage frequency curve of Z-shaped beam structure with three beam lengths changing at the same time

圖11(a)為第二段梁厚度變化下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線。隨第二段梁厚度的增大，第一階固有頻率發(fā)生較小偏移，第二階固有頻率明顯增大。隨著第二段梁厚度的增大，一、二階電壓峰值明顯增大，三階電壓峰值減小。位移隨梁厚度的變化規(guī)律與電壓隨梁厚度的變化趨勢基本一致，但第二階固有頻率附近的自由端位移變小。當(dāng)?shù)诙瘟汉穸扔?.6 mm增加至0.8 mm時(shí)第二階電壓的變化差遠(yuǎn)大于厚度由0.8 mm增加至1.2 mm時(shí)電壓的變化差。此外，隨著厚度的增加，一、二階固有頻率之間非共振帶處的電壓值不斷增加，有效拓寬了工作頻率范圍。在1.2 mm厚度的情況下，以0.5 V為有效輸出電壓，工作頻帶可達(dá)17.4～36.3 Hz。如圖12所示為第三段梁厚度變化下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線，隨著厚度的增加，各階固有頻率均降低，此外一階電壓峰值略微降低，二階電壓峰值不斷增加，三階電壓峰值變化不大，自由端位移隨厚度的變化趨勢與電壓隨厚度的變化趨勢一致。通過分析Z型梁的結(jié)構(gòu)尺寸，梁長度對(duì)壓電能量采集性能起主導(dǎo)作用，影響較為復(fù)雜。隨著第二段梁厚度的增加，第一、第二階固有頻率之間非共振帶處的電壓值不斷增加，有效拓寬了工作頻率范圍，由此說明可通過合理優(yōu)化尺寸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不同多模態(tài)、寬頻的Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集器。

圖11 不同第二段梁厚度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.11 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different thickness of the second segment beam

圖12 不同第三段梁厚度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.12 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different thickness of the third segment beam

圖13為不同激勵(lì)加速度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與功率-頻率曲線。如圖13(a)所示，Z型梁結(jié)構(gòu)在不同激勵(lì)基座加速度作用下的電壓響應(yīng)隨加速度的增大而增加。在0.8g的基座加速度下，90°折角Z型梁的一階電壓響應(yīng)峰值可以達(dá)到14 V，同時(shí)圖13(b)中輸出電功率最大可達(dá)7.89 mW。在保持0.2g基座加速度的情況下，不同方向激勵(lì)下Z型梁電壓-頻率曲線,如圖14所示。相較于相近尺寸的傳統(tǒng)壓電懸臂梁[22]在1g基座加速度下縱向振動(dòng)產(chǎn)生最大電壓約為1.6 V，Z型梁結(jié)構(gòu)對(duì)橫向激勵(lì)和縱向激勵(lì)均有較高的電壓響應(yīng)。

圖13 不同激勵(lì)加速度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與功率-頻率曲線Fig.13 Voltage and power frequency curves of Z-shaped beam under different excitation accelerations

圖14 不同激勵(lì)方向下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.14 Voltage frequency curves of Z-shaped beam under different excitation directions

圖15為不同外接電阻下Z型梁結(jié)構(gòu)功率-電阻曲線，分別討論了30°和90°兩種結(jié)構(gòu)折角下的能量采集性能。如圖15所示，不同固有頻率下的能量采集最大功率對(duì)應(yīng)不同的外接電阻。如圖15(a)所示，在0.2g的基座加速度下，90° Z型梁結(jié)構(gòu)在第一階固有頻率處的最優(yōu)電阻解約為12 kΩ，產(chǎn)生的最大功率為0.52 mW；在第二階固有頻率處的最優(yōu)電阻解約為18 kΩ，產(chǎn)生的最大功率為0.27 mW，而在第三階固有頻率處的功率幾乎為零。如圖15(b)所示，在0.2g基座加速度下，30° Z型梁結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率均存在有效功率，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)電阻分別為8 kΩ，22 kΩ，12 kΩ，產(chǎn)生的最大功率分別為0.05 mW，0.09 mW，0.11 mW。

圖15 不同外接電阻下Z型梁結(jié)構(gòu)功率-電阻曲線Fig.15 Voltage frequency curves of Z-shaped beam under different excitation directions

4 結(jié) 論

本文提出了一種Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式振動(dòng)能量采集器，通過理論分析計(jì)算了Z型梁折角變化對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律，并采用有限元方法驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性和壓電能量采集性能，分析結(jié)果表明：

(1)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)更多模態(tài)共振頻率下的有效能量采集。相較于同尺寸結(jié)構(gòu)壓電懸臂梁，設(shè)計(jì)折角0～90°的Z型梁結(jié)構(gòu)，控制頻率范圍在0～50 Hz，能夠?qū)崿F(xiàn)三個(gè)模態(tài)共振頻率下的穩(wěn)定電壓采集。

(2)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)較為寬頻的能量采集。在第二段梁厚度為1.2 mm，保持有效電壓采集在0.5 V以上時(shí)，工作頻帶可達(dá)17.4～36.3 Hz。

(3)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)不同激勵(lì)方向的有效能量采集。相較于相近尺寸的傳統(tǒng)壓電懸臂梁，設(shè)計(jì)折角為90°的Z型梁結(jié)構(gòu)對(duì)橫向激勵(lì)和縱向激勵(lì)均有較高的電壓響應(yīng)。

(4)該Z型梁結(jié)構(gòu)具有較高電壓和功率的能量采集性能。在設(shè)計(jì)折角為90°、保持0.2g基座加速度作用下時(shí)，該結(jié)構(gòu)一階模態(tài)下的最優(yōu)電阻解約12 kΩ，功率可達(dá)0.52 mW。在基座加速度為0.8g時(shí)，一階模態(tài)下采集的電壓峰值可達(dá)14 V，輸出電功率可達(dá)7.89 mW，同時(shí)可保持二階模態(tài)采集的電壓峰值在10 V以上。

此外，在后續(xù)研究工作中將考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性，理論分析幾何非線性引起的非線性問題。