外滾道剝落的高速軸承轉子非線性系統及其振動響應分析

謝 聰， 郝麗娜， 鄧 松， 錢東升， 華 林

(1. 武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，武漢 430070；2. 武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創新中心，武漢 430070；3. 武漢理工大學 湖北省新能源與智能網聯車工程技術研究中心，武漢 430070；4. 武漢理工大學 材料科學與工程學院，武漢 430070)

高速工況下，軸承潤滑油膜厚度實時變化導致軸承載荷和變形實時變化，顯著影響軸承轉子系統運轉穩定性和振動噪聲水平。因此，建立符合工程實際的滾道剝落高速軸承轉子非線性系統模型至關重要。

許多學者對軸承故障動力學模型進行了研究。Liu[1]將軸承滾道剝落引起的時變接觸激勵、軸承與軸承座接觸變形、油膜剛度和阻尼等綜合考慮建立滾道剝落的軸承轉子系統動力學模型，研究了滾道剝落尺寸對軸承轉子系統的附加位移激勵的影響規律。羅茂林等[2]建立了外滾道剝落軸承動力學模型，分析了鋼球在剝落區滾動全過程動力學行為，獲得了剝落引起的時變位移激勵函數。常斌全等[3]將鋼球進入缺陷到離開缺陷細分為進入事件、沖擊事件、離開事件和載荷補償事件，結合軸承接觸剛度和阻尼建立了多事件激勵的滾動軸承動力學模型。王文龍等[4]基于彈流潤滑理論計算鋼球與滾道間的摩擦力，采用短軸軸承理論計算套圈與保持架間摩擦力，并將鋼球與保持架接觸等效為剛度彈簧來建立角接觸球軸承-轉子系統的動力學分析模型。Babu等[5]考慮了轉子變形、軸承摩擦力矩、滾道波紋度等非線性因素建立了6自由度軸承轉子系統振動響應模型，這比剛性轉子軸承模型更符合工程實際。Sopanen等[6]考慮了軸承滾道缺陷、鋼球激勵力和力矩、接觸變化和彈流動力潤滑等因素建立了深溝球軸承動力學模型，該模型比較符合工程實際需要。Khanam等[7]建立了軸承載荷、軸承轉速、軸承缺陷作用下鋼球沖擊激勵模型，并分析了缺陷尺寸、缺陷位置和分布對沖擊激勵的影響，該模型需考慮高速工況下這些影響因素非線性對鋼球沖擊的影響。Jiang等[8]根據鋼球通過缺陷區時鋼球是否與缺陷區域頂邊和兩側邊接觸，對鋼球與缺陷接觸形式分類，建立了考慮滾鋼球與缺陷區域三維幾何關系的軸承動力學模型。Qin等[9]考慮了符合工程實際的滾道剝落結合高速狀態軸承離心力和時變接觸力建立了滾道缺陷高速球軸承動力學模型，該模型需進一步考慮高速下油膜對軸承振動的作用。Liu等[10]考慮了滾道缺陷引起的時變位移，載荷誘導摩擦力矩和潤滑誘導摩擦力矩建立了滾動軸承轉子系統模型，該模型線性化軸承剛度和阻尼不符合高速狀態軸承剛度和阻尼實時變化的特點。Liu等[11]根據滾道波紋度和鋼球波紋度推導了軸承時變摩擦力矩計算方法，分析了波紋度對高速軸承動力學作用規律。

上述研究沒有結合高速工況和高速下缺陷引起的鋼球位移和沖擊、油膜剛度和阻尼、滾道變形和接觸力等時變特性建立符合工程實際的滾道缺陷高速軸承轉子系統非線性動力學模型的相關研究。針對上述問題，本文考慮了高速工況下外滾道剝落引起的時變位移和時變沖擊激勵、油膜時變剛度和油膜時變阻尼、鋼球與滾道接觸時變剛度和時變接觸力等非線性因素建立了外滾道剝落高速軸承轉子系統動力學模型，通過與其他學者研究結論對比分析證明了該模型有效可靠，進而分析了高速和低速工況、外滾道剝落尺寸對該軸承轉子系統振動響應的影響規律。

1 外滾道剝落時變位移和時變沖擊激勵模型

針對滾道剝落早期小凹坑特點結合許多學者考慮缺陷為正方形、圓形[12]的軸承剝落研究現狀，考慮缺陷寬度小于長度且缺陷尺寸小于鋼球直徑的外滾道剝落(如圖1所示)建立時變位移激勵模型和時變沖擊激勵模型。外滾道剝落長度為L，寬度為B，深度為H。

圖1 外滾道局部剝落示意圖Fig.1 Schematic diagram of partial peeling of the outer raceway

1.1 時變位移激勵模型

圖2 滾動體與局部缺陷相對位置圖Fig.2 Relative position map of rolling elements and local defects

鋼球滾過剝落過程中附加位移實時變化，根據劉靜研究結論采用分段函數表示外滾道剝落下鋼球附加位移量[13]，表達公式為

式中：H3為鋼球與剝落兩側邊接觸時產生的最大附加位移量；θj為鋼球與外滾道之間位置角；θoo為剝落位置角；ΔTo_1為鋼球碰到剝落兩側邊到離開剝落兩側邊經過的角度；ΔTo_3為鋼球從剝落前緣到接觸剝落兩側邊經過的角度； ΔTo為局部剝落對應的角度ΔTo=arcsin(L/Do)；ωc為保持架轉速；n為滾動體個數；j為第j個鋼球；D為球的直徑；mod( )為求余函數；Do為外滾道直徑；θ′oo為第一個鋼球與外滾道局部剝落之間的初始位置角。

1.2 時變沖擊激勵模型

Khanam等指出在滾道剝落前緣接觸剛度降低，撓度增加導致一個沖擊力發生，這個力稱為進入力，鋼球沿剝落兩側邊滾動過程中進入力持續存在，鋼球離開剝落兩側邊時這段滾動時間稱為鋼球進入時間。根據載荷變形關系理論，進入力最大值可用式(2)表示

(2)

式中，kc為載荷位移常數。碰到剝落邊緣時產生的最大變形量為

(3)

從鋼球碰到剝落前緣到鋼球接觸剝落兩側邊為進入力作用的時間，可以用式(4)和式(5)來計算

(4)

(5)

在鋼球離開剝落前緣到鋼球撞擊剝落后緣過程中，鋼球始終與剝落兩側邊接觸，這段時間用式(6)來表示

(6)

Khanam等也指出鋼球離開剝落時撞擊剝落后緣，由于剝落邊緣處剛度較低撓度較大而產生沖擊變形，我們將剝落后緣作為一個彈簧，那么鋼球撞擊后緣時彈簧被壓縮。在鋼球離開剝落后緣時，彈簧被釋放，于是沖擊力經過了由小變大再變小的過程。沖擊力大小與外部載荷、相對速度和軸承材料屬性密切相關。撞擊力最大值用式(7)表示

(7)

式中，鋼球在剝落后緣時最大壓縮量為xo_imax，通過式(8)計算

(8)

撞擊剝落后緣瞬間鋼球角速度為

(9)

式中:mb為鋼球的質量；ωR為鋼球自轉轉速。

從撞擊過程可知，撞擊時間由兩部分組成，分別是撞向剝落后緣產生彈性變形的過程以及變形量恢復鋼球滾過剝落后緣的過程，于是撞擊時間可由式(10)表示

(10)

Khanam等采用分段函數描述鋼球沖擊力變化過程，表達公式為

(11)

2 外滾道剝落高速軸承轉子系統動力學模型建立

在高速工況，鋼球與滾道接觸時變剛度和阻尼、油膜時變剛度和油膜時變阻尼、摩擦力矩等因素對軸承轉子系統動態行為具有顯著影響，本文軸承時變剛度和時變阻尼和摩擦力矩采用文獻[14]的方法來確定，進而建立考慮時變接觸力、時變剛度和時變阻尼等因素作用的高速軸承動力學模型。將外滾道剝落時變位移和時變沖擊激勵模型與高速球軸承動力學模型結合建立六自由度滾動軸承轉子系統動力學模型，如圖3所示。背對背安裝的軸承采用7308C角接觸軸承，左側軸承外滾道剝落在位置角0°處，軸承參數如表1所示。將鋼球與滾道接觸模擬成彈簧-阻尼系統，外圈固定，內圈與轉子固定旋轉。該滾動軸承轉子系統沿x，y和z軸平動，并且繞x，y和z軸轉動。轉子重力方向沿著x軸負方向，建立外滾道剝落軸承轉子系統模型參數，如表2所示。

圖3 滾動軸承轉子系統簡化模型Fig.3 Simplified model of rolling bearing rotor system

表1 7308C軸承結構、載荷和潤滑參數Tab.1 7308C bearing structure, load and lubrication parameters

表2 軸承轉子系統參數Tab.2 Bearing rotor system parameters

2.1 鋼球與滾道之間的徑向位移量的計算

在高速工況下，軸承時變接觸角導致任意角位置θj處鋼球與滾道之間變形不同，在安裝中施加給軸承的預載荷以及運動中由于繞x軸和y軸的擺動導致鋼球和內外滾道之間產生的接觸位移量實時變化。當鋼球位于局部剝落區域時，根據Babu等[15]的研究思想推導了接觸位移量的計算公式為

(12)

(13)

式中：ξ為判斷鋼球否在剝落區域，ξ=1表示鋼球在剝落區域，ξ=0表示鋼球不在剝落區；δ為鋼球位移；下標L和R分別為左側和右側軸承；XL，XR，YL，YR，ZL，ZR分別為兩端軸承內圈沿x，y和z方向的位移。

2.2 滾動軸承轉子系統動力學方程組

在外滾道剝落作用下，軸承時變位移激勵顯著作用鋼球與滾道之間接觸力。在軸承載荷和轉速作用下，考慮外滾道剝落作用的鋼球與滾道的時變接觸力計算公式為

(14)

當軸承中某個鋼球位于局部缺陷位置處，沖擊激勵也會對系統產生重要影響。因此，考慮外滾道剝落的軸承轉子系統動力學方程為

(15)

式中:Ms為轉子質量；Msg為轉子質量；Ix為轉子在x方向上的轉動慣量；Iy為轉子在y方向上的轉動慣量；Iz為轉子在z方向上的轉動慣量；Fx為系統所受沿x方向的載荷；Fy為系統所受沿y方向的載荷；Fz為系統所受沿著z方向上的載荷。

外滾道剝落滾動軸承轉子系統非線性動力學模型求解流程，如圖4所示。首先通過高速球軸承動力學模型計算任意角位置鋼球的接觸載荷、接觸位移、接觸角和卷吸速度等，進而求解鋼球與滾道接觸時變剛度kip，kop。將獲得的接觸載荷、卷吸速度等時變參量與油膜時變剛度和油膜時變阻尼模型結合，計算油膜時變剛度和油膜時變阻尼，隨后確定軸承時變剛度和時變阻尼。通過滾道剝落引起的附加位移和沖擊力計算模型確定鋼球時變位移和時變沖擊激勵，進而結合軸承時變剛度和時變阻尼計算軸承時變接觸力。最后，通過自適應步長的四階龍格庫塔法求解外滾道剝落的滾動軸承轉子系統非線性動力學方程，求解中位移初值選為x0=10-6m，y0=10-6m，z0=10-6m，轉速初值選為0。

圖4 外滾道剝落滾動軸承轉子系統動力學模型求解流程圖Fig.4 Flowchart of solving the dynamic model of the rolling bearing rotor system of the external raceway

2.3 外滾道剝落滾動軸承轉子系統動力學模型有效性驗證

在實際工況下，滾道剝落引起的鋼球時變位移和時變沖擊激勵、軸承時變剛度和時變阻尼、時變接觸力和摩擦力矩對軸承轉子系統的振動響應具有重要影響，建立外滾道剝落滾動軸承轉子系統動力學模型對準確研究滾道缺陷作用下軸承轉子系統動力學行為至關重要。為了驗證高速和低速狀態下外滾道剝落滾動軸承轉子系統動力學模型有效性，假定外滾道剝落長度L為1 mm，寬度B為0.5 mm，研究轉速nn=2 000 r/min和nn=10 000 r/min時本文軸承轉子系統模型幅頻響應規律。如圖5所示，低速狀態(nn=2 000 r/min)無剝落情況下鋼球通過頻率(fs=103.98 Hz)和鋼球通過外滾道剝落頻率(fsd=103.45 Hz)基本一致，而且它們的諧波頻率(2倍、3倍、4倍)基本一致，滾道剝落狀態系統振幅明顯大于健康狀態系統振幅。在高速狀態(nn=10 000 r/min)，無剝落情況下軸承轉子系統頻率和振幅變化規律與滾道剝落狀態系統振幅和頻率變化規律基本一致。此外，試驗測試軸承鋼球通過頻率(如圖6所示)與數值分析結果一致，這表明本文外滾道剝落高速軸承轉子系統非線性動力學模型有效可靠。通過對比分析高速和低速時本文軸承轉子系統振幅，發現高速時系統振幅相對低速時系統振幅增加了兩個數量級，這說明系統轉速對滾動軸承轉子系統振動行為具有顯著影響，綜合考慮剝落引起的時變沖擊激勵、油膜時變剛度和時變阻尼、時變接觸力和摩擦力矩等非線性因素建立符合工程實際的滾動軸承轉子系統動力學模型具有重要應用價值。

圖5 高低速時x方向振動速度頻譜Fig.5 Vibration velocity spectrum in x direction at high and low speeds

圖6 10 000 r/min時軸承振動試驗Fig.6 Bearing vibration test at 10 000 r/min

3 結果與討論

3.1 剝落尺寸對滾動軸承轉子系統振動響應影響

圖7描述了低高速下不同剝落尺寸對軸承轉子系統的振動響應作用。當轉速為1 000 r/min時，對比分析圖7(a)和圖7(b)可知，剝落長度影響鋼球進入剝落和退出剝落的時間間隔。此外，當剝落長度為1 mm時，進入振動速度與剝落長度為3 mm時進入振動速度幾乎相同，但是退出振動速度明顯小于剝落長度為3 mm時的退出振動速度。這是因為剝落長度和寬度較小時，鋼球進入剝落區時變位移很小，在退出剝落區時很難產生明顯的沖擊激勵。當剝落長度較大時，鋼球沿著剝落兩側邊的時變位移增加導致鋼球退出剝落區時沖擊剝落后緣產生較大的沖擊激勵，進而引起較大的退出振動速度。對比分析圖7(b)和圖7(c)可知，當寬度從0.3 mm增加到0.5 mm時，剝落寬度對鋼球通過剝落區的時間間隔沒有影響，但是寬度的增加導致鋼球附加位移量增加，進而加劇鋼球沖擊激勵以致系統振動速度變大。當轉速為10 000 r/min時，對比分析圖7(d)和圖7(e)可知，剝落長度的增加略微增加了系統振動速度幅度。對比分析圖7(e)和圖7(f)可知，增加剝落寬度也略微增加了系統振動速度幅度。這是因為高速下鋼球沒有經歷剝落引起的完整附加位移導致沖擊激勵較小，系統進入振動峰值與退出振動峰值差異不大。此外，高速下鋼球進入剝落和退出剝落的時間間隔以致進入振動沒有衰減歷程，鋼球退出剝落區后系統振動發生明顯衰減。對比高速狀態和低速狀態系統振動幅度，高速下系統振動幅度是低速下系統振動幅度的2～6倍。這說明高速下軸承時變接觸角、時變接觸力和摩擦力矩等非線性因素對軸承轉子系統振動響應具有重要作用。

圖7 不同剝落尺寸下系統振動速度波形圖Fig.7 Waveform diagram of system vibration speed under different exfoliation sizes

3.2 剝落尺寸對滾動軸承轉子系統振動均方根和峭度值的影響

為了統計分析軸承轉子系統振動響應情況，常采用振動均方根評價振動信號能量和峭度值評價滾道剝落程度。振動均方根計算方程為

(16)

式中:xi為第i個振動位移響應；Nf為振動位移信號的長度。峭度值計算方程為

(17)

式中，mean()為振動信號的平均值。

圖8描述了剝落長度為2 mm時不同轉速和剝落寬度下軸承轉子系統振動均方根值變化規律。由圖8可知，當轉速一定時，系統振動均方根值隨著剝落寬度的增加逐漸增加，這是因為較大的剝落寬度增加了鋼球附加位移量，導致鋼球的時變位移和時變沖擊激勵增加，加劇了鋼球離開剝落區時的沖擊振動能量。此外，當剝落寬度一定時，在低速狀態(轉速1 000 r/min)系統振動均方根值約1.3×10-4m，在高速狀態(轉速12 000 r/min)系統振動均方根值約1.7×10-4m，高速狀態軸承轉子系統振動能量明顯大于低速狀態系統振動能量，這表明高速狀態軸承時變接觸角、油膜時變剛度和阻尼、時變接觸力等非線性因素對系統振動能量具有顯著作用。所以，綜合考慮剝落引起的時變沖擊激勵和時變位移、油膜時變剛度和時變阻尼、時變接觸力和摩擦力矩等非線性因素建立符合工程實際的滾動軸承轉子系統動力學模型研究高速狀態系統振動響應更具有科學意義。

圖8 不同轉速下剝落寬度對系統振動均方根值影響Fig.8 Effect of peeling width at different speeds on the rms value of system vibration

圖9描述了剝落長度為2 mm時不同轉速和剝落寬度下軸承轉子系統振動峭度值變化規律。由圖9可知，當轉速一定時，系統振動峭度值隨著剝落寬度的增加逐漸減小，這是因為較小剝落寬度時鋼球通過周期內系統劇烈振動時間小，通過峭度值評價系統振動形態偏移大；較大剝落寬度時鋼球通過周期里系統劇烈振動時間長，通過峭度值評價系統振動形態偏移小。此外，隨著剝落寬度增加，低速狀態(轉速1 000 r/min)系統峭度值變化幅度大，高速狀態(轉速12 000 r/min)系統峭度值變化幅度小，這是因為高速狀態在鋼球通過周期內剝落引起的振動沒有明顯衰減，鋼球經過滾道剝落區和非剝落區時振動速度差異不大。因此，在低速狀態剝落寬度對軸承轉子系統峭度值影響較大，在高速狀態剝落寬度對軸承轉子系統峭度值影響較小。

圖9 不同轉速下剝落寬度對系統振動峭度值的影響Fig.9 Effect of peeling width at different rotation speeds on the system vibration Kurtosis value

圖10描述了剝落寬度為0.5 mm時不同轉速和剝落長度下軸承轉子系統振動均方根值變化規律。由圖10可知，當轉速為1 000 r/min，剝落長度從1 mm增加到2.5 mm，系統振動均方根值從1.326 48×10-4m增大到1.326 83×10-4m，增加幅度非常小。當轉速為12 000 r/min，剝落長度從1 mm增加到2.5 mm，系統振動均方根值從1.682 42×10-4m增大到1.682 79×10-4m，增加幅度非常小。這說明剝落長度對系統振動響應沒有明顯影響，這是因為剝落長度沒有改變鋼球附加位移導致鋼球時變位移和時變沖擊激勵變化很小。但是，當轉速為1 000 r/min時系統振動均方根值約1.32×10-4m，當轉速為12 000 r/min時系統振動均方根值約1.68×10-4m，高速狀態系統振動均方根值比低速狀態明顯增加了0.36×10-4m，這也說明高速狀態軸承時變接觸角、油膜時變剛度和阻尼、時變接觸力等非線性因素對系統振動能量具有顯著作用。

圖10 不同轉速下剝落長度對系統振動均方根值影響Fig.10 Influence of peeling length at different speeds on the rms value of system vibration

圖11描述了剝落寬度為0.5 mm時不同轉速和剝落長度下軸承轉子系統振動峭度值變化規律。由圖11可知，當轉速一定時，系統振動峭度值隨著剝落長度的增加逐漸增加，這是因為增加剝落長度沒有改變鋼球附加位移和沖擊激勵，但是增加了鋼球通過剝落區時間以致系統振動可以明顯衰減(圖7(a)和圖7(b)中系統振動速度波形可以說明)，所以較大剝落長度的系統振動形態偏移大于較小剝落長度的系統振動形態偏移。此外，隨著剝落長度增加，低速狀態(轉速1 000 r/min)系統峭度值變化幅度大，高速狀態(轉速12 000 r/min)系統峭度值變化幅度小，這也是因為高速狀態，鋼球經過剝落區系統振動沒有明顯衰減，鋼球經過非剝落區系統振動產生明顯衰減(見圖7(d)所示)。在低速狀態，鋼球經過剝落區系統振動發生明顯衰減，鋼球經過非剝落區系統振動幅度沒有明顯變化(見圖7(b)所示)。因此，在低速狀態剝落長度對軸承轉子系統峭度值影響較大，在高速狀態剝落長度對軸承轉子系統峭度值影響較小。

圖11 不同轉速下剝落寬度對系統振動峭度值的影響Fig.11 Effect of peeling width at different rotation speeds on the system vibration Kurtosis value

4 結 論

(1)將滾道剝落引起的時變位移和時變沖擊激勵、油膜時變剛度和時變阻尼、鋼球與滾道時變接觸剛度和時變接觸角、時變接觸力等非線性因素綜合考慮，結合JONES的高速球軸承動力學模型建立了外滾道剝落的高速軸承轉子系統非線性動力學模型。研究結果證明建立符合工程實際的滾動軸承轉子系統動力學模型具有重要應用價值。

(2)低速狀態剝落寬度對鋼球通過剝落區的時間間隔沒有影響，但是寬度的增加導致鋼球附加位移量增加，進而加劇鋼球沖擊激勵以致軸承轉子系統振動速度變大；高速狀態剝落寬度增加對系統振動速度沒有明顯影響；高速下系統振動幅度顯著大于低速下系統振動幅度。

(3)轉速一定時，系統振動能量隨著剝落寬度的增加逐漸增加，高速狀態軸承轉子系統振動能量明顯大于低速狀態系統振動能量；轉速一定時，系統振動峭度值隨著剝落寬度的增加逐漸減小，而且低速狀態系統峭度值變化幅度大，高速狀態系統峭度值變化幅度小。

(4)低速和高速狀態，剝落長度對系統振動響應沒有明顯影響，但是系統振動峭度值隨著剝落長度的增加逐漸增加；此外，隨著剝落長度增加，低速狀態系統峭度值變化幅度大，高速狀態系統峭度值變化幅度小。