“工”字型徑向彈性超材料零頻起始帶隙特性研究

李麗霞， 賈 琪， 解妙霞， 李 玲， 張錫成

(1. 西安建筑科技大學 機電工程學院 機械動力所，西安 710055；2. 西安建筑科技大學 力學研究院，西安 710055；3.西安建筑科技大學 土木工程學院 工程結構與抗震研究所，西安 710055)

聲子晶體[1-2]是一種可以控制固體中彈性波的周期性結構，因其帶隙特性受到研究人員的廣泛關注，現有的帶隙形成機制主要為布拉格散射機制[3-5]與局域共振機制[6]。其中，基于布拉格散射機制的聲子晶體，帶隙產生的主要原因是周期變化的材料特性與彈性波的相互耦合作用,散射體的尺度和帶隙頻率所對應的波長位于同一數量級，因此需要大的空間尺寸才能阻隔振動。基于局域共振機制的聲子晶體[7]，在彈性波激勵下，散射體振子產生共振，并且與彈性波相互作用，進而帶隙頻率遠低于相同晶格尺寸的布拉格帶隙，實現了小尺寸控制大波長，以局域共振機制為主的聲子晶體也稱為彈性超材料[8-11]。

為了促進彈性超材料在振動控制和機械工程中的應用，獲得低頻及大帶寬帶隙是非常重要的。對于平面周期排列的彈性超材料，人們已經進行了大量的研究，以探索具有優良帶隙特性的超材料結構[12-14]。Badreddine等設計了一種在X和Y方向周期排列雙面短柱的彈性超材料，運用有限元法計算得到了寬頻完全帶隙。Krushynsk等[16]研究一種含有橡膠包覆層的彈性超材料，通過平面周期布置晶格結構可得到起始頻率低于200 Hz以下的低頻帶隙。Gao等[17]提出一種在X和Y方向周期分布雙諧振腔的二維彈性超材料，在35 Hz左右可產生5 Hz寬的超低頻帶隙。但是，以上研究僅基于直角坐標系進行彈性超材料的帶隙特性研究，對于柱坐標下的徑向彈性超材料并未涉及。

徑向彈性超材料是一種在徑向方向上呈周期性排列的環形結構，具有全向帶隙特性。Shi等[18]提出一種由有機玻璃和鋼交替組成的徑向彈性超材料，得到寬頻完全帶隙。Ma等[19]研究具有晶格滑移特性的雙層徑向彈性超材料，其結構呈現寬頻完全帶隙特性。Li等[20]設計一種基板由鋁和環氧樹脂交替組成，并且在基板上附加周期性的橡膠和鋼塊的徑向彈性超材料，得到起始頻率低于500 Hz帶寬為100 Hz左右的帶隙。Gao等[21]設計一種以鋼為基體附加硅橡膠與鋼組合質量塊的徑向彈性超材料，其一階帶隙中心頻率存在于300 Hz附近。雖然徑向彈性超材料以實現低頻阻帶為目標，但是仍然難以實現零頻起始頻率的阻帶。同時，目前的徑向彈性超材料實現的低頻帶隙往往較窄，難以滿足復雜的工程應用環境。

研究發現，對周期性結構施加固定端約束[22]，可在超低頻率范圍內打開寬頻阻帶。Yao等[23]設計一種特殊的質量彈簧系統，通過對結構施加固定端約束，此系統可對0起始的一定頻率范圍內的彈性波進行有效衰減。Antonakakis等[24]通過對彈性板上的特殊點施加固定端約束，研究彈性板中彎曲波的屏蔽現象，發現點約束形式將使結構產生零頻起始阻帶，并通過傅里葉級數與高頻均勻化理論[25]從數學角度研究零頻起始阻帶的產生原因。Yu等[26]通過對梁下基面施加固定端約束，同樣發現結構產生0起始的阻帶。Achaoui等[27]通過對其周期性結構底面施加約束，設計一種擁有零頻起始阻帶的寬頻二維地震超材料，可有效衰減地震波。但是，以上約束狀態的帶隙研究均基于直角坐標系下的周期結構，并未對徑向周期性結構開展相關研究。同時，其約束狀態下的帶隙機制并不清晰且未涉及超材料固有振動屬性研究。

本文提出一種工字型單相徑向彈性超材料，并計算其不同約束狀態下的帶隙特性。通過運用本征模可視化方法，分析零頻起始帶隙產生及其帶隙拓寬原因。最后，研究幾何參數對帶隙特性的影響。本文提出約束作用下徑向彈性超材料，可有效衰減零頻起始的寬頻徑向振動，對超材料超低頻減振等領域的工程用拓展具有重要的現實意義。

1 “工”字型徑向彈性超材料結構

本文提出的工字型徑向彈性超材料的單元晶格結構，如圖1(a)所示，圖1(a)中：用a為工字型單位晶格結構的腿寬，即晶格常數；h，d，e為工字型單位晶格結構的腰高，腰厚與平均腿厚。單位晶格徑向周期排列形成超材料結構的方式，如圖1(b)所示。圖1(c)、圖1(d)、圖(e)分別為三種不同約束狀態下的超材料結構，其中深色表示超材料結構被約束面。圖1(c)為Z向上下基面均施加固定端約束(簡稱雙面約束)的超材料結構；圖1(d)為Z向單基面施加固定端約束作用(簡稱單面約束)的超材料結構；圖1(e)為無固定端約束作用(簡稱無約束)的超材料結構。其中，本文提到的約束均為剛性接觸而形成的固定端約束，忽略固定端接觸面上存在的小位移變形。

圖1 徑向彈性超材料 Fig.1 Radial elastic metamaterials

由于結構的特殊性，提出基于圓柱坐標系下的有限元方法來研究其超材料結構帶隙特性。首先，建立圓柱坐標系下的彈性波動方程，以便計算無限系統中的色散關系曲線。其中：u,v,w分別為柱坐標系的位移分量；ρ為密度；t為時間；λ和μ為材料的彈性波常數；r,θ,z分別為柱坐標系下的坐標分量。

(1)

(2)

因其晶格單元的周期性結構是沿著徑向方向無限的，根據Bloch定理，只需考慮單個晶格單元。其晶格的邊界條件方程為

u(r+ra,z)=u(r,z)eikrra

(3)

式中：r為徑向位置；a為晶格常數；kr為徑向方向上Bloch波矢量Kr的分量。

利用等式(3)，在r上應用周期性邊界條件，通過將Bloch波矢量Kr掃描第一不可約布里淵區的邊界，可以得到徑向超材料結構的色散關系曲線。

對于有限周期結構，需要計算頻率響應函數曲線來描述其傳輸特性。通過在有限周期結構的一端沿徑向方向施加柱面加速度/位移激勵，同時在另一端記錄其所產生的柱面加速度/位移響應，從而計算頻響函數。

T=20lg(a2/a1)

(4)

式中：a1為激勵端的加速度/位移激勵；a2為拾取端的加速度/位移響應。

根據有限元理論[28]，式(1)可以轉化為具有離散形式的廣義特征值方程

(K-ω2M)u=0

(5)

式中：K為超材料結構的剛度矩陣；M為超材料結構的質量矩陣；u為特征向量。

在獲得有限元廣義本征方程式(5)后，通過給定一組Bloch波矢量Kr，在該波矢條件下計算單一晶格單元的各階本征頻率ω，并回代至有限元方程，即可求得各階特征向量u=[u1,u2,…,un]T，繼而依據特征向量建立晶格單元中各點的位移值，并通過差異化的顏色顯示，即可獲得單一晶格單元的本征模位移矢量場[29]。本文將采用這種有效的有限元方法研究彈性超材料的帶隙特性。

2 數值結果與討論

2.1 帶隙結構分析

應用有限元法分別計算了三種不同約束狀態下的超材料結構的色散關系曲線。其中，幾何參數如下：晶格常數a=0.1 m，腰高h=0.1 m，腰厚d=0.06 m，平均腿厚e=0.02 m。整體結構的材料為鋼，其楊氏模量E=2.106×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 880 kg/m3。

圖2、圖3和圖4分別為雙面約束、單面約束和無約束狀態下的超材料結構的色散關系曲線。由圖可知，三種約束狀態下的超材料結構均能產生完全帶隙。由圖2(a)可知，雙面約束下“工”字型徑向彈性超材料出現了零頻起始頻率，在30 000 Hz以下僅存在兩條能帶曲線，其第一帶隙(0～16 849 Hz)位于第一條能帶以下。單面約束狀態下同樣出現了零頻起始頻率，在15 000 Hz以下也僅存在兩條能帶，如圖3(a)所示，其第一帶隙(0～5 611.8 Hz)的截止頻率與雙面約束狀態下相比降低較多，帶隙寬度僅為雙面約束帶隙寬度的1/3。由圖4(a)觀察到，無約束狀態下在20 000 Hz以下存在四條能帶曲線，其中第一帶隙(14 298～16 993 Hz)位于第三條和第四條能帶之間，并不存在零頻起始帶隙。為了驗證能帶結構的正確性，分別對雙面約束，單面約束和無約束狀態下的8/16個周期超材料結構腰面加速度/位移信號拾取并進行平均處理，計算了超材料結構頻響曲線，分別如圖2(b)、圖3(b)和圖4(b)所示，可以觀察到，加速度傳輸曲線與位移傳輸曲線存在較好的一致性，其帶隙位置與色散關系曲線所得到的帶隙結果相吻合。

圖2 雙面約束超材料的振動帶隙結構Fig.2 Vibration band gaps structure of metamaterial with double-sided constraints

圖3 單面約束超材料的振動帶隙結構 Fig.3 Vibration band gap structure of metamaterial with unilateral constraints

圖4 無約束超材料的振動帶隙結構Fig.4 Vibration band gap structure of metamaterial with unconstraint

2.2 帶隙形成機制分析

為研究零頻起始帶隙的機制，分別計算了三種約束狀態下能帶特殊點的本征模位移矢量場，如圖5所示。其中箭頭代表振動位移的方向，不同深淺度代表振動位移的幅值。

圖5 不同約束狀態下第一能帶起始點本征模位移矢量場Fig.5 Eigenmode shapes and displacement vector fields of the first band at the starting point in different constrained states

可以觀察到，A1點的振動模態集中在晶胞中部的徑向振動，整體呈現局域徑向振動模態，這是由于Z向上下兩基面施加固定端約束導致振動無法在上下基面產生；A2點，由于Z向單面施加固定端約束，下基面保持靜止，振動集中分布于晶胞上部，整體呈現類似“擺錘”的局域旋轉振動模態；而A3點，由于上下基面無約束，因此振動均勻分布在整個晶胞各處，整體呈現軸向的垂直振動模態。因此，由于面約束的作用，引起結構固有本征模位移矢量場的改變，從而使超材料結構的局域振動打開零頻起始帶隙。

進一步，研究雙面約束下超材料零頻起始帶隙有效拓寬的原因。由圖5中A1和A2點的振動模態可知，雙面約束和單面約束狀態下的振動模態可分別等效為一個彈簧-質量系統[30]和一個彈簧-擺系統[31]。零頻起始帶隙的截止頻率與結構在A1點，A2點的固有頻率相關，其固有頻率可以分別由下式確定

(6)

式中：Ke為等效彈簧的剛度；Me為等效質量。

(7)

式中：Ke為等效彈簧的剛度；J為結構慣性矩；l為等效彈簧與旋轉中心的距離

A1點時，結構的等效質量Me(46.946)A2點(1.12×1011)。依據式(6)、式(7)，A1點的固有頻率f將顯著高于A2點。因此，約束狀態的差異將產生不同的局域振動模式，雙面約束超材料存在低的等效質量Me與高的等效剛度Ke，結構出現高的截止頻率，這是徑向彈性超材料零頻起始帶隙有效拓寬的主要原因。

2.3 零頻起始帶隙機制分析

進一步研究有限周期超材料結構的振動特性，探討固定端約束狀態下超材料結構零頻起始帶隙的產生機制。圖6、圖7分別表示8個周期的徑向超材料結構在雙面約束狀態和單面約束狀態下第一帶隙中心頻率處沿徑向的位移場。在圖6中，其雙面約束狀態下第一帶隙中心頻率為8 425.5 Hz，其入射波被有效反射，并出現局域振動模式；在超材料陣列內部，振動幅度在第一個晶格處最大，然后向出口呈指數衰減，在出口一側觀察到低透射率。第一晶格處的振動模式沿軸向方向是對稱的,這與試驗的結果是一致的[32]。因此，雙面約束狀態下8 425.5 Hz附近的全帶隙明顯與晶格的局部共振有關。同時，在單面約束2 805.5 Hz處，可觀察到相同的現象，如圖7所示。因此，固定端約束作用下徑向彈性超材料產生的全帶隙明顯與晶格的局域共振機制有關。

圖6 雙面約束超材料的徑向振動位移場研究Fig.6 Investigation on radial vibrational displacement fields of metamaterial with double-sided constrains

圖7 單面約束超材料的徑向振動位移場研究Fig.7 Investigation on radial vibrational displacement fields of metamaterial with unilateral constraints

3 幾何參數對帶隙特性的影響

本節研究幾何參數對雙面約束超材料的帶隙特性的影響。圖8(a)為第一帶隙隨幾何參數比值d/a的變化規律，其中，材料參數及其他幾何參數均保持不變。由圖可知，隨著d/a的增加截止頻率呈現先逐漸升高而后緩慢下降的趨勢，帶隙寬度先變大后減小。當d/a=0.45時，零頻起始帶隙的寬度最大。由于雙面固定端約束作用，工字型結構中部即作為提供等效剛度的彈簧，同時又作為提供等效質量的質量體(如圖8(b)所示)。當d/a<0.45時，結構中彈簧作用將處于主導地位，隨著參數d/a的增加，等效剛度Ke的不斷增加，將是帶隙寬度變大的原因。在參數d/a=0.45時，結構中部承擔彈簧作用與質量體作用的比例相近，使其帶隙寬度出現最大值。而后，隨著參數d/a的增加，結構局域徑向振動的加強，引起結構等效質量Me的增加，這將是其帶隙寬度緩慢下降的原因。

圖8 帶隙特性與參數比值d/a的關系Fig.8 Relationship between parameter ratio d/a and band gap characteristics

圖9(a)為雙面約束狀態下徑向彈性超材料帶隙隨幾何參數比值e/a的變化。可以看出，第一帶隙的截止頻率值隨著e/a的增加呈現單調增加趨勢，其帶隙寬度也逐之變寬。為了探討帶隙寬度變化的原因，計算了不同e/a的本征模位移矢量場(如圖9(b)所示)。結果表明，隨著e/a的增加，工字型結構的彎曲剛度不斷增大，引起結構上下側彎曲振動作用不斷減弱，而結構局域徑向振動逐步加強。結構上下側與結構中部徑向振動耦合作用的不斷增強，是導致其截止頻率不斷升高，帶隙寬度逐漸增加的主要原因。

圖9 帶隙特性與參數比值e/a的關系Fig.9 Relationship between parameter ratio e/a and band gap characteristics

4 結 論

本文提出一種“工”字型徑向彈性超材料，研究三種約束狀態下的帶隙特性及變化，并對其雙面約束和單面約束狀態下的零頻起始帶隙機制進行了分析，最后研究了隨著幾何參數的變化，雙面約束狀態下的“工”字型徑向彈性超材料的零頻起始帶隙的變化規律。

研究表明：“工”字型徑向彈性超材料的帶隙特性受其結構固有振動屬性的影響，約束作用將改變結構固有屬性，影響結構的帶隙特性；固定端約束使 “工”字型徑向超材料結構具有零頻起始帶隙特性，并隨著約束面的增加，有效拓寬了超材料結構的零頻起始帶隙的寬度；零頻起始帶隙的產生機制是局域共振機制,約束作用在布拉格散射周期性結構中形成局域共振模態，這是打開零頻起始帶隙的關鍵；隨著參數比值d/a的增加，帶隙呈現先變大后減小，其原因為工字型結構中部即提供等效剛度，同時又提供等效質量，等效剛度Ke與等效質量Me隨d/a的動態變化是引起帶隙變化的主要原因；隨著參數比值e/a的增加，結構彎曲剛度增大，彎曲振動作用的減弱與徑向振動作用的增強，促使帶隙寬度逐漸變寬。

本文提出約束作用下徑向彈性超材料，具有零頻起始帶隙，對于徑向振動具有強烈的衰減特性，對超材料超低頻減振等領域的工程應用拓展具有重要的應用前景。